解答题标准练（16-18） “18题、19题”34分练-【满分思维】2026年高三数学三轮冲刺

解答题标准练16　“18题、19题”34分练 (时间:35分钟　分值:34分) 18.[2025·宁波模拟] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,G为△ABC的重心,A1G⊥平面ABC,BC=6,记二面角A-BC-A1与二面角A-BC-C1的大小分别为α,β. (1)若AA1=4,AB=AC. (i)证明:A1B=A1C; (ii)求cos(β-α). (2)若β=2α,求AA1的取值范围. (本小题满分17分) 19.[2025·济南一模] 已知数列{an}满足a1=0,对任意的n∈N*,an+1取an-1或an+1的概率均为. (1)求a3=0的概率. (2)设a2n+1的值为随机变量X. ①求X的分布列; ②求随机变量|X|的数学期望E(|X|). (本小题满分17分) 解答题标准练17　“18题、19题”34分练 (时间:35分钟　分值:34分) 18.[2025·广州调研] 如图①,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点D,过点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限).当θ=时,|OA|=. (1)求抛物线C的方程. (2)把△ADF沿DF翻折为△PDF,使得二面角P-DF-B的大小为,如图②. (i)若θ=,求直线BD与平面PBF所成角的正弦值; (ii)证明:三棱锥D-PBF的体积为定值. (本小题满分17分) 19.[2025·鹰潭一模] 已知a,b∈R,函数f(x)=ex-a-bx,x∈[0,+∞). (1)当a=0时,求f(x)的极值. (2)若f(x)存在零点. (i)当b=0时,求a的取值范围; (ii)求证:a2+b2>2. (本小题满分17分) 解答题标准练17　“18题、19题”34分练 (时间:35分钟　分值:34分) 18.[2025·广州调研] 如图①,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点D,过点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A,B两点(点A在第一象限).当θ=时,|OA|=. (1)求抛物线C的方程. (2)把△ADF沿DF翻折为△PDF,使得二面角P-DF-B的大小为,如图②. (i)若θ=,求直线BD与平面PBF所成角的正弦值; (ii)证明:三棱锥D-PBF的体积为定值. (本小题满分17分) 19.[2025·鹰潭一模] 已知a,b∈R,函数f(x)=ex-a-bx,x∈[0,+∞). (1)当a=0时,求f(x)的极值. (2)若f(x)存在零点. (i)当b=0时,求a的取值范围; (ii)求证:a2+b2>2. (本小题满分17分) 解答18　“18题、19题”34分练 (时间:35分钟　分值:34分) 18.[2025·河北沧衡联盟模拟] 已知函数f(x)=aex-1+-3ln x-3,a>0. (1)求f(3)的最小值; (2)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线分别交x轴和y轴于A,B两点,O为坐标原点,若0<a<3,求△AOB面积的最小值; (3)证明:∀θ∈,f(sin θ)+f(cos θ)>-1. (本小题满分17分) 19.如图,在平面四边形SBCD中,点A是线段SD上一点,AB⊥SD,且SD=4,CD=,∠ADC=45°,沿着AB将△SAB折叠到△PAB的位置,得到四棱锥P-ABCD,且∠PAD=120°. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若AP=AD,求平面PCD与平面ABCD夹角的正切值; (3)若P,A,C,D在同一个球面上,设该球面的球心为G,证明:当球G的半径最小时,点G在平面PAD内. (本小题满分17分) 解答16　“18题、19题”34分练 18.解:(1)(i)证明:如图①,连接AG并延长,交BC于O,连接OA1,则O是BC的中点. ∵AB=AC,∴OA⊥BC. 1分 ∵A1G⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴A1G⊥BC. 2分 ∵A1G∩OA=G,A1G,OA⊂平面OAA1,∴BC⊥平面OAA1, 又OA1⊂平面OAA1,∴BC⊥OA1, 又O为BC的中点,∴A1B=A1C. 4分 (ii)∵AB⊥AC,G为△ABC的重心,BC=6,∴AO=3,AG=2. 由A1G⊥平面ABC,OA⊂平面ABC,得A1G⊥OA, 故A1G===2, 如图①,过O作Oz∥A1G,以O为原点,以OA,OB,Oz所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz. ∵二面角A-BC-A1与二面角A-BC-C1的大小分别为α,β,∴β-α即二面角A1-BC-C1的大小, 由O(0,0,0),B(0,3,0),A1(1,0,2),A(3,0,0),得=(0,3,0),=(1,0,2). 6分 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则故 即令z=1,得x=-2,y=0, ∴平面A1BC的一个法向量为n=(-2,0,1). ==(-2,0,2), 设平面BCC1的法向量为m=(a,b,c), 则故 即令c=1,得a=,b=0, ∴平面BCC1的一个法向量为m=(,0,1), 8分 ∴cos(β-α)=|cos<m,n>|===. 9分 (2)如图②,过O作Oz∥A1G,在平面ABC内,过O作Ox⊥BC,以O为原点,以Ox,OB,Oz所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz, 则O(0,0,0),B(0,3,0). ∵AO=3,∴不妨令A(3cos t,3sin t,0),cos t>0,A1G=h, 则A1(cos t,sin t,h), 故=(0,3,0),=(cos t,sin t,h). 11分 设平面A1BC的法向量为p=(x1,y1,z1),则故 即 令x1=h,得y1=0,z1=-cos t, ∴平面A1BC的一个法向量为p=(h,0,-cos t).平面ABC的一个法向量为s=(0,0,1). ==(-2cos t,-2sin t,h), 设平面BCC1的法向量为q=(x2,y2,z2),则故 即 令x2=h,得y2=0,z2=2cos t, ∴平面BCC1的一个法向量为q=(h,0,2cos t). 14分 由β=2α得二面角A-BC-A1与二面角C1-BC-A1的大小相等, 故=,即=,即=, 15分 整理得h2=5cos2t, 又cos t∈(0,1],∴h∈(0,], ∴AA1==∈(2,3],即AA1的取值范围为(2,3]. 17分 19.解:(1)由a1=0,得a2=-1,a2=1的概率均为,a2=-1,a3=0的概率为×=, 2分 a2=1,a3=0的概率为×=, 4分 所以a3=0的概率为+=. 5分 (2)(i)设dn=an+1-an, 则对任意正整数n,dn取1或-1的概率均为,且a2n+1=a1+(ai+1-ai)=di. 7分 设a2n+1=k,显然|k|≤2n, 设此时d1,d2,…,d2n中有x个1,2n-x个-1,则X=x-(2n-x)=2(x-n)=k, 故k=2(x-n)只能取[-2n,2n]内的偶数值,所以X=2m(m=0,±1,±2,…,±n). 8分 X=2m相当于在2n个数d1,d2,…,d2n中,有n+m个取1,n-m个取-1, 10分 所以X的分布列为P(X=2m)=(m=0,±1,…,±n). 11分 (ii)对任意的1≤m≤n,m∈Z,可得P(X=-2m)=P(X=2m), 所以P(|X|=2m)=(m=1,2,…,n), 13分 则E(|X|)==(m)=[(n+m)-n]=(2n-n)== =. 17分 解答17　“18题、19题”34分练 18.解:(1)当θ=时,AF⊥DF,所以点A的坐标为, 2分 因为|OA|=, 所以=,可得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. 4分 (2)(i)在平面直角坐标系中,若θ=,则直线AB的方程为y=(x-1), 由得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=, 所以点A,B的坐标分别为(3,2),. 6分 过O点作平面DBF的垂线为z轴,如图,建立空间直角坐标系,则D(-1,0,0),B,F(1,0,0), 当二面角P-DF-B的大小为时,点P,即P(3,,3), 所以=,=(-2,-,-3),=, 设平面PBF的法向量为n=(x,y,z), 则即 解得取y=,得n=(-3,,1). 9分 设直线BD与平面PBF所成的角为θ,则sin θ===,所以直线BD与平面PBF所成角的正弦值为. 11分 (ii)证明:由题意得VD-PBF=VP-BDF=·S△BDF·zP=··=·|BF|·|PF|·sin2θ. 12分 当θ=时,|BF|=|PF|=2,VD-PBF=×2×2×sin2=. 13分 当θ≠时,在平面直角坐标系中,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1), 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 则Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,x1+x2=,x1x2=1, 因为sin2θ+cos2θ=1,k=tan θ=,所以sin2θ+=1,得sin2θ=, 15分 所以VD-PBF=·|BF|·|PF|·sin2θ=·|BF|·|AF|·sin2θ=·(x2+1)·(x1+1)·=·(x1x2+x1+x2+1)·=··=··=×4=. 综上所述,三棱锥D-PBF的体积为定值. 17分 19.解:(1)当a=0时,f(x)=ex-bx,x∈[0,+∞), 则f'(x)=ex-b,x∈[0,+∞). 若b≤1,则f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,f(x)既无极大值也无极小值; 2分 若b>1,则当x∈[0,ln b)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈(ln b,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以函数f(x)的极小值是b-bln b,无极大值. 5分 (2)(i)当b=0时,因为函数f(x)存在零点,所以ex=a有解, 若x=0,则无解,所以x>0. 设g(x)=ex-a(x>0), 则g(x)存在零点,g'(x)=ex-=. 7分 ①若a≤0,则g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(0)=1,此时g(x)不存在零点; 8分 ②若a>0,设h(x)=2ex-a,则h(0)=-a<0,h(a2)=2a-a>0, 由函数零点存在定理可知,存在x'∈(0,a2),使得h(x')=0, 所以g(x)在(0,x')上单调递减,在(x',+∞)上单调递增, 10分 故g(x)min=ex'-a=-a≤0,解得x'≥, 故a≥=. 综上,a的取值范围为[,+∞). 11分 (ii)证明:设f(x)=ex-a-bx的零点为x0,其中x0≥0. 若x0=0,则1-a×0-b×0=0,该式不成立,故x0>0, 故a+bx0-=0,考虑直线a+bx0-=0,表示原点与直线a+bx0-=0上的动点(a,b)之间的距离, 12分 则≥, 所以a2+b2≥, 当x0>0时,要证a2+b2>2,只需证>2, 即证-2-2x0>0. 14分 令m(x)=e2x-2x2-2x,x>0,则m'(x)=2e2x-4x-2=2(e2x-2x-1), 令n(x)=e2x-2x-1,x>0, 则n'(x)=2(e2x-1)>0, 所以n(x)在(0,+∞)上单调递增,故n(x)>n(0)=0, 即m'(x)>0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递增, 故m(x)>m(0)=1,故>2,即a2+b2>2成立. 17分 解答18　“18题、19题”34分练 18.解:(1)因为f(3)=ae2+-3ln 3-3≥2e-3ln 3-3,当且仅当ae2=,即a=时等号成立, 3分 所以f(3)的最小值是2e-3ln 3-3. 4分 (2)f(1)=a+-3,f'(x)=aex-1-,所以f'(1)=a-3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(a-3)(x-1), 6分 当y=0时,x=, 当x=0时,y=, 因为0<a<3,所以S△AOB=××=. 8分 令g(a)=6a2-2a3,则g'(a)=12a-6a2=6a(2-a), 所以g(a)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减, 所以g(a)max=g(2)=8,所以S△AOB的最小值为. 11分 (3)证明:因为-1=-sin2θ-cos2θ, 所以只需证f(x)>-x2,x∈(0,1). 12分 f(x)=aex-1+-3ln x-3≥2-3ln x-3,当且仅当aex-1=时等号成立, 令h(x)=2-3ln x-3+x2,x∈(0,1),则h'(x)=-+2x, 令m(x)=-+2x,x∈(0,1),则m'(x)=++2, 因为m'(x)>0恒成立,所以m(x)在(0,1)上单调递增, 又m(1)=h'(1)=0,所以h(x)在(0,1)上单调递减, 所以h(x)>h(1)=0, 15分 所以2-3ln x-3>-x2, 所以f(x)>-x2,x∈(0,1). 由θ∈,得sin θ∈(0,1),cos θ∈(0,1),所以f(sin θ)>-sin2θ,f(cos θ)>-cos2θ, 所以f(sin θ)+f(cos θ)>-sin2θ-cos2θ=-1. 17分 19.解:(1)证明:在四边形SBCD中,因为AB⊥SD,所以折叠后可得AB⊥PA,AB⊥AD. 2分 又PA∩AD=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD. 4分 (2)由题意知AD=AP=2,又∠PAD=120°,故∠PDA=30°. 5分 如图,过点A作AE⊥AD交PD于E,在Rt△EAD中,∠EAD=90°,∠ADE=30°,AD=2,可得AE=,连接AC,EC, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AE⊂平面PAD, 且AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD. 因为CD,CA⊂平面ABCD,所以AE⊥CD,AE⊥CA. 7分 因为AD=2,CD=,∠ADC=45°,所以由余弦定理得CA==,因为CA2+CD2=AD2, 所以CD⊥CA, 因为CA∩AE=A,CA⊂平面AEC,AE⊂平面AEC,所以CD⊥平面AEC, 因为EC⊂平面AEC,所以CD⊥EC,所以∠ECA为平面PCD与平面ABCD的夹角. 9分 在Rt△EAC中,tan∠ECA===, 所以平面PCD与平面ABCD夹角的正切值为. 10分 (3)证明:由(1)知平面PAD⊥平面ABCD, 设△PAD和△ACD的外心分别为M,N, 过点M作平面PAD的垂线,过点N作平面ACD的垂线, 因为P,A,C,D均在以G为球心的球面上,所以两垂线的交点即为G, 过点N作NH⊥AD于H,连接MH,所以H为AD的中点, 显然四边形GNHM为矩形. 12分 连接PG,DN,PM,设PG=R, 在△PAD中,设AP=t(0<t<3),则AD=4-t, 由∠PAD=120°及余弦定理得PD==, 由正弦定理得△PAD的外接圆半径r1=PM==. 13分 在△ACD中,AD=4-t,CD=,∠ADC=45°,由余弦定理得AC==, 由正弦定理得△ACD的外接圆半径r2=DN==. 14分 由题可知,GM2=PG2-PM2=NH2=DN2-DH2, 所以R2-=-,即R2=+-=+-, 所以R2==(t-2)2+4,故当t=2时,球G的半径最小, 此时点G与点M重合,所以点G在平面PAD内. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $