解答题标准练（1-3） “15～17题” 43分练-【满分思维】2026年高三数学三轮冲刺

解答题标准练1　“15~17题” 43分练 (时间:45分钟　分值:43分) 解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·深圳一模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c2=a2+b2-ab,cos 2B=sin C. (1)求B; (2)若b=1,求△ABC的面积. (本小题满分13分) 16.[2025·长沙雅礼中学二模] 如图所示,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在棱AC上,且AQ=3QC. (1)求证:PQ∥平面BCD; (2)若△BCD为正三角形,且AD=CD,求平面BMC与平面ABD夹角的正弦值. (本小题满分15分) 17.[2025·学军中学模拟] 已知实数a>0,设f(x)=-ax3+x2. (1)若a=3,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若对于任意的x1∈(2,+∞),总存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1,求a的取值范围. (本小题满分15分) 解答题标准练2　“15~17题” 43分练 (时间:45分钟　分值:43分) 解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.[2025·湖北部分高中协作体一模] 设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R). (1)求函数y=的最小正周期; (2)求函数y=f(x)f在上的最大值. (本小题满分13分) 16.[2025·嘉兴二模] 如图,在边长为2的正三角形ABC中,E,F分别为AC,BC的中点,将△CEF沿EF翻折至△PEF,使得PE⊥AE. (1)证明:平面PBE⊥平面ABFE; (2)求直线PB与平面PEF所成角的正弦值. (本小题满分15分) 17.[2025·广东茂名模拟] 某运动员为了解自己的运动技能水平,记录了自己1000次训练的情况并将成绩(满分100分)统计如下表所示. 成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)及上四分位数. (2)该运动员用比例分配的分层随机抽样的方式从落在区间[50,80)内的训练成绩中随机抽取了6次成绩,再从这6次成绩中随机选2次,设成绩落在区间[60,70)内的次数为X,求X的分布列及数学期望. (3)对这1000次训练记录分析后,发现某项动作可以优化.优化成功后,原低于80分的成绩可以提高10分,原不低于80分的无影响,优化失败则成绩会降低10分,已知该运动员优化动作成功的概率为p(0<p<1).在一次资格赛中,入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法,求动作优化后使得入围的可能性变大时p的取值范围. (本小题满分15分) 解答题标准练3　“15~17题” 43分练 (时间:45分钟　分值:43分) 解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列{an}是公差为2的等差数列,满足a2n=2an+1(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)设{an}的前n项和为Sn,若Sn<3an,求n的最大值. (本小题满分13分) 16.[2025·烟台一模] 已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处取得极大值. (1)求实数c的值; (2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围. (本小题满分15分) 17.[2025·绍兴二模] 已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点. (1)求Γ的方程; (2)设A,B分别为Γ的左、右顶点,在过点A且垂直于x轴的直线上任取一点P,过P作Γ的切线,切点为C(异于A),作CD⊥AB,垂足为D,记△PBC和△PBD的面积分别为S1,S2,求的值. (本小题满分15分) 解答1　“15~17题”43分练 15.解:(1)由cos C=及c2=a2+b2-ab得cos C=, 因为C∈(0,π),所以C=, 3分 又因为cos 2B=sin C=,且B∈,所以2B=,则B=. 6分 (2)方法一:由(1)可知A=, 7分 且sin B=sin=sin=, 8分 sin A=sin=sin=, 10分 由正弦定理==,得a===2+, 12分 所以S△ABC=absin C=×(2+)×1×=. 13分 方法二:如图,过点A作AD⊥AC交BC于D,由(1)可知,∠CAB=,则∠DAB=B=, 8分 所以AD=DB=,CD=2,所以a=2+, 11分 所以S△ABC=absin C=×(2+)×1×=. 13分 16.解:(1)证明:如图,过P作PE⊥BD,交BD于E,过Q作QF⊥CD,交CD于F,连接EF.因为AD⊥平面BCD,AD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD. 又平面ABD∩平面BCD=BD,PE⊂平面ABD,且PE⊥BD,所以PE⊥平面BCD.同理QF⊥平面BCD, 所以PE∥AD∥QF. 3分 又P为BM的中点,所以PE=MD=AD,因为AQ=3QC,所以=,所以==,即QF=AD=PE, 5分 所以四边形PEFQ为平行四边形,所以PQ∥EF,又EF⊂平面BCD,PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD. 7分 (2)连接EC,当△BCD为正三角形时,又E为BD的中点,则EC,ED,EP两两垂直,以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AD=CD=2, 则B(0,-1,0),C(,0,0),M(0,1,1),所以=(0,2,1),=(,1,0). 9分 设平面BMC的法向量为m=(x,y,z),则即 可得 即可取m=(,-3,6). 11分 易得平面ABD的一个法向量为n=(1,0,0). 12分 设平面BMC与平面ABD的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|===,所以sin θ==,即平面BMC与平面ABD夹角的正弦值为. 15分 17.解:(1)因为a=3,所以f(x)=x2-2x3,f(1)=-1,所以f'(x)=2x-6x2,则f'(1)=-4, 2分 故曲线y=f(x)在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-4×(x-1),即4x+y-3=0. 4分 (2)由已知得f'(x)=2x-2ax2(a>0),令f'(x)=0,解得x=0或x=,列表如下: x (-∞,0) 0 f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 0 单调递增 单调递减 6分 所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是(-∞,0)和,当x=0时,f(x)取得极小值0,当x=时,f(x)取得极大值, 7分 由f(0)=f=0知,当x∈时,f(x)>0,当x∈时,f(x)<0. 对于任意的x1∈(2,+∞),总存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1,当f(x1)=0时,不成立,故f(x1)≠0,所以≤2,即≤a. 9分 设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=, 则“对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B. ①当<1,即a>时,f(1)<0,此时f(x)在(1,+∞)上单调递减, 故B=,A=(-∞,f(2)),所以A不是B的子集. 11分 ②当1≤≤2,即≤a≤时,f(2)≤0且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞,f(2)),所以A⊆(-∞,0).若a=,则f(1)=0,当x∈(1,+∞)时,f(x)∈(-∞,0),所以∈(-∞,0),所以B=(-∞,0),故A⊆B.若≤1,即1≤a<,则f(1)>0,当x∈(1,+∞)时,f(x)∈(-∞,f(1)),所以当f(x)≠0时,∈(-∞,0)∪,所以(-∞,0)⊆B,故A⊆B.若>1,即≤a<1,则当x∈(1,+∞)时,f(x)∈,所以当f(x)≠0时,∈(-∞,0)∪(3a2,+∞),所以(-∞,0)⊆B,故A⊆B. 14分 综上,a的取值范围为. 15分 解答2　“15~17题”43分练 15.解:(1)由题可得f(x)=sin x+cos x=sin, 2分 则y===2sin2=1-cos=1-sin 2x, 5分 所以该函数的最小正周期T==π. 6分 (2)y=f(x)f=sin·sin x=2sinsin x=2sin x·=sin2x+sin xcos x=·+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin+, 10分 由x∈,可得2x-∈,所以当2x-=,即x=时,函数y=f(x)f取得最大值1+. 13分 16.解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,E为AC的中点,∴BE⊥AE, 2分 又∵PE⊥AE,且PE⊂平面PBE,BE⊂平面PBE,PE∩BE=E,∴AE⊥平面PBE, 4分 又AE⊂平面ABFE,∴平面PBE⊥平面ABFE. 6分 (2)方法一(等体积法):如图,过点P作PH⊥BE,垂足为H, ∵平面PBE⊥平面ABFE,且平面PBE∩平面ABFE=BE,∴PH⊥平面ABFE. 7分 ∵PE=1,AE=1,PE⊥AE,∴PA==,由对称性可知PB=,又BE=,∴∠EPB=90°,可得PH===. 10分 设直线PB与平面PEF所成的角为θ,点B到平面PEF的距离为h,由VB-PEF=VP-BEF得S△BEF·PH=S△PEF·h,又S△BEF=S△ABC=××2×2×sin 60°=,S△PEF=S△ABC=,∴h=, 13分 ∴sin θ==,故直线PB与平面PEF所成角的正弦值为. 15分 方法二(几何法):如图,分别取EF,AB的中点M,N,连接PM,PN,MN,过点N作NG⊥PM,垂足为G,∵△ABC为等边三角形,E,F分别为AC,BC的中点,∴△PEF为等边三角形,四边形EFBA为等腰梯形, ∴PM⊥EF,MN⊥EF,又PM∩MN=M,PM,MN⊂平面PMN,∴EF⊥平面PMN,∵EF⊂平面PEF,∴平面PMN⊥平面PEF. ∵平面PEF∩平面PMN=PM,NG⊥PM,NG⊂平面PMN,∴NG⊥平面PEF, 9分 ∵AB∥EF,AB⊄平面PEF,∴AB∥平面PEF,∴点B到平面PEF的距离即为NG. 10分 ∵PE=1,AE=1,PE⊥AE,∴PA==,由对称性可知PB=,又AB=2,∴∠APB=90°,∴PN=1.在△PMN中,PM=,MN=,∴PN边上的高为=,由等面积法得NG==. 13分 设直线PB与平面PEF所成的角为θ,则sin θ==,故直线PB与平面PEF所成角的正弦值为. 15分 方法三(坐标法):过点P作PH⊥BE,垂足为H,∵平面PBE⊥平面ABFE,且平面PBE∩平面ABFE=BE,∴PH⊥平面ABEF, 8分 ∵PE=1,AE=1,PE⊥AE,∴PA==,由对称性可知PB=, 9分 又BE=,∴∠EPB=90°,∴PH==,EH==. 10分 以E为坐标原点,EA,EB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),B(0,,0),F,P,∴=,=,=. 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z), 则即 不妨令z=-1,可得n=(,,-1). 12分 设直线PB与平面PEF所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==,故直线PB与平面PEF所成角的正弦值为. 15分 17.解:(1)依题意,平均值=×(100×55+200×65+300×75+240×85+160×95)=76.6. 2分 ∵0.1+0.2+0.3=0.6<0.75,0.6+0.24=0.84>0.75,∴上四分位数落在区间[80,90)内,且等于80+×10=86.25. 4分 (2)由样本数据可知,训练成绩在[50,60)∪[70,80),[60,70)之内的频数之比为2∶1,由比例分配的分层随机抽样的方法得,从落在区间[50,80)内的训练成绩中随机抽取了6次成绩,则在[50,60)∪[70,80)内抽取4次,在[60,70)内抽取2次,∴X所有可能的取值为0,1,2, 5分 P(X=0)===,P(X=1)==,P(X=2)==, 8分 ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×+1×+2×=. 10分 (3)设事件A1,A2,A3分别表示动作优化前成绩落在区间[70,80),[80,90),[90,100]内,则A1,A2,A3互斥,∴动作优化前,在一次资格赛中,入围的概率为P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)=+=0.4. 11分 设事件B表示动作优化成功,则P(B|A1)=P(B|A2)=P(B)=p, 12分 动作优化后,在一次资格赛中入围为事件A1B∪A2B∪A3,且事件A1B,A2B,A3互斥,∴动作优化后,在一次资格赛中入围的概率为P(A1B∪A2B∪A3)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3),故P(A1B∪A2B∪A3)=p+p+=0.54p+0.16, 14分 由0.54p+0.16>0.4解得p>, 又∵p<1,∴p的取值范围是. 15分 解答3　“15~17题”43分练 15.解:(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列,所以an=a1+2(n-1),由a2n=2an+1可得a1+2(2n-1)=2[a1+2(n-1)]+1,解得a1=1, 4分 所以{an}的通项公式为an=2n-1. 6分 (2)由(1)得Sn==n2, 8分 由Sn<3an得n2<3(2n-1),即n2-6n+3<0,解得3-<n<3+, 11分 所以n的最大值为5. 13分 16.解:(1)由函数f(x)=x(x+c)2,求导可得f'(x)=(x+c)(3x+c), 1分 由函数f(x)=x(x+c)2在x=1处取得极大值,得f'(1)=0,解得c=-1或c=-3. 2分 当c=-1时,可得f'(x)=(x-1)(3x-1),易知当<x<1时,f'(x)<0,当1<x时,f'(x)>0, 则此时函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意,舍去; 4分 当c=-3时,可得f'(x)=(x-3)(3x-3),易知当x<1时,f'(x)>0,当1<x<3时,f'(x)<0,则此时函数f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上所述,c=-3. 7分 (2)由(1)可得函数f(x)=x(x-3)2,f'(x)=3(x-1)(x-3),令f'(x)=0,得x=1或x=3,可得下表: x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的极大值为f(1)=4,极小值为f(3)=0, 11分 函数g(x)=f(x)+a存在三个不同的零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=-a存在三个不同的交点,作出f(x)的图象和直线y=-a,如图所示,由图可得0<-a<4,解得-4<a<0,故a的取值范围是-4<a<0. 15分 17.解:(1)由题意知c=1,又因为椭圆过点,所以a2-b2=1,+=1,解得a2=4,b2=3, 3分 所以Γ的方程为+=1. 4分 (2)设P(-2,t)(t≠0),直线PC的方程为y=k(x+2)+t,代入Γ的方程得(3+4k2)x2+8k(2k+t)x+4(2k+t)2-12=0.因为直线PC与Γ相切,所以Δ=64k2(2k+t)2-4(3+4k2)[4(2k+t)2-12]=0,化简得4kt+t2-3=0,所以k=, 7分 所以xC=-=,代入直线PC的方程得yC=. 9分 设PB与CD交于点E,易知B(2,0),直线PB的方程为y=-(x-2), 因为xE=xC=,代入直线PB的方程得yE=, 12分 所以yE=yC,所以E为CD的中点,因此点C,D到直线PB的距离相等,所以=1. 15分 学科网（北京）股份有限公司 $