精品解析：浙江舟山市定海三校联考2025-2026学年八年级下学期期中数学质量监测

2026年舟山市定海三校联考八年级下期中数学质量监测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校抽取8名同学参加“体质健康”测试，数据如下：90，85，85，80，75，85，90，85，则该组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 85，80 B. 85，77.5 C. 90，85 D. 85，85 5. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（ ） A. 27 B. 30 C. 32 D. 40 8. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（ ）. A. B. C. D. 9. 某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变大，方差变小 C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数不变，方差变大 10. 如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 学校开展了纪念“一二·九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是____________分． 13. 如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是______m． 14. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 15. 为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为______． 16. 已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为________． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 20. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是_______； （2）化去式子分母中的根号：_______；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 21. 设，是关于x的一元二次方程的两根． （1）当时，求及m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有2个实数根． （3）求证：． 22. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 23. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． （1）每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 24. “配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： （1）填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________； （2）证明：代数式的值恒为正数． （3）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，． ①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程． ②若，则的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年舟山市定海三校联考八年级下期中数学质量监测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵ 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式要求， ∴ A符合题意． ∵ 的被开方数含有分母，不符合要求， ∴ B不符合题意． ∵ ，被开方数含有分母，不符合要求， ∴ C不符合题意． ∵ ，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合要求， ∴ D不符合题意． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：方程含有和两个未知数，不是一元二次方程； 选项B：方程中未知数的最高次数为1，不是一元二次方程； 选项C：方程满足所有三个条件，是一元二次方程； 选项D：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与加减运算，根据二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 算术平方根的结果为非负数，， ∴ A选项错误； ∵ 合并同类二次根式得 ， ∴ B选项错误； ∵ 与不是同类二次根式，不能直接合并，， ∴ C选项错误； ∵ ，计算正确， ∴ D选项正确． 4. 某校抽取8名同学参加“体质健康”测试，数据如下：90，85，85，80，75，85，90，85，则该组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 85，80 B. 85，77.5 C. 90，85 D. 85，85 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可 ． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：，，，，，，，. ∵出现次数最多，共次， ∴众数为. ∵本组数据共个，中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数为. 5. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方的方法是解题的关键． 根据配方法的步骤进行求解即可，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：∵， 移项，得， 方程两边同时加，得，即． 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，代入方程系数计算即可得到结论． 【详解】解： 对于一元二次方程，，， ∴ ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 7. 如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（ ） A. 27 B. 30 C. 32 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和5， ∴正方形和正方形的边长分别为， ∴， ∴长方形的面积． 8. 《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设门宽为x尺，则门的高度为尺，利用勾股定理及门的对角线长丈，即可得出关于x的方程，此题得解． 【详解】解：设矩形门宽为x尺，所列方程为， 故选A． 9. 某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变大，方差变小 C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数不变，方差变大 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算增加队员前后的平均数和方差，比较大小即可得出结论． 【详解】解：原数据的和为 ∵原数据的平均数为 原数据的方差为 新数据的和为，新数据的平均数为 新数据的方差为 ∴平均数不变，方差变小． 10. 如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 12. 学校开展了纪念“一二·九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是____________分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算．根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式求解． 【详解】解：该班的综合成绩是（分）． 故答案为：87． 13. 如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是______m． 【答案】 【解析】 【分析】由迎水坡的坡比是，坝高，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ∴， ∴． 14. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 15. 为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，理解题意找到等量关系是解题关键． 劳动实践基地的边长为，根据正方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可知，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：． 故答案为：． 16. 已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．由根与系数的关系得，，计算通分后恒等于1，故 ，代入方程 求解即可． 【详解】解：方程的两个根为，，由根与系数的关系得，， 对于任意正整数有： 由于，则，代入得： ， ∵，， ∴，， ∴， ∴恒成立， 因此， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 故． 故答案为：10． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将原方程化简为求解即可； （2）将原方程化简为求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 解得，． 19. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85，85，80； （2）解：七年级决赛成绩较好，理由如下： 由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好； （3）（分）， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，掌握相关定义和公式，是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； （2）根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； （3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可． 【小问1详解】 解：七年级的平均分，众数， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数； 故答案为：85，85，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是_______； （2）化去式子分母中的根号：_______；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）可证明，将括号内每一项进行化简，再相加可得结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵（n为正整数） ， ∴ ， ． 21. 设，是关于x的一元二次方程的两根． （1）当时，求及m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有2个实数根． （3）求证：． 【答案】（1）， （2） 证明：∵， ∴无论m取何值，方程总有2个实数根； （3） 证明：，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴ ， 即． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果； （2）求出，即可得证； （3）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将展开，整体代入并计算即可得证． 【小问1详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 证明：略． 22. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1）18， 10 （2）①直角三角形， 理由： ∵， ∴为直角三角形； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 解：∵， ， 故答案为：18，10； 【小问2详解】 ① 略 ② ∴． 23. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时． （1）每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）20元或10元 （3） 解：不能，理由如下： 根据题意，得：， 化简得， 方程无解， 故不可能做到平均每天盈利2000元． 【解析】 【分析】（1）根据降价1元多售出2件可得：降价x元多售出件，从而得出答案； （2）根据 “总利润单件利润数量”列出方程，从而求出方程的解得出答案； （3）根据题意列出方程，根据方程是否有解得出答案． 【小问1详解】 解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得：，， 答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元； 【小问3详解】 略 24. “配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： （1）填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________； （2）证明：代数式的值恒为正数． （3）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，． ①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程． ②若，则的值为________． 【答案】（1）小，1 （2） 证明：， ∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数； （3）①，过程如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D； ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）将化简为，再完全平方式的非负性判断即可； （2）将化简为，再完全平方式的非负性判断即可； （3）①将化简为，由勾股定理得，再等量代换即可；②由题意得，根据，，得，化简得． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最小值：这个最值为1； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：①略； ②∵以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $