精品解析：陕西西安市铁一中学2025-2026学年八年级下学期数学第一次阶段学情自测

数学练习 一、选择题 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国探月 C. 中国火箭 D. 中国行星探测 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 根据分式的基本性质，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 18 9. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 12. 如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 13. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 14. 如图；将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，则的度数为______． 15. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 17. 解下列不等式（组）： （1）； （2） 18. 如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 19. 如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出； （2）画出关于原点中心对称的； （3）直接写出的面积为______． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 21. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，花费420元购进了“青提”和“红提”各20千克供客户对比品尝，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元． （1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的总费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元/千克，“青提”的销售单价为18元/千克，则该水果超市应如何进货，才能使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 问题探究： （1）如图①，在和中，，，，求证：； （2）如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； （3）问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国探月 C. 中国火箭 D. 中国行星探测 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：只有选项C的图形能找到中心对称点，使图形绕该点旋转度后和原图形完全重合， 故选：C． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，对选项逐个分析即可． 【详解】解：，是整式的乘法，不是因式分解，故A选项错误； ，是整式的乘法，不是因式分解，故B选项错误； ，等式右边中的不是整式，不是因式分解，故C选项错误； ，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故D选项正确． 故选：D． 4. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，然后计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的平分线，， ， 点D在的垂直平分线上， ， ， 。 故选：B. 5. 根据分式的基本性质，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 6. 学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 7. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是正确理解函数图象．根据函数图象，结合一次函数与一元一次不等式的关系，即可得时，的取值范围． 【详解】解：由图像可知，一次函数与的图象交于点， 当时，， 故选：． 8. 如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得和，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D，如图所示： ∵点E在的平分线上，， ∴，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 9. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及平移，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为. 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选： A． 10. 如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，，，根据旋转的性质可得，由此得是等边三角形，，则，根据勾股定理和三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：连接， ，，O为的中点， ，，， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 11. 已知不等式的正整数解是，则整数的值为______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一，均可） 【解析】 【分析】先求解不等式得到的解集，再根据不等式的正整数解仅为，确定的取值范围，进而求出符合条件的整数． 【详解】解： 系数化为得： ∵不等式的正整数解是 ∴ ， 不等式两边同乘得：， 则满足条件的整数可以为．(答案不唯一，均可)． 12. 如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解． 【详解】解：大长方形面积为， 故答案为：． 13. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 14. 如图；将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，则的度数为______． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】根据旋转得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵， ∴ ． 15. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，     ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解： 解①，得， 解②，得， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】 证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 19. 如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出； （2）画出关于原点中心对称的； （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）将分别向右平移1个单位，再向上平移4个单位，再顺次连接即可得到； （2）找出关于原点的对称点，顺次连接即可； （3）利用网格求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为：． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，掌握角平分线的性质是解题的关键． （）由角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边即可得出结论； （）由角平分线的性质可得，进而由勾股定理得，即可得，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴ ∴在中，． 22. “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，花费420元购进了“青提”和“红提”各20千克供客户对比品尝，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元． （1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的总费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元/千克，“青提”的销售单价为18元/千克，则该水果超市应如何进货，才能使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克“红提”9元，每千克“青提”12元 （2）超市应进“红提”10千克，“青提”30千克，最大利润为220元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设每千克“红提”x元，每千克“青提”y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设够买“红提”a千克，则够买“青提”千克，先根据“总费用不超过450元”列出不等式求出a的取值范围，再设获得利润为W，列出W关于a的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． 【小问1详解】 解：设每千克“红提”x元，每千克“青提”y元， ， 解得：， 答：每千克“红提”9元，每千克“青提”12元． 【小问2详解】 解：设够买“红提”a千克，则够买“青提”千克， ， 解得：， 设获得利润为W， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最大值，此时， ∴超市应进“红提”10千克，“青提”30千克，最大利润为220元． 23. 问题探究： （1）如图①，在和中，，，，求证：； （2）如图②，在五边形中，，，，，的平分线交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，，，，求证：； （3）问题解决：某区现有一块三角形空地，如图③所示，经测量：，，政府准备在空地内修建景观以丰富市民生活．为了方便游览，现计划在点处设立入口，在点和点处设立出口，并修建两条步道和．其中，点，分别在，上，要求，，若步道，请直接写出步道的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中： ； （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ； 如图，分别连接，， 点绕点逆时针旋转，得到点， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， 在和中： ， ； ，， ， 即， 是等边三角形， ； （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明， （2）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，利用其性质以及角平分线的定义，得出，则，结合平行四边形的性质，得出；分别连接，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而证明，再证明是等边三角形，即可得出结论； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $