解答题标准练（13-15） “18题、19题”34分练-【满分思维】2026年高三数学三轮冲刺

解答题标准练13　“18题、19题”34分练 (时间:35分钟　分值:34分) 18.[2025·福建部分优质高中联考] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的焦距为2,点在椭圆C1上. (1)求椭圆C1的方程. (2)过椭圆C1上一点P(x0,y0)(x0y0≠0)的直线l的方程为x0x+2y0y=2,直线l与椭圆C2:+=m(m>1)相交于M,N两点,平面内一点Q满足=+,且点P在C1上运动. (i)当m为何值时,点Q在C2上运动? (ii)当m=4时,试问四边形OMQN的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. (本小题满分17分) 19.[2025·景德镇模拟] (1)证明:cos 2x+2x<在上恒成立. (2)若n>2,证明:函数f(x)=-n在上恰有1个零点. (3)试讨论函数g(x)=eax-tan在上的零点个数. (本小题满分17分) 解答题标准练14　“18题、19题”34分练 (时间:35分钟　分值:34分) 18.[2025·东北三省三校联考] 某地区冬季流感频发,为了加强流感疾病的防治,该地区鼓励个人接种流感疫苗,最后统计表明,该地区整个冬季的流感患病率是52.28%,至冬季结束仍然有95%的居民未接种疫苗,这些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为55%. (1)现从接种过疫苗的人群中任选一位居民,求这人患病的概率. (2)已知泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布,则当n≥100且p≤0.01时,二项分布近似于泊松分布,其中λ=np,即X~B(n,p),P(X=i)=(i∈N).现从该地区接种疫苗的人群中随机抽取1000人,按上述泊松分布近似计算: ①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率; ②设1000人中患流感的人数为X,求使得P(X=i)最大时的X值.(参考数据:e-6≈0.002 5) (本小题满分17分) 19.[2025·山东省实验中学一模] 已知双曲线C:-=1(b>a>1)的渐近线方程为y=±x,C的半焦距为c,且a4+b4+4=4c2. (1)求C的标准方程. (2)若P为C上的一点,且P为圆x2+y2=4外一点,过P作圆x2+y2=4的两条切线l1,l2(斜率都存在),l1与C交于另一点M,l2与C交于另一点N,证明: (i)l1,l2的斜率之积为定值; (ii)存在定点A,使得M,N关于点A对称. (本小题满分17分) 解答题标准练15　“18题、19题”34分练 (时间:35分钟　分值:34分) 18.[2025·鹰潭一模] 设a为正数,若以a为首项的等比数列{an}满足a1+1,a2+2,a3+3也构成等比数列,则称{an}为a所对应的一个G型数列. (1)若G型数列{an}存在并且唯一,求a的值. (2)若an=a2n-1,n∈N*,其中<a<1,{an}是一个G型数列. (i)求a的值; (ii)令bn=an-,n∈N*,探究bn,bn+1,bn+2(n∈N*)之间的关系,并求-bnbn+2的值. (本小题满分17分) 19.[2025·衢州二模] 已知函数f(x)=ex+a(a∈R),O为坐标原点. (1)当a=1时, (i)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程; (ii)若点P是函数f(x)的图象上一点,求|OP|的最小值. (2)若函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B满足|OA|=|OB|=,求a的取值范围. (本小题满分17分) 解答13　“18题、19题”34分练 18.解:(1)由2c=2,得c=1,即a2=b2+1. 因为点在椭圆C1上,所以+=1,所以+=1,即2b4-b2-1=0,即(2b2+1)(b2-1)=0, 解得b2=1,所以a2=2,所以椭圆C1的方程为+y2=1. 4分 (2)(i)因为点P(x0,y0)在C1上,所以+2=2. 由(1)得C2的方程为+y2=m(m>1),即x2+2y2=2m(m>1). 5分 设M(x1,y1),N(x2,y2),由=+,得 由消去y得x2-2x0x+m-2m+2=0, 易得点P在C2的内部,所以Δ>0恒成立,且x1+x2=2x0,x1x2=m-2m+2, 7分 所以xQ=x1+x2=2x0,yQ=y1+y2====2y0. 因为+2=2,所以+2=2,即+2=8. 9分 若点Q在C2上,则+2=2m,比较得2m=8,解得m=4.所以当m=4时,点Q在C2上运动. 11分 (ii)当m=4时,C2的方程为x2+2y2=8,且点Q在C2上. 由(i)得x1+x2=2x0,x1x2=4-6,且+2=2,所以|MN|= = = 2=2=2, 13分 点O到直线MN的距离d==. 14分 因为=+,所以四边形OMQN是平行四边形,所以S四边形OMQN=2S△OMN=|MN|d=2·=2,为定值. 所以当m=4时,四边形OMQN的面积为定值,该定值为2. 17分 19.解:(1)证明:设函数h(x)=cos 2x+2x,x∈,则h'(x)=-2sin 2x+2>0,所以h(x)在上单调递增, 2分 则h(x)<h=,即cos 2x+2x<在上恒成立. 4分 (2)证明:因为当x∈时,f'(x)=>0,所以f(x)在上单调递增. 由(1)得cos 2x+2x<在上恒成立,所以0<cos 2x<-2x在上恒成立,所以f(x)=-n>-n. 5分 因为n>2,所以取x0=-∈,则f(x0)=-n>-n=-n=0, 又f(0)=2-n<0,所以f(x)在上恰有1个零点. 8分 (3)当x∈时,令g(x)=eax-tan=0,得eax=tan,等价于ln=ax. 记F(x)=ln-ax,x∈,则g(x)在上的零点个数即为F(x)在上的零点个数, 9分 易知x=0是F(x)的1个零点. 因为F(-x)=ln+ax=-ln+ax=-F(x),所以F(x)是奇函数,则F(x)在和上的零点个数相同. F'(x)=-a=-a,因为y=cos 2x在上单调递减,所以F'(x)在上单调递增. 当a≤2时,F'(x)>2-a≥0,故F(x)在上单调递增. 因为F(0)=0,所以F(x)>0在上恒成立,即F(x)在上没有零点,所以F(x)在上只有1个零点. 12分 当a>2时,由(2)可得F'(x)在上恰有1个零点,记该零点为x1. 当x∈(0,x1)时,F'(x)<0,当x∈时,F'(x)>0, 所以F(x)在(0,x1)上单调递减,在上单调递增. 而F(0)=0,故F(x1)<0,取tan x'==1-,则x'∈, F(x')=ln-ax'=-ax'>0,结合F(x)在上的单调性可得F(x)在(x1,x')上有1个零点,即F(x)在上有1个零点,所以F(x)在上有3个零点. 16分 综上,当a≤2时,g(x)在上只有1个零点; 当a>2时,g(x)在上有3个零点. 17分 解答14　“18题、19题”34分练 18.解:(1)记事件A=“患流感”,事件=“未患流感”,则P(A)=0.522 8, 设事件B=“接种疫苗”,事件=“未接种疫苗”,则P(B)=0.05,P()=0.95,P(A|)=0.55, 2分 由已知可得A=AB+A, 所以P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P(), 即0.522 8=0.05·P(A|B)+0.55×0.95,解得P(A|B)=0.006, 所以从接种过疫苗的人群中任选一位居民,这人患病的概率为0.006. 5分 (2)①由已知得当n≥100且p≤0.01时,二项分布近似于泊松分布,由(1)知p=0.006,所以np=1000×0.006=6,1000×0.3%=3. 6分 设1000人中患流感的人数为Y,则P(Y=0)=e-6,P(Y=1)=6e-6,P(Y=2)=18e-6, 9分 所以P(Y<3)=e-6+6e-6+18e-6≈0.062 5. 10分 ②由题意得P(X=i+1)=,P(X=i)=, 12分 所以=·=. 14分 当i<5时,>1,P(X=i)随i的增大而增大; 当i>5时,<1,P(X=i)随i的增大而减小; 当i=5时,=1. 所以当X=5或X=6时,P(X=i)最大. 17分 19.解:(1)因为C的渐近线方程为y=±x,所以=,则b2=2a2,所以2c=2=2a. 1分 因为a4+b4+4=4c2,所以a4+4a4+4=12a2,整理得(a2-2)(5a2-2)=0. 因为a>1,所以a2>1,所以a2=2, 3分 所以b2=2a2=4,故C的标准方程为-=1. 4分 (2)证明:(i)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2), 设过点P的切线的斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),其中x0≠±2, 即kx-y+y0-kx0=0,所以=2, 即(4-)k2+2kx0y0+4-=0, 设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是上述方程的两根,即k1k2=. 7分 又因为-=1, 所以k1k2===2, 所以l1,l2的斜率之积为定值,且定值为2. 10分 (ii)不妨设直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2, 由消去y得(2-)x2-2k1(y0-k1x0)x-+2k1x0y0--4=0. 因为(4-)+2k1x0y0+4-=0, 所以(2-)x2-2k1(y0-k1x0)x-4(+2)=0,则x1x0=,同理可得x2x0=, 所以==. 13分 因为k1k2=2,所以4-=0,所以==-1,得x1+x2=0. 15分 因为M(x1,y1),N(x2,y2)都在C上,所以y1+y2=0或y1=y2(舍去), 所以存在定点A(0,0),使得M,N关于点A(0,0)对称. 17分 解答15　“18题、19题”34分练 18.解:(1)设数列{an}的公比为q, 因为a1+1,a2+2,a3+3构成等比数列,所以(aq+2)2=(a+1)(aq2+3), 化简得aq2-4aq+3a-1=0(*), 2分 由a>0,得Δ=(-4a)2-4a(3a-1)=4a2+4a>0, 所以方程(*)有两个不等的实根,由数列{an}存在并且唯一知,方程(*)必有一个实根为0, 将q=0代入方程(*)得a=,当a=时,方程(*)可化为q2-4q=0,解得q=4或q=0(舍),故a=. 5分 (2)(i)因为an=a2n-1,{an}是一个G型数列,即a,a3,a5,a7,…为G型数列, 所以a+1,a3+2,a5+3构成等比数列,则(a3+2)2=(a+1)(a5+3), 即a5-4a3+3a-1=0, 即(a2+a-1)(a3-a2-2a+1)=0, 7分 方程a2+a-1=0的两根为a=, 8分 其正根为a=,满足<a<1. 令f(x)=x3-x2-2x+1, 由f(-2)=-7<0,f(0)=1>0,f=-<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0知,函数f(x)=x3-x2-2x+1的三个零点分别在区间(-2,0),,(1,2)内, 所以方程(a2+a-1)(a3-a2-2a+1)=0满足<a<1的根只有a=,所以a=. 12分 (ii)由(i)知a2+a-1=0, 即b1=a-=-1, 13分 又=a3--3,故b2=a3-=-4. 14分 由=a2+-2=1知,a2+=3,故3bn+1==a2n+3-+a2n-1-=bn+2+bn, 即bn+2=3bn+1-bn. 15分 由b1=-1,b2=-4知,b3=-11,bn∈Z. 令cn=-bnbn+2, 则c1=-b1b3=5,cn+1-cn=-bn+1bn+3-+bnbn+2=bn+2(3bn+1-bn)-bn+1(3bn+2-bn+1)-+bnbn+2=0,所以cn+1=cn=…=c1=5,即-bnbn+2=5. 17分 19.解:(1)当a=1时,f(x)=ex+1. (i)因为f'(x)=ex+1,所以f'(-1)=1,又f(-1)=1,故所求切线方程为y-1=x+1,即y=x+2. 2分 (ii)设P(x,ex+1),则|OP|=(x∈R), 3分 记g(x)=x2+e2x+2, 则g'(x)=2(x+e2x+2),易知g'(x)=2(x+e2x+2)是增函数且g'(-1)=0, 所以当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增. 故g(x)的最小值为g(-1)=2, 故|OP|的最小值为. 5分 (2)记h(x)=x2+e2x+2a,x∈R,则h'(x)=2(x+e2x+2a),易知h'(x)是增函数且存在负实数x0,使得h'(x0)=0,则a=-x0,=-x0, 7分 当x∈(-∞,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 故h(x)的最小值为h(x0), 当x→+∞时,h(x)→+∞,当x→-∞时,h(x)→+∞, 要使h(x)=1+|a|有两个不相等的实数解,则需h(x0)<1+|a|, 即+<1+,即-x0<1+. 10分 函数p(x)=-x是减函数,且p>0,p<0, 故函数p(x)存在唯一零点α,且α∈,则=α. 12分 ①若a<0,即-x0<0,则α<x0<0. 由h(x0)<1+|a|化简得-2x0+-1<0, 记F(x)=x2-2x+-1, 则F(x)是(-∞,0)上的减函数, 所以F(x0)<F(α)<F=-<0, 故当α<x0<0时,h(x0)<1+|a|恒成立,故a<0满足题意. 14分 (几何法:当a<0时,f(x)的图象经过点(0,ea),且0<ea<1,而A,B两点在以原点为圆心,为半径的圆上,且>1,所以点(0,ea)在圆x2+y2=1+|a|内,结合f(x)的图象,知函数f(x)的图象与圆x2+y2=1+|a|必有两个不同的交点,故a<0满足题意.) ②若a≥0,即-x0≥0,则x0≤α.由h(x0)<1+|a|化简得--1<0, 记k(x)=x2--1(x<0),则k'(x)=, 所以k(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,且k(-1)=0,k(α)=α2--1=α2-α-1<0, 故由--1<0,x0≤α,可得-1<x0≤α, 又a=-x0,所以a∈[0,1). 综上所述,a<1. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $