解答题标准练（7-9） “15～17题” 43分练-【满分思维】2026年高三数学三轮冲刺

解答题标准练7　“15~17题” 43分练 (时间:45分钟　分值:43分) 解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·西南名校联盟二联] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin-asin Acos C-csin Acos A=0. (1)求角A的大小; (2)若△ABC的面积为,a=2,求△ABC的周长. (本小题满分13分) 16.[2025·武汉调研] 如图①,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AB⊥AD,BC=8,AD=9,AB=2,点E为线段BC上的一点(不包括端点),过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直,得到六面体ABCDFE,如图②. (1)若CF⊥BD,求BE的长; (2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值的最小值. (本小题满分15分) 17.[2025·山东师大附中二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线l的斜率为-1,且与坐标轴的交点均在椭圆内部,直线l与椭圆交于A,B两点,求|AB|的取值范围. (本小题满分15分) 解答题标准练8　“15~17题” 43分练 (时间:45分钟　分值:43分) 解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·辽阳一模] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=2,D为AB的中点,AA1=1. (1)证明:AC1∥平面B1CD; (2)求直线B1D与平面A1B1C所成角的正弦值. (本小题满分13分) 16.[2025·绍兴二模] 已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n+2,求b1,b2,并证明数列{bn}是等比数列; (2)记cn=a2n+3,求满足c1+c2+c3+…+cn<100的所有正整数n的值. (本小题满分15分) 17.[2025·广东省一调] 近年来,中国新能源汽车产业不仅技术水平持续提升,市场规模也持续扩大,取得了令人瞩目的成就,国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流.某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研,所得数据如下: 时间 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代码x 1 2 3 4 5 销量y(千辆) 14 15 16 18 19 (1)若y与x线性相关,求y关于x的经验回归方程,并预测该地区新能源汽车在2026年1月的销量. (2)该企业为加强新能源汽车的宣传推广,计划引进人工智能工具,并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训.为节约培训成本,需要将宣传部门部分员工调整至其他部门,剩余宣传部门员工全部参加培训.培训分为四期,每期培训的结果是否达到“优秀”标准相互独立,且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为,员工至少两期培训达到“优秀”标准,才能使用人工智能工具.该企业宣传部门现有员工100人,开展培训前,员工每人每年平均为企业创造净利润12万元,开展培训后,能使用人工智能工具的员工每人每年平均为企业创造净利润18万元,本次培训费为每人1万元(计入年度部门成本).若要确保调整后第一年,宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前,请应用概率知识进行决策,最多可调整多少人去其他部门? 参考公式:==,=-. (本小题满分15分) 解答题标准练9　“15~17题” 43分练 (时间:45分钟　分值:43分) 解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·佛山质检] 如图,将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体ABCDA1C1D1,E是BC1的中点.过点C,E,D1的平面α与该多面体的面相交,交线围成一个多边形. (1)在图中画出该多边形(说明作法和理由),并求其面积; (2)求平面α与平面A1BC1的夹角的余弦值. (本小题满分13分) 16.[2025·开封二模] 已知直线l:2x+2y+=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,C为圆O上不同于A,B的一点.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)求角C的大小; (2)若a+b=,求△ABC的面积. (本小题满分15分) 17.[2025·浙江天域全国名校协作体联考] 已知f(x)=-ex+ax,g(x)=2x+bsin x,a∈R,b∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若a=-1,对于曲线y=f(x)的任意一条切线,都存在曲线y=g(x)的某条切线与它垂直,求实数b的取值范围. (本小题满分15分) 解答7　“15~17题”43分练 15.解:(1)因为bsin-asin Acos C-csin Acos A=0,所以由正弦定理得sin Bsin-sin Asin Acos C-sin Acos Asin C=0,即sin Bsin-sin A(sin Acos C+cos Asin C)=0,即sin Bsin-sin Asin(A+C)=0, 3分 又sin B=sin(A+C),所以sin Bsin-sin Asin B=0, 4分 又sin B>0,所以sin=sin A,所以A-+A=π,得A=. 6分 (2)因为△ABC的面积为,所以bcsin A=,由(1)知A=,所以bc=4, 9分 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,所以(b+c)2-4=12,可得b+c=4, 12分 所以△ABC的周长为a+b+c=2+4. 13分 16.解:(1)如图,连接DE,因为平面ABEF⊥平面ECDF,平面ABEF∩平面ECDF=EF, BE⊥EF,BE⊂平面ABEF,所以BE⊥平面ECDF,又CF⊂平面ECDF,所以BE⊥CF. 2分 因为CF⊥BD,BE∩BD=B,所以CF⊥平面BDE,又DE⊂平面BDE,所以CF⊥DE, 4分 此时△FEC与△DFE相似,故DF·EC=EF2.设BE=t(0<t<8),则(9-t)(8-t)=12,可得t=5,所以BE=5. 6分 (2)如图,过C作EF的平行线交DF于点G,连接AG,则CG∥EF∥BA,且CG=EF=BA,所以四边形CGAB是平行四边形,故BC∥AG,易知∠DAG是锐角,所以∠DAG即为异面直线BC与AD所成的角. 9分 设BE=t(0<t<8),则tan∠DAG=tan(∠DAF-∠GAF)= = =≤=, 12分 所以∠DAG正切值的最大值为,此时∠DAG的余弦值取得最小值, 所以异面直线BC与AD所成角的余弦值的最小值为. 15分 17.解:(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且焦距为2, 所以=且2c=2,解得a=2,c=1,则b==, 4分 所以椭圆C的标准方程为+=1. 5分 (2)直线l的斜率为-1,且与坐标轴的交点均在椭圆内部,则设直线l:y=-x+m,且m∈(-,), 由消去y整理得7x2-8mx+4m2-12=0, 7分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 9分 所以|AB|==·=·=, 11分 由m∈(-,),可得∈(2,],则<|AB|≤, 14分 所以|AB|的取值范围为. 15分 解答8　“15~17题”43分练 15.解:(1)证明:如图,连接BC1,设BC1∩B1C=E,连接DE,∵E为BC1的中点,D为AB的中点,∴DE∥AC1. 3分 ∵AC1⊄平面B1CD,DE⊂平面B1CD,∴AC1∥平面B1CD. 5分 (2)以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(2,0,1),B1(0,2,1),C(0,0,0),D(1,1,0), 所以=(-2,2,0),=(2,0,1),=(1,-1,-1). 9分 设平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z),则取y=1,则n=(1,1,-2), 11分 设直线B1D与平面A1B1C所成的角为θ,则sin θ===. 13分 16.解:(1)由题可得a2=3,a3=6,a4=8,所以b1=5,b2=10. 2分 因为====2, 5分 所以数列{bn}是首项为5,公比为2的等比数列. 6分 (2)由(1)知bn=5×2n-1,所以cn=5×2n-1+1, 8分 所以c1+c2+c3+…+cn=5×2n+n-5, 12分 因为y=5×2n+n-5随着n的增大而增大,且c1+c2+c3+c4=79<100<c1+c2+c3+c4+c5=160, 14分 所以正整数n的值为1,2,3,4. 15分 17.解:(1)由题意得==3, ==16.4, 2分 xiyi=1×14+2×15+3×16+4×18+5×19=259,=12+22+32+42+52=55,所以===1.3, 4分 =-=16.4-1.3×3=12.5, 5分 所以y关于x的经验回归方程为=1.3x+12.5. 6分 由题意得,2026年1月的月份代码为14,当x=14时,=1.3×14+12.5=30.7,所以预测该地区新能源汽车在2026年1月的销量为30.7千辆. 8分 (2)记事件M=“员工经过培训后,能使用人工智能工具”,则P(M)=1--×=. 10分 设宣传部门调整至其他部门的员工人数为n(n∈N*),则参加培训的员工人数为100-n,设X为培训后能使用人工智能工具的员工人数,则X~B,故E(X)=, 12分 调整后的年净利润为×18+×(100-n)×12-(100-n)=(万元),由题意得≥100×12,解得n≤≈26.5,所以最多可调整26人去其他部门. 15分 解答9　“15~17题”43分练 15.解:(1)如图,取A1C1的中点F,连接CE,EF,FD1,D1C,则四边形CEFD1即为所求多边形. 2分 理由如下:因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,则A1B∥CD1. 在△A1BC1中,因为E,F分别为BC1,A1C1的中点,所以A1B∥EF,所以EF∥CD1,所以C,E,F,D1四点共面,即四边形CEFD1为所求多边形. 4分 易知四边形CEFD1为等腰梯形,且D1C=2,EF=D1F=EC=,所以四边形CEFD1的面积为. 6分 (2)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则D1(0,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,2,1),A1(2,0,2),B(2,2,0),所以=(-2,2,0),=(0,2,-2),=(0,2,-2),=(1,0,1). 8分 设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),则取x=1,得m=(1,1,1). 设平面α的法向量为n=(a,b,c),则取b=-1,得n=(1,-1,-1). 12分 因为cos<m,n>===-,所以平面α与平面A1BC1的夹角的余弦值为. 13分 16.解:(1)由题得,圆心O到直线l的距离d==,圆O的半径R=1, 所以|AB|=c=2=2×=, 2分 又=2R=2,所以sin C==,又0°<C<180°,所以C=60°或120°. 6分 (2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab(1+cos C), 即3=6-2ab(1+cos C),可得ab=. 8分 ①当C=60°时,ab===1,此时S△ABC=absin C=sin 60°=; 10分 ②当C=120°时,ab===3,因为c为最大边,所以ab<×=3,与ab=3矛盾,所以不成立,舍去. 14分 综上所述,△ABC的面积为. 15分 17.解:(1)由题意得,函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=-ex+a. 2分 若a≤0,则f'(x)<0,f(x)在R上单调递减; 3分 若a>0,则令f'(x)=-ex+a=0,得x=ln a,当x<ln a时,f'(x)>0,当x>ln a时,f'(x)<0, ∴f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减. 6分 综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递增,在(ln a,+∞)上单调递减. 7分 (2)当a=-1时,f'(x)=-ex-1. ∵g(x)=2x+bsin x,∴g'(x)=2+bcos x,∴曲线y=f(x)在任意一点(x1,f(x1))处的切线斜率为f'(x1)=--1,曲线y=g(x)在任意一点(x2,g(x2))处的切线斜率为g'(x2)=2+bcos x2. 9分 由题意得,对任意的x1∈R,总存在x2∈R,使得等式(--1)(2+bcos x2)=-1成立,将等式变形为2+bcos x2=,则函数y=的值域是函数y=2+bcos x2值域的子集, 12分 由x1∈R,得+1>1,故函数y=的值域为(0,1),∴(2+bcos x2)max≥1,(2+bcos x2)min≤0. 14分 ∵(2+bcos x2)max=2+|b|,(2+bcos x2)min=2-|b|,∴解得b≤-2或b≥2, ∴实数b的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 15分 学科网（北京）股份有限公司 $