重难点专题02 二次根式的运算5大题型（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点专题二次根式的运算 直接计算一重难点一：二次根式的混合运算 重难点一：复合二次根式的化简 二次根式的运算 二次根式的化简 重难点二：二次根式的化简求值 重难点三：分母有理化 二次根式的大小比较 00 重点超化 重难点一二次根式的混合运算 城方法 1)二次根式混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号的先算括号内的，同时灵活运用 二次根式的性质和运算法则。 1.(25-26七年级下辽宁鞍山月考)计算： 1(-2)3×V(-4)2+-64×(-)+27 225-12-51-层+V(3-5) 2.(25-26八年级下.山东淄博月考)计算： 1)6×4W12÷(32): 2(3-1)(35+1)-(25-1)2. 3.(25-26八年级下.四川绵阳·月考)计算 (1V8+23-(V27-V2): 2(反-V5)2+2N×3N2: B(5+2)2025.(5-2)2026-24÷5. 4.(2026陕西西安二模)计算：V5+V6×V2-(π-2026)°. 5.(25-26七年级下北京西城月考)计算 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (6)2+-8-25 2)2-6-6(3-V6) 6.(25-26八年级下.全国期中)计算： 145+20-V8+42: 2W45÷3V3×得-5： W24÷2+(5-1)2-(-)2 4(2-27)-(V5-2). 重难点二复合二次根式的化简 城方法 1)复合二次根式是指被开方数中含有二次根式的式子（如2+V3),核心化简方法是“配方法”，将被开 方数配成完全平方形式； 2)解题步骤如下： ①拆分常数项：将被开方数中的常数项拆成两个数的和，使这两个数的乘积等于被开方数中根号内的一次 项（或其一半的平方）； ②配方转化：将被开方数化为(V血±)2(m>>0)的形式，调足m十n=常数项， 2ymn=根号内的二次根式项： ③去根号化简：利用V2=因±V石>0：直接去掉根号，得到最简形式。 7.(25-26八年级上.上海月考)计算： (1)9-2W3+V⑧ = (2)V32+163+12W5+815= o+3+o- 8.(25-26八年级下.全国课后作业)计算： W10+1 9.(25-26八年级下.安徽合肥月考)形如√m士2√n的化简，只要我们找到两个数a,b(a>b>0),使 a+b=m,ab=n,则(V)2+(6)2=m,V6=V血，那么就会有 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m±2W-(W±5)7-±5. 例如V5+2√6的化简就可以将5看作是m,6看作n. :3+2=5,3×2=6, 5+26=V(5+2)-5+5. 根据上述解决问题的方法，解答下列各题. (1)化简V8-2√15 2若a+65=(m+5n)己，且a,m,n均为正整数，求a的值. (3)计算： 16+67 11-47 重难点三二次根式的化简求值 啸方法 1)二次根式化简求值的核心是“先化简、再求值”，避免直接代入数值计算繁琐； 2)步骤如下： ①化简表达式：先将待求值的二次根式表达式化为最简形式： ②处理已知条件：若已知条件是含二次根式的式子，先化简已知条件，或根据已知条件求出字母的取值范围： ③代入求值：将化简后的已知条件或字母值，代入化简后的表达式中，计算出最终结果： ④验证结果：检查结果是否为最简，若有分母含根号，需进行分母有理化。 10.(2026湖南湘潭一模)先化简，再求值：（1-是)÷，其中x=V3。 11.(25-26八年级下.四川泸州月考)先化简，再求值：会÷（学-4），其中x=V2+2: 12.(2026八年级下重庆专题练习)先化简（磊-a+1)÷品，再从1、一1、和V2中选一个你认为 合适的数作为a的值代入求值. 13.(25-26八年级上江苏扬州月考)已知对x+y=-6,xy=4,求√医+V昏的值， 14.(25-26八年级上北京延庆期末)已知：a-b-V5=0,求代数式（磊-1）÷二的值， 15.(2025八年级上北京专题练习)先化简，再求值：÷(x+2-马)，其中x=V5-3. 16,(25:26八年级上四川成都期中)已知x=了产2，y=2·解答下列各墨： 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求y+x的值： (2)求x2+y+y2的值， 17.(25-26八年级上湖南邵阳期中)已知：x=V2-V3,y=V2+5,求下列各式的值. (1)x2-2xy+y2 (2x2-y2. ab 3-4V3b+4b 18.（25-26八年级上上海静安期中)先化简，后求值：6+6-36-日，其中a=支，b=员 重难点四分母有理化 啸方法 1)分母有理化是指将分母中含二次根式的式子，转化为分母不含二次根式的形式，核心是“利用平方差公 式消去分母中的根号”。 19.(25-26八年级上上海期中)下列二次根式中，与√a+b互为有理化因式的是() A.-a+b B.va-b c.va-b D.a+6 20.(25-26九年级下天津期末)已知a=()2+（-5)°，b=(V2+V5)(V巨-5)，则的 值为 21.(25-26八年级下四川自贡·月考)请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)0化简：产2= ②比较大小：V2025-V2024 V2024-V2023;(用“>”、“="或“<"填空) 2设有理数a、6满足：品十产=-65+4，求2+b2的值 3)已知V12-x-V6-x=2,求V12-x+V6-x的值 22.(25-26八年级下·广东汕头·月考)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务。 材料一： 材料二： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇 形如a士2Vb的化简，只要我们找到两个正数 到如+的式子，其实我们还可以将其进一步化简： xy(x>y),使x+y=axy=b,则： 2- 5- 6+-5+1W3- √a±26=V(x+y)±2 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 W5- (- =()+()±25 =-到 2 =(版±5了 =5-1 =±F(x>y) 我们就称这个过程为分母有理化. 我们就称√a士26为“理想二次根式”，则上述过程 就称之为化简“理想二次根式” 任务： 1分母有理化：产 2)化简“理想二次根式”：V5+2W6=】 版据材料中的方法进行化简与计算：已知m=,n二万，求m十知的值， 2 4i计算：（本+7++2o2620s)×(2026+1). 23.(25-26八年级下浙江金华月考)小芳在解决问题：已知日= 2+,求2a2-8a+1的值.她是这样分 析与解的： 2-3 a=2店=2就2雨=2-5，a=2-5. :(a-2)2=3,a2-4a+4=3,aa2-4a=-1, .2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： a计算：本i+5+4+有+…+2o262025. 2若a品 ①求5a2-10a+2的值： ②求3a3-12a2+9a-10的值.。 24.(25-26八年级下.内蒙古呼和浩特月考)阅读材料：像(V5+2)(√5-2）=1， V·V=a(a≥0)，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互 为有理化因式，在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以消除分母中的根号，如： 5/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2+1 方=2+=5+1，请你解决以下向题： (1V3+V2的有理化因式是 (写出一个即可)，6+5 2化简：石+5+5店+5+5+…+万 2023+W2025· 2-5 25.(25-26八年级下.安徽阜阳·月考)已知x= 有，y 2+v5 求下列各式的值： (1)xy+x+y; (2)5+. 重难点五二次根式的大小比较 螺方法 1)平方法：适用于两个正数的二次根式比较，两边同时平方（正数平方后大小关系不变），比较平方后的 结果 2)作差法：计算两个二次根式的差，若差>0，则前者大；若差<0，则后者大；若差=0，则两者相等； 3)作商法：适用于两个正数的二次根式比较，两边同时相除（正数相除后大小关系不变），若商>1，则前 者大；若商<1，则后者大；若商=1，则两者相等； 4)估算法：估算二次根式的近似值（保留1-2位小数），再进行比较。 26.（25-26八年级下.安徽毫州·月考)下列结论正确的是（) A.誓>唱>后 8居>唱> c.9>老>唱 0是>9>目 27.(25-26八年级上湖南永州期中)已知：a=V万-V6,b=22-V万，c=3-22,则a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 28.(25-26八年级下.全国课后作业)已知k,m,n都是整数，若V90=k√10，V800=20Wm, √180=6，则下列关于k,m,n大小关系的结论，正确的是() A.m<k<n B.m=n<k C.m<n<k D.k<m=n 29.(25-26九年级下江苏淮安期中)比较大小：V26 4(填“>”"<”或"=”). 30.(25-26八年级下.山东临沂-月考)比较大小：35 26. 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 31.(25-26八年级上江苏南京月考)已知：a>0,b>0,求证：V+V6>Va+b 32.(25-26八年级下·安徽合肥月考)若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这 两个代数式互为有理化因式.例如V2与√2，V2+2与2一2等都互为有理化因式.在进行二次根式计算 时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. (1)方化为最简二次根式为一，将5+2万分母有理化得 (2)比较11+V5与23-i的大小. 7/7 重难点专题 二次根式的运算 重难点一 二次根式的混合运算 1）二次根式混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号的先算括号内的，同时灵活运用二次根式的性质和运算法则。 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根、立方根、乘方计算后，再进行四则混合运算即可； （2）利用算术平方根、绝对值进行化简后，进行加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26八年级下·山东淄博·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·月考）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）将二次根式化为最简二次根式，再去括号，合并被开方数相同的二次根式． （2）运用完全平方公式展开，计算二次根式的乘法，合并同类项后得出答案． （3）运用幂的运算性质与平方差公式化简，计算二次根式的除法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（2026·陕西西安·二模）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、二次根式乘法和零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级下·北京西城·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，根据算术平方根，立方根的运算法则，进行计算即可； （2）根据化简绝对值，二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（25-26八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行二次根式加法运算即可； （）先算二次根式乘除，再算减法即可； （）利用二次根式除法，完全平方公式，负整数指数幂计算，然后合并即可求解； （）先去括号，利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 重难点二 复合二次根式的化简 1）复合二次根式是指被开方数中含有二次根式的式子（如），核心化简方法是“配方法”，将被开方数配成完全平方形式； 2）解题步骤如下： ①拆分常数项：将被开方数中的常数项拆成两个数的和，使这两个数的乘积等于被开方数中根号内的一次项（或其一半的平方）； ②配方转化：将被开方数化为（）的形式，满足，； ③去根号化简：利用，因，直接去掉根号，得到最简形式。 7．（25-26八年级上·上海·月考）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得： ， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行简便运算. 【详解】设原式， 则 ． ， ∴原式． 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，解题的关键熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式． 9．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，，则，，那么就会有． 例如的化简就可以将5看作是m，6看作n． ，， ． 根据上述解决问题的方法，解答下列各题． (1)化简． (2)若，且a，m，n均为正整数，求a的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)28或12 (3) 【分析】（1）根据材料里提供的方法化简即可得解； （2）根据题意可得，从而得到，则，再由m，n均为正整数，可求出m，n的值，即可； （3）根据材料里提供的方法化简，，再计算，即可得解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上所述，a的值为28或12； （3）解：∵，，且， ∴，， ∴ ． 重难点三 二次根式的化简求值 1）二次根式化简求值的核心是“先化简、再求值”，避免直接代入数值计算繁琐； 2）步骤如下： ①化简表达式：先将待求值的二次根式表达式化为最简形式； ②处理已知条件：若已知条件是含二次根式的式子，先化简已知条件，或根据已知条件求出字母的取值范围； ③代入求值：将化简后的已知条件或字母值，代入化简后的表达式中，计算出最终结果； ④验证结果：检查结果是否为最简，若有分母含根号，需进行分母有理化。 10．（2026·湖南湘潭·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法，可得化简的结果，再把代入化简后的代数式即可． 【详解】解： 当时，原式 11．（25-26八年级下·四川泸州·月考）先化简，再求值：，其中； 【答案】， 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再将除法变为乘法，并化到最简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 12．（2026八年级下·重庆·专题练习）先化简，再从1、、和中选一个你认为合适的数作为的值代入求值． 【答案】 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后分解因式约分化成最简分式，再从所给数值中选一个使分式有意义的数代入求值． 【详解】解： =， =， =， ∵， ∴， ∴原式=． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 14．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 15．（2025八年级上·北京·专题练习）先化简，再求值： 其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键是注意计算的准确性．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式 ． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 17．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知：，，求下列各式的值． (1) (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先因式分解，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 把，代入得： 原式 ； （2）解：） ． 18．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 重难点四 分母有理化 1）分母有理化是指将分母中含二次根式的式子，转化为分母不含二次根式的形式，核心是“利用平方差公式消去分母中的根号”。 19．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 20．（25-26九年级下·天津·期末）已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据已知条件计算出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 21．（25-26八年级下·四川自贡·月考）请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)26 (3)3 【分析】（1）①利用分母有理化的法则解答即可； ②根据分母有理化的法则得到，，再根据分数的性质解答即可； （2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出、的值，再计算的值即可； （3）设，，利用平方差公式得到，进而得到． 【详解】（1）解：①； ②∵，， ∴，， ， ， ； （2）解： ， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：设，， ， ， ， ， 即． 22．（25-26八年级下·广东汕头·月考）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化：___________； (2)化简“理想二次根式”：___________； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4)2025． 【分析】本题考查了分母有理化、理想二次根式的化简及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法和理想二次根式的化简技巧，利用平方差公式和完全平方公式进行化简． （1）中分子分母同乘，利用平方差公式去分母中的根号； （2）中将拆成，凑成完全平方; （3）中先对分母有理化得，对中根号内化简为理想二次根式得，再相加； （4）中每个分式分母有理化后，中间项相互抵消，只剩首尾两项，再利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． ． （4）解： ． 23．（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 24．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）阅读材料：像，，…，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以消除分母中的根号，如：，请你解决以下问题： (1)的有理化因式是________（写出一个即可），________； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）先对各项分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是，． （2）解：原式 ． 25．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再整体代入计算结果； （）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再运用完全平方公式，将化为，再代入数值计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴． 重难点五 二次根式的大小比较 1）平方法：适用于两个正数的二次根式比较，两边同时平方（正数平方后大小关系不变），比较平方后的结果； 2）作差法：计算两个二次根式的差，若差>0，则前者大；若差<0，则后者大；若差=0，则两者相等； 3）作商法：适用于两个正数的二次根式比较，两边同时相除（正数相除后大小关系不变），若商>1，则前者大；若商<1，则后者大；若商=1，则两者相等； 4）估算法：估算二次根式的近似值（保留1-2位小数），再进行比较。 26．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 27．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 29．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】通过比较平方的大小来判断平方根的大小，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为：． 30．（25-26八年级下·山东临沂·月考）比较大小：________． 【答案】 【分析】利用平方法，将两个带根号的数分别平方，比较平方后的结果大小，进而确定原数的大小关系． 【详解】解：， ， ，且，， ． 31．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 32．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)化为最简二次根式为______，将分母有理化得______． (2)比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分子分母同乘以即可；分子分母同乘以即可； （2）先将进行分母有理化，再进行比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 而， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $