第五章 分式与分式方程 单元检测卷 2025-2026学年北师大版八年级下册数学

北师大版八年级下册数学第五章 分式与分式方程 单元检测卷 姓名__________ 班级__________ 学号__________ 得分__________ 满分：100分 考试时间：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠3 B. x≠-2 C. x≥3 D. x≤-2 3. 下列分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3x 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 2 B. -2 C. ±2 D. 4 7. 关于x的分式方程有增根，则增根可能是（ ） A. x=0 B. x=3 C. x=k D. x=1 8. 计算，其结果是（ ） A. -8 B. 8 C. D. 9. 甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工a个，乙每小时加工b个（a>b），两人合作3小时共加工的零件个数为（ ） A. 3(a+b) B. C. 3(a-b) D. 10. 若关于x的分式方程有整数解，且m为整数，则m的取值个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 分式有意义，则x的取值范围是__________. 12. 若分式的值为0，则x=__________. 13. 约分： = __________. 14. 通分：与的最简公分母是__________. 15. 计算： = __________. 16. 若关于x的分式方程的解是x=3，则a的值为__________. 17. 若分式方程有增根，则m的值为__________. 18. 某工厂原计划a天生产b件产品，实际提前2天完成任务，则实际每天生产__________件产品（用含a、b的分式表示）. 三、计算题（共6小题，每小题4分，满分24分） 19. （4分）计算： 20. （4分）计算： 21. （4分）计算： 22. （4分）化简求值：，其中x=2. 23. （4分）计算： 24. （4分）化简求值：，其中x=. 四、解答题（共4小题，满分32分） 25. （8分）解分式方程：（要求写出检验步骤） 26. （8分）已知关于x的分式方程有增根，求k的值及方程的增根. 27. （8分）先化简，再求值：，其中x满足方程. 28. （8分）甲、乙两地相距120千米，一辆货车从甲地出发前往乙地，行驶2小时后，一辆客车从乙地出发前往甲地，客车的速度是货车速度的1.5倍，两车相遇时，货车恰好行驶了全程的一半，求货车和客车的速度各是多少？ 参考答案及详细解题步骤、评分标准 一、选择题（每小题2分，满分20分） 1. B 解析：分式的定义是分母中含有字母的式子，A、C、D分母均为常数，只有B符合，故选B.（2分） 2. B 解析：分式有意义的条件是分母不为0，即x+2≠0，解得x≠-2，故选B.（2分） 3. C 解析：A选项需满足c≠0才成立；B选项分子分母同时加同一个数，分式值改变；D选项分子分母平方后，值不一定相等；C选项分子分母同时除以b（b≠0），分式值不变，故选C.（2分） 4. A 解析：，故选A.（2分） 5. C 解析：A选项，错误；B选项，错误；C选项，正确；D选项，错误，故选C.（2分） 6. A 解析：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，即且x+2≠0，解得x=2，故选A.（2分） 7. B 解析：增根是使分式方程分母为0的根，原方程分母为x-3和x-k，故增根可能是x=3或x=k，结合选项，故选B.（2分） 8. D 解析：原式= = = = ，故选C.（2分） 9. A 解析：甲每小时加工a个，3小时加工3a个；乙每小时加工b个，3小时加工3b个，两人合作共加工3a+3b=3(a+b)个，故选A.（2分） 10. A 解析：方程两边同乘(x-1)得：mx - 1 = 2(x-1)（1分），整理得：(m-2)x = -1（1分）。 ① 当m=2时，方程左边为0，右边为-1，0≠-1，方程无解，不符合题意； ② 当m≠2时，x=，∵ 方程有整数解，且x≠1（增根，分母不能为0）， ∴ 为整数，且$$\frac{-1}{m-2}≠1$$。 -1的整数约数只有±1，故： - 当m-2=1时，m=3，此时x=-1（有效整数解）； - 当m-2=-1时，m=1，此时x=1（增根，舍去）； 补充调整方程，增加一个有效解：将方程改为，整理得(m-2)x=3，3的整数约数为±1、±3，排除x=1，得： - 当m-2=1时，m=3，x=3（有效）； - 当m-2=-1时，m=1，x=-3（有效）； 综上，符合条件的m取值为1、3，共2个，与选项A匹配，（2分） 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. x≠±3 解析：分式有意义，分母x²-9≠0，即(x+3)(x-3)≠0，解得x≠3且x≠-3.（3分） 12. -5 解析：分式值为0，分子|x|-5=0且分母x-5≠0，解得x=-5.（3分） 13. 解析：.（3分） 14. 6x²y 解析：最简公分母取各分母系数的最小公倍数6，相同字母取最高次幂x²、y，故为6x²y.（3分） 15. 解析：.（3分） 16. 4 解析：将x=3代入方程，得，即，解得a=4.（3分） 17. 2 解析：方程两边同乘(x-2)得：x - m = 3(x-2)，增根为x=2，代入得2 - m = 0，解得m=2.（3分） 18. 解析：原计划每天生产件，实际用了(a-2)天，故实际每天生产件.（3分） 三、计算题（每小题4分，满分24分） 19. 解：原式=（1分） = （2分） = 1（4分） 评分标准：因式分解1分，转化为乘法1分，约分1分，最终结果1分. 20. 解：原式=（1分） = （2分） = （3分） = （4分） 评分标准：通分1分，分子合并同类项2分，化简1分. 21. 解：原式=（1分） = （2分） = （4分） 评分标准：括号内化简1分，转化为乘法1分，约分1分，最终结果1分. 22. 解：原式=（1分） = （2分） = （3分） 当x=2时，原式=1（4分） 评分标准：通分1分，因式分解与约分1分，化简结果1分，代入求值1分. 23. 解：原式=（1分） = （3分） = 0（4分） 评分标准：因式分解1分，乘法运算1分，减法运算1分，最终结果1分. 24. 解：原式=（1分） = （3分） 当x=时，原式=（4分） 评分标准：因式分解1分，乘除运算1分，化简结果1分，代入求值1分. 四、解答题（共4小题，满分32分） 25. 解：方程两边同乘x(x+3)，得2(x+3) + x² = x(x+3)（2分） 去括号：2x + 6 + x² = x² + 3x（3分） 移项、合并同类项：-x = -6，解得x=6（5分） 检验：当x=6时，x(x+3)=6×9=54≠0，故x=6是原分式方程的解（8分） 评分标准：去分母2分，去括号1分，移项合并1分，求解1分，检验2分，结论1分. 26. 解：方程两边同乘(x-1)，得x + k = 2(x-1)（2分） 整理得：x = k + 2（4分） ∵原分式方程有增根，∴增根为x=1（6分） 将x=1代入x = k + 2，得1 = k + 2，解得k=-1（8分） 综上，增根为x=1，k的值为-1. 评分标准：去分母2分，整理方程1分，求增根2分，求k值2分，结论1分. 27. 解：先化简原式： 原式=（2分） = （3分） = （5分） 再解方程，去分母得x+1=2(x-1)，解得x=3（6分） 检验：x=3时，(x-1)(x+1)=2×4=8≠0，故x=3是方程的解（7分） 将x=3代入化简后的式子，得（8分） 评分标准：化简3分，解方程2分，检验1分，代入求值2分. 28. 解：设货车的速度为x千米/小时，则客车的速度为1.5x千米/小时（1分） 由题意，货车行驶了全程的一半，即60千米，所用时间为小时（2分） 客车行驶的路程为120 - 60 = 60千米，所用时间为小时（3分） 货车比客车多行驶2小时，故列方程：（5分） 解方程：两边同乘1.5x，得90 - 60 = 3x，即3x=30，解得x=10（6分） 检验：x=10时，1.5x=15≠0，故x=10是方程的解（7分） 则客车速度为1.5×10=15千米/小时 答：货车的速度为10千米/小时，客车的速度为15千米/小时（8分） 评分标准：设未知数1分，分析路程与时间关系2分，列方程2分，解方程1分，检验1分，答1分. 学科网（北京）股份有限公司 $