19.2 数据的离散程度 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

19.2 数据的离散程度 1 19.2.1 方差 2 1．一组数据中，每个数与平均数的差(离差)之和有什么特点？ 和为0 旧知回顾 2．如何避免离差的正负抵消，刻画数据的波动？ 离差平方和 3 探究新知 知识模块一 离差平方和的计算 思考： 问题1 下表显示的是2022年7月20日8时至7月21日5时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢?   8 时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：°C 天津与新加坡的气温相比，有4个时刻的气温相对高些，有4个时刻的气温相对低些。   8 时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：°C 比较两地气温的高低，求平均气温是一种常用的方法经计算可知，这两地的平均气温相等，都是27.25°，这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢? 有没有什么数值在平均数一样可以刻画数据的差异？ 方差 方差的概念 有n个数据x1，x2，…，xn ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 （x1 )2 ， （ x2 )2 ，… ， （ xn )2 我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 若有n个数据x1，x2，…，xn 的平均数为, 则方差 s2 [(x1)2 (x22 方差的计算公式 方差的另一个计算公式 s2 [( 方差刻画了一组数据的离散程度，是用来衡量一组数据的波动大小的重要量，反映的是数据在平均数附近的波动情况，对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动程度越大，方差越小，数据的波动程度越小. 方差的意义 探究新知 知识模块二 方差的引入与计算 思考一下：观察下图，你感觉它们有没有差异？ 我们可以发现， ①中的点波动范围比较大——从 23'C 到 32°C相差9°C; 图②中的点波动范围比较小--从 26°C到 29°C，相差3°C. 问题2：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试如表所示，谁的成绩更稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 它们的平均成绩都是12.4 小明的大部分集中在平均数附近，小兵的成绩与其平均数的离散程度略大，所以小明的成绩更稳定. 思考： 若7次测试中，小明缺席2次(成绩：10，14，13，12，13)，小兵7次成绩：11，11，15，11，14，14，11. 问题：直接比较离差平方和公平吗？ 不公平，数据个数不同 例题与练习 范例 1 两组数据A(2，4，6，8，10)、B(3，5，6，7，9)，计算平均数和离差平方和，比较波动大小． 分析：先算平均数，再按“求差→平方→求和”算离差平方和． 解：平均数：两组均为6； 离差平方和： A：(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝40； B：(3－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(9－6)2＝20； 结论：B的离差平方和更小，波动更小． ：一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是 ( ) A．3，3，0.4　　　　　B．2，3，2　　　　　 C．3，2，0.4　　　　　D．3，3，2 范例 2 A 课堂小结 1.方差的概念 2.方差的计算公式 3.方差的意义 随堂检测 1.水果超市售卖一批散装苹果,苹果大小不一,某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果.设原有苹果质量(单位:g)的方差为,该顾客选购的苹果质量的方差为,则与的大小关系是( ) . A. < B. > C. D.它们的大小关系不确定 B 2.在某校举办的诗歌朗诵比赛上,评委根据 13 位参赛选手的预赛成绩,选出了成绩较高的6位进入决赛.小梧进入了决赛,他的预赛成绩是 85 分.关于这 13 位选手的预赛成绩数据，下列判断正确的是（ ） A.平均数小于 85 B.中位数小于 85 C.众数小于 85 D.方差大于 85 B 华师版 八年级 数学（下） 第19章 数据的分析 19.2 数据的离散程度 19.2.2　用计算器求平均数和方差 18 新课导入 思考：当数据较多时怎么计算简便？ 求下列数据的平均数. 18.6、19.2、18.4、17.8、20.0、20.6 的平均数为_____. 19.1 19 当数据个数很多时，用计算器计算平均数显得非常简便.我们只要按照指定的顺序按键，便可得到计算结果. 探究新知 知识模块一 用计算器求平均数和方差的操作步骤 思考： 当数据个数很多时，用计算器计算平均数显得非常简便.我们只要按照指定的顺序按键，便可得到计算结果. （1）按 ，打开主屏幕，按方向键选中“统计”应用图标后，按 进入“统计”应用，再按 启动“单变量统计”计算功能． 提示：确认进入“单变量统计”模式(对应“1­VarStats”)． 以“计算小明5次测试成绩的平均数和方差”为例 22 2．输入数据 操作：依次按 输入所有数据． 易错点：输入时逐一核对数据，若输错，用“删除”键修正后重新输入． 3．调取统计结果 操作：按 (单变量结果) ，即可获得这组数据的统计值，其中 ＝12.4是平均数，σ2＝1.84是方差． 一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差，即极差=最大值－最小值 方差的算术平方根，用字母s表示，即 极差的概念 标准差的概念 例题与练习 范例 1 用计算器计算“两只股票19天的日收盘价格”的平均数和方差： A股票数据：59.97，59.54，59.28，58.70，58.58，58.90，60.10，58.30，56.20，55.20，55.29，55.03，55.43，54.89，55.09(共15个数据)；  B股票数据：53.70，53.45，52.20，51.73，51.52，50.29，50.55，51.03，52.31，51.80，51.23，51.23，51.57，50.98，52.35(共15个数据)． 1．小组分工：1人操作计算器，1人核对数据，1人记录结果； 2．计算结果： A股票的平均数≈____，方差≈____； B股票的平均数≈_______，方差≈_______； 3．结论：____股票的方差更小，涨跌变化幅度更平稳． 1.92 4.00 0.72 0.86 B 随堂检测 1.某商场用单价5元每千克的糖果1千克, 单价7元每千克的糖果2千克,单价8元每千克的糖果5千克, 混合为什锦糖果销售, 那么这种什锦糖果的单价是______. (保留1位小数) 7.4元 2. 某次数学测验成绩统计如下: 得100分3人, 得95分5人,得90分6人, 得80分12人,得70分16人, 得60分5人, 则该班这次测验的平均得分是______. 78.6分 3. 一次数学检测中，旭日组14名同学的成绩 与全班平均分的差分别是：2，3，－5，10，12，8， 2，－1，－5，4，－10，－2，5，5.又知道全班平均 分为88分，求旭日组的平均成绩． 解：(2＋3－5＋10＋12＋8＋2－1－5＋4－10－2＋5＋5) ÷14＝2. 所以88＋2＝90. 答：旭日组平均成绩是90分 $