精品解析：内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2025-2026学年下学期八年级数学4月学情自测

包九中外国语学校八年级数学 （2026年4月） 一、选择题（每题3分，8题共24分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 7. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，6题共18分） 9. 已知一个边形的内角和是，则_____． 10. 在-3，0，2.5，3，3.5五个数中，其中哪些数是不等式的解？______． 11. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 12. 如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 13. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 14. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 三、解答题（共6小题，共58分） 15. 下面是圆圆同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得…………．第四步 两边都除以7，得…………第五步 任务： （1）第一步的依据是______，第_______步开始出现错误，具体的错误是_______． （2）该不等式的正确解集为_______． （3）请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时的注意事项． 16. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 17. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； （2）在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 18. 某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个．乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？ 19. 如图，四边形中，，E是的中点，平分． （1）求证： 平分； （2）判断、、之间的数量关系，并证明； （3）若，，求． 20. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+,理由如下: ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB ∴∠1+∠2＝ (∠ABC+∠ACB) 又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∴∠1+∠2＝ (180 °−∠A)＝90°−∠A ∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A 探究2：如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由. 探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 结论： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校八年级数学 （2026年4月） 一、选择题（每题3分，8题共24分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，，不符合题意； 选项B：，，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，，符合题意； 故选：D． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得， 由得， 解集在数轴上表示为： ， 则不等式组的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 中,，， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半． 5. 如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，直线位于x轴上方部分对应的自变量取值即为不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：不等式的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意从数与形两方面来理解一元一次不等式与一次函数的关系． 6. 如图，在中，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：A． 7. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，得阴影矩形的宽为，长为，解答即可． 本题考查了平移的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得阴影图形是矩形，且矩形的宽为，长为， 故面积为， 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分． 二、填空题（每题3分，6题共18分） 9. 已知一个边形的内角和是，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，由题意可知多边形的内角和可以表示成，以此列方程即可求解． 【详解】这个多边形的边数是， 则：， 解得． 故答案为：7． 10. 在-3，0，2.5，3，3.5五个数中，其中哪些数是不等式的解？______． 【答案】3.5 【解析】 【分析】本题考查解不等式求解集，先解不等式求出解集，然后找出符合条件的解即可． 【详解】解：解得， ∴不等式的解为3.5， 故答案为：3.5． 11. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12. 如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出，得到，继而推导出，根据勾股定理求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共6小题，共58分） 15. 下面是圆圆同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得…………．第四步 两边都除以7，得…………第五步 任务： （1）第一步的依据是______，第_______步开始出现错误，具体的错误是_______． （2）该不等式的正确解集为_______． （3）请你根据平时的学习经验，写出一条解不等式时的注意事项． 【答案】（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二；去括号时，括号前是负号时，括号内的的符号没改变 （2） （3）不等式两边乘以负数时，要注意变号（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，是解题的关键． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得答案； （3）结合不等式的性质写出注意事项即可． 【小问1详解】 解：第一步的依据是：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 第二步开始出现错误，具体的错误是：去括号时，括号前是负号时，括号内的的符号没改变． 故答案为：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；二；去括号时，括号前是负号时，括号内的的符号没改变 【小问2详解】 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 故答案为： 【小问3详解】 解：解不等式时的注意事项：不等式两边乘以负数时，要注意变号（答案不唯一）． 16. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为；整数解为，，0． 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以原不等式组的解集为， ∴整数解为，，0． 17. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； （2）在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图形、作中心对称图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得； （2）结合（1）的作图写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图：，即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）作图可得：点的坐标为． 18. 某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个．乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价； （2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？ 【答案】（1）购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）至多需要购买25个甲种笔记本． 【解析】 【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，共花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，共花费200元．列出方程组，可求解； （2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解． 【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元， 由题意可得：，解得：， 答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元； （2）设需要购买a个甲种笔记本， 由题意可得：10a＋5（35−a）300， 解得：a25， 答：至多需要购买25个甲种笔记本． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，分别得出等量关系和不等关系是解题关键． 19. 如图，四边形中，，E是的中点，平分． （1）求证： 平分； （2）判断、、之间的数量关系，并证明； （3）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）20 【解析】 【分析】（1）过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，进而得出，再根据角平分线的判定即可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，同理，再根据线段的和即可得出结论； （3）先求出 ，根据三角形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 证明：过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【小问2详解】 证明：， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，E是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，正确理解角平分的性质是解题的关键． 20. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+,理由如下: ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB ∴∠1+∠2＝ (∠ABC+∠ACB) 又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∴∠1+∠2＝ (180 °−∠A)＝90°−∠A ∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A 探究2：如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由. 探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 结论： 【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－ 【解析】 【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A， 理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一外角， ∴∠ACD=∠A+∠ABC， ∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1， ∵∠2是△BOC的一外角， ∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A； （2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC）， ∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB， =180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）， =180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB）， 结论∠BOC=90°-∠A． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $