考点02 二次根式的运算（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

02 二次根式的运算 考点一：二次根式的乘法法则 1、二次根式的乘法法则： 。 拓展： 2、积的算术平方根的性质： 两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。即 。 考点二：二次根式的除法法则 1、二次根式的除法法则： 拓展： 2、商的算术平方根的性质： 3、 分母有理化： ， ， 分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式。 考点三：二次根式的乘除混合运算 1、二次根式的混合运算步骤： ①将算式中的除法转化成乘法。 ②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。 ③化成最简二次根式。 考点四：同类二次根式 1、同类二次根式的概念： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。 即。 考点五：二次根式的加减 1、 二次根式的加减运算法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。 2、 二次根式的加减运算的具体步骤： ①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。 ②对二次根式进行化简。 ③合并同类二次根式。 考点六：二次根式的混合运算 1、 二次根式的混合运算法则： 同有理数的混合运算法则相同，先去乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。 题型一：二次根式的乘法 1. 二次根式乘法法则：。 2. 先将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘。 3. 再将结果化为最简二次根式。 4. 注意字母的取值范围，确保被开方数非负。 1. 忽略a、b的非负条件，直接套用法则。 2. 系数相乘时漏乘。 3. 乘完后未化简，如，误写成不化简。 4. 被开方数相乘时运算错误。 1．（25-26八年级上·重庆·期末）估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若的值是整数，则整数的值为__________． 4．（2023·广东·中考真题）计算：______． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）化简： (1)； (2)． 题型二：二次根式的除法 1. 二次根式除法法则：。 2. 可将除法写成分数形式，再化简。 3. 注意分母有理化，使分母不含根号。 4. 结果要化为最简二次根式。 1. 忽略b>0的条件，b=0时分母无意义。 2. 除法写成根号内相除时，忘记被开方数整体相除。 3. 分母有理化时只乘分母，忘记乘分子。 4. 结果未化简，如，误写成不化简。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简：______． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算：__________. 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程． (1) (2) 题型三：二次根式的乘除混合运算 1. 先将乘除运算统一为乘法（除以一个数等于乘它的倒数）。 2. 系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除。 3. 运用，计算。 4. 最后化简为最简二次根式。 1. 运算顺序错误，未从左到右依次计算。 2. 除法转化为乘法时，倒数写错。 3. 系数与被开方数混淆，如，误写成。 4. 化简时漏掉系数或因式。 1．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为___________． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 3．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 4．（19-20八年级上·上海长宁·期中）计算： 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 题型四：分母有理化 1. 分母是单项根式：分子分母同乘分母的根式。 2. 分母是两项根式和或差：分子分母同乘分母的共轭根式。 3. 化简分子，使分母不含根号。 4. 将结果化为最简形式。 1. 共轭根式找错，如的共轭是。 2. 乘共轭时只乘分母，忘记乘分子。 3. 分母有理化后分子未化简。 4. 忽略分母不为0的条件。 1．（19-20八年级下·浙江杭州·期中）______． 2．（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 4．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 题型五：复合二次根式化简 1. 观察形如的复合二次根式。 2. 尝试设，两边平方。 3. 得到m＋n＝a，4mn＝b（或）。 4. 解出m、n，代入得化简结果。 5. 注意m、n为有理数，且m≥n≥0。 1. 设式时符号错误，导致平方后方程不对。 2. 解m、n时忽略m、n为有理数的条件。 3. 忘记验证化简结果是否与原式相等。 4. 对形如的形式，误用方法。 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）_______． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 5．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）（1）已知，试比较的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 题型六：同类二次根式 1. 先将每个二次根式化为最简二次根式。 2. 比较化简后的被开方数是否相同。 3. 若被开方数相同，则它们是同类二次根式。 4. 同类二次根式可以合并，系数相加减。 1. 未化简直接比较被开方数，如和误认为不是同类。 2. 忽略系数，认为被开方数相同就是同类。 3. 合并时系数加减错误。 4. 误把根指数不同的根式（如和）当作同类。 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江金华·月考）与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 题型七：二次根式的加减运算 1. 先将每个二次根式化为最简二次根式。 2. 找出同类二次根式。 3. 合并同类二次根式，系数相加减，根号部分不变。 4. 非同类二次根式保留，不能合并。 1. 未化简就合并，如的错误。 2. 把不同类的二次根式强行合并。 3. 系数加减时符号错误。 4. 忘记根号部分不变，把被开方数也相加减。 1．（25-26八年级上·上海·期末）计算：______． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）计算：______． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）计算或求值： (1)； (2)已知，求的值． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) (3) 5．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 题型八：二次根式的混合运算 1. 先算乘方（根号可视为分数指数幂），再算乘除，最后算加减。 2. 有括号先算括号里的。 3. 运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算。 4. 每一步化简，最后结果化为最简二次根式。 1. 运算顺序错误，如先加后乘。 2. 乘法公式用错，如，误写成。 3. 去括号时符号错误。 4. 结果未化简到最简形式。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型九：二次根式的大小比较 1. 若根号外有系数，可移入根号内比较：。 2. 比较被开方数的大小（需确保非负）。 3. 也可用平方法：比较两数平方的大小。 4. 注意正负情况，负数越小，值越大。 1. 系数移入根号时忘记平方系数。 2. 比较负数时忽略负号对大小的影响。 3. 平方法比较时，若两数一正一负，平方后失去符号信息。 4. 忽略被开方数为负的情况。 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）比较大小：______ 3．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小：______．（填“”“ ”或“”） 4．（24-25九年级上·全国·月考）比较大小关系：______，________． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）比较大小： (1)与 (2)与 题型十：二次根式的应用 1. 理解题意，将实际问题转化为数学问题。 2. 设未知数，列出含有二次根式的方程或表达式。 3. 运用二次根式的运算性质求解。 4. 检验结果是否符合实际意义。 1. 忽略实际意义，如边长不能为负。 2. 列式时单位不统一。 3. 二次根式运算错误。 4. 解出后未化简或未保留题目要求的形式。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 2．（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为________． 4．（24-25八年级下·浙江金华·月考）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 题型十一：已知字母和代数式的值并化简求值 1. 先化简所给代数式（去括号、合并同类项、分母有理化等）。 2. 将字母的值代入化简后的式子。 3. 注意代入时字母的值要使原式有意义（被开方数非负，分母不为0）。 4. 计算出结果，化为最简形式。 1. 先代入后化简，导致计算复杂易错。 2. 代入时字母的值使式子无意义未检查。 3. 化简时运算错误。 4. 结果未化为最简二次根式。 1．（2025·浙江·模拟预测）已知，则______． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则________． 3．（16-17八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于________ 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）完成下列有关根式的问题： (1)求当，时，代数式的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知：，求的值．小启同学是这样分析与解答的： 解：， 则 ，即， 请你根据小启的分析过程，解决如下问题： (1)计算：__________； (2)计算的值； (3)若，计算的值． 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下列二次根式的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算：_______________． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如果，，那么_______ ． 8．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 9．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 10．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 二次根式的运算 考点一：二次根式的乘法法则 1、二次根式的乘法法则： 。 拓展： 2、积的算术平方根的性质： 两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。即 。 考点二：二次根式的除法法则 1、二次根式的除法法则： 拓展： 2、商的算术平方根的性质： 3、 分母有理化： ， ， 分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式。 考点三：二次根式的乘除混合运算 1、二次根式的混合运算步骤： ①将算式中的除法转化成乘法。 ②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。 ③化成最简二次根式。 考点四：同类二次根式 1、同类二次根式的概念： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。 即。 考点五：二次根式的加减 1、 二次根式的加减运算法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。 2、 二次根式的加减运算的具体步骤： ①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。 ②对二次根式进行化简。 ③合并同类二次根式。 考点六：二次根式的混合运算 1、 二次根式的混合运算法则： 同有理数的混合运算法则相同，先去乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。 题型一：二次根式的乘法 1. 二次根式乘法法则：。 2. 先将系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘。 3. 再将结果化为最简二次根式。 4. 注意字母的取值范围，确保被开方数非负。 1. 忽略a、b的非负条件，直接套用法则。 2. 系数相乘时漏乘。 3. 乘完后未化简，如，误写成不化简。 4. 被开方数相乘时运算错误。 1．（25-26八年级上·重庆·期末）估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算，得到，然后通过估计的值确定范围 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴值在8和9之间． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若的值是整数，则整数的值为__________． 【答案】3或12 【分析】本题考查了二次根式的乘除法及性质，分式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将原式化简为，根据其值为整数，设该整数为，列出方程求解，要求整除12，且为正整数． 【详解】解：原式＝ = 设 （ 为正整数），则 ∴ ∵为整数， 为整数，即整除 的平方因数有和 ∴或 解得： （舍负） 或 （舍负） 当 时，；当 时， 经检验，均符合题意． 故答案为：或． 4．（2023·广东·中考真题）计算：______． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)70 (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法计算即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴． 题型二：二次根式的除法 1. 二次根式除法法则：。 2. 可将除法写成分数形式，再化简。 3. 注意分母有理化，使分母不含根号。 4. 结果要化为最简二次根式。 1. 忽略b>0的条件，b=0时分母无意义。 2. 除法写成根号内相除时，忘记被开方数整体相除。 3. 分母有理化时只乘分母，忘记乘分子。 4. 结果未化简，如，误写成不化简。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，估算无理数的大小，熟练掌握估算方法是解题的关键． 先解方程，然后通过比较平方数估计所求解的范围. 【详解】解：∵ ， ∴，即， ∵ ， ，且 ， ∴， 因此在到之间. 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的化简和运算法则． 根据二次根式的性质逐一判断，注意算术平方根的非负性和分母有理化． 【详解】解：∵ 对于选项A：， ∴ 正确，符合题意； 对于选项B：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项C：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项D：， ∴ 错误，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算：__________. 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含二次根式的一元一次方程求解，关键是利用等式性质将系数化为1，并对二次根式进行化简． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 题型三：二次根式的乘除混合运算 1. 先将乘除运算统一为乘法（除以一个数等于乘它的倒数）。 2. 系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除。 3. 运用，计算。 4. 最后化简为最简二次根式。 1. 运算顺序错误，未从左到右依次计算。 2. 除法转化为乘法时，倒数写错。 3. 系数与被开方数混淆，如，误写成。 4. 化简时漏掉系数或因式。 1．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为___________． 【答案】4036 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出和 ．然后再求出和．两式子相加，即可得出，然后利用二次根式的非负性质可得出，，即可得出和，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴① 同理可得出②， ∴① ②， 由①②得：， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：4036． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合化简，核心是利用二次根式的运算法则、，并结合分式约分、分母有理化完成化简． 【详解】（1）解：由有意义，得到，， ； （2）解：由，，有意义，得到， ． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． 4．（19-20八年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），根据乘方分配率计算；对于（2），根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型四：分母有理化 1. 分母是单项根式：分子分母同乘分母的根式。 2. 分母是两项根式和或差：分子分母同乘分母的共轭根式。 3. 化简分子，使分母不含根号。 4. 将结果化为最简形式。 1. 共轭根式找错，如的共轭是。 2. 乘共轭时只乘分母，忘记乘分子。 3. 分母有理化后分子未化简。 4. 忽略分母不为0的条件。 1．（19-20八年级下·浙江杭州·期中）______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 分子和分母同乘以进行分母有理化，消除分母中的根式． 【详解】解： 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式分母有理化是解题的关键． （1）分子、分母同乘以即可； （2）分子、分母同乘以即可； （3）分子、分母同乘以即可； （4）分子、分母同乘以即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 4．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解； （2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 题型五：复合二次根式化简 1. 观察形如的复合二次根式。 2. 尝试设，两边平方。 3. 得到m＋n＝a，4mn＝b（或）。 4. 解出m、n，代入得化简结果。 5. 注意m、n为有理数，且m≥n≥0。 1. 设式时符号错误，导致平方后方程不对。 2. 解m、n时忽略m、n为有理数的条件。 3. 忘记验证化简结果是否与原式相等。 4. 对形如的形式，误用方法。 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）_______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 5．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）（1）已知，试比较的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 【答案】（1），详见解析；（2） 【分析】本题考查了二次根式的计算，复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）分子有理化后比较即可； （2）先化简复合二次根式，再算加减即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ． （2） ． 题型六：同类二次根式 1. 先将每个二次根式化为最简二次根式。 2. 比较化简后的被开方数是否相同。 3. 若被开方数相同，则它们是同类二次根式。 4. 同类二次根式可以合并，系数相加减。 1. 未化简直接比较被开方数，如和误认为不是同类。 2. 忽略系数，认为被开方数相同就是同类。 3. 合并时系数加减错误。 4. 误把根指数不同的根式（如和）当作同类。 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判定、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同成为解题的关键．先运用二次根式的性质化简，然后根据同类二次根式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：① ，为整数，不是二次根式； ② 与的被开方数相同，与是同类二次根式； ③与的被开方数不同，与不是同类二次根式； ④与的被开方数相同，与是同类二次根式． 综上，与是同类二次根式的是②和④． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）下列各式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、合并二次根式，判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，若被开方数相同，则可合并，由此逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，为有理数，与（无理数）无法合并，故不符合题意； B、，化简后被开方数为，与不同，不能合并，故不符合题意； C、，化简后被开方数为，与相同，可以合并，故符合题意； D、含未知数，无法确定是否为完全平方数，无法保证与合并，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·浙江金华·月考）与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 把所给的二次根式化简后比较被开方数即可解答． 【详解】解：，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， 即最简二次根式与是同类二次根式， 故， 解得． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式可以合并的条件是化简后被开方数相同．化简，根据二次根式可以合并的条件进行计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七：二次根式的加减运算 1. 先将每个二次根式化为最简二次根式。 2. 找出同类二次根式。 3. 合并同类二次根式，系数相加减，根号部分不变。 4. 非同类二次根式保留，不能合并。 1. 未化简就合并，如的错误。 2. 把不同类的二次根式强行合并。 3. 系数加减时符号错误。 4. 忘记根号部分不变，把被开方数也相加减。 1．（25-26八年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减，先将 化简为 ，再与 进行合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）计算或求值： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出，的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ，， ． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和加法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先化简二次根式，再进行二次根式的加法运算； （2）分别化简二次根式和计算乘法，再进行加减计算； （3）先化简二次根式，再进行二次根式的加法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的加减运算法则即可求解； （2）利用二次根式的性质化简后再计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 题型八：二次根式的混合运算 1. 先算乘方（根号可视为分数指数幂），再算乘除，最后算加减。 2. 有括号先算括号里的。 3. 运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算。 4. 每一步化简，最后结果化为最简二次根式。 1. 运算顺序错误，如先加后乘。 2. 乘法公式用错，如，误写成。 3. 去括号时符号错误。 4. 结果未化简到最简形式。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式以及根式的化简规则，先化简再合并同类二次根式． （1）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可； （3）先化简二次根式，再计算加减法即可； （4）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可； （2）先化简，再根据二次根式乘除运算法则计算即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可； （4）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：解： ； （4）解： ． 4．（2026八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，乘法公式，掌握好相关知识是解题关键． （1）按照二次根式混合运算的法则进行计算即可； （2）按照二次根式混合运算的法则进行计算即可； （3）运用乘法公式进行展开，再按照二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型九：二次根式的大小比较 1. 若根号外有系数，可移入根号内比较：。 2. 比较被开方数的大小（需确保非负）。 3. 也可用平方法：比较两数平方的大小。 4. 注意正负情况，负数越小，值越大。 1. 系数移入根号时忘记平方系数。 2. 比较负数时忽略负号对大小的影响。 3. 平方法比较时，若两数一正一负，平方后失去符号信息。 4. 忽略被开方数为负的情况。 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）比较大小：______ 【答案】＜ 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，关键是利用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小：______．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·月考）比较大小关系：______，________． 【答案】 【分析】本题考查的是根据二次根式运算及分母有理化比较无理数的大小，根据二次根式的乘方及分母有理化计算比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的大小比较，核心方法是：对于正数，通过平方转化为有理数比较；对于负数，先比较绝对值(平方后比较)，再根据“绝对值大的负数更小”判断． 【详解】（1）解：先计算两数的平方： ， ， 又，且，， ； （2）解：先计算两数的绝对值并平方： ，， ，， 又， ， 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ． 题型十：二次根式的应用 1. 理解题意，将实际问题转化为数学问题。 2. 设未知数，列出含有二次根式的方程或表达式。 3. 运用二次根式的运算性质求解。 4. 检验结果是否符合实际意义。 1. 忽略实际意义，如边长不能为负。 2. 列式时单位不统一。 3. 二次根式运算错误。 4. 解出后未化简或未保留题目要求的形式。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 2．（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是求算术平方根、二次根式计算的应用，先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中， ∴三个正方形的边长分别为，，， 阴影部分长为，宽为， 阴影部分面积为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江金华·月考）阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (2)4，3 (3)的最小值为，的最大值为 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用完全平方公式变形求值，正确理解“均值不等式”是解题的关键． （1）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，则矩形的宽为米，那么得到，再运用“均值不等式”求解； （2）将变形为，再运用“均值不等式”求解； （3）当和时，原式变形为，然后对分母运用“均值不等式”即可求解，再讨论时代数式的值与和时的比较即可． 【详解】（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，周长有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴最小值为3， 故答案为：4，3； （3）解：， 当时，， ∵， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最大值为； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最小值为； 当时，，可知， 综上：的最小值为，的最大值为． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 题型十一：已知字母和代数式的值并化简求值 1. 先化简所给代数式（去括号、合并同类项、分母有理化等）。 2. 将字母的值代入化简后的式子。 3. 注意代入时字母的值要使原式有意义（被开方数非负，分母不为0）。 4. 计算出结果，化为最简形式。 1. 先代入后化简，导致计算复杂易错。 2. 代入时字母的值使式子无意义未检查。 3. 化简时运算错误。 4. 结果未化为最简二次根式。 1．（2025·浙江·模拟预测）已知，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，先由得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，设，，根据完全平方公式可求出的值，进而求出的值，再根据条件确定、、、的值，最后计算的值即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∵为正整数，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设， ∴ ， ∵为正整数且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，． ∴． ∴ ， 故答案为：． 3．（16-17八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）完成下列有关根式的问题： (1)求当，时，代数式的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 【分析】本题考查代数式求值，乘法公式，二次根式的混合运算．掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）将原式变形为，再将，代入求解即可； （2）利用平方差公式将分母有理化，再比较大小． 【详解】（1） ， 当，时， 原式 ， ； （2），理由如下： ， ， ． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知：，求的值．小启同学是这样分析与解答的： 解：， 则 ，即， 请你根据小启的分析过程，解决如下问题： (1)计算：__________； (2)计算的值； (3)若，计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）仿照题干给定的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下列二次根式的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加、乘、除运算及算术平方根的性质，需根据相关法则逐一验证选项，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的计算， 先分别求出两个阴影部分的周长，再求和即可. 【详解】解：由题知，小长方形的长为 因为左下方阴影长方形的宽为：， 所以左下方阴影长方形的周长为： 因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：， 所以右上方阴影长方形的周长为：， 所以图中两块阴影部分的周长之和为： 故选：B. 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算：_______________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘方，先运用二次根式的性质进行化简以及运算乘方，再运算减法，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 【答案】15 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得 ，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可． 【详解】解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如果，，那么_______ ． 【答案】7 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，通过已知条件求出，利用完全平方公式将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，利用完全平方公式正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 9．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 10．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $