精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2025--2026学年下学期九年级数学阶段学情自测

包九中外国语学校九年级数学学科 一、选择题（每题3分，8小题，共24分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作；那么水位上升记作（ ） A. B. C. D. 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若△ABC与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长是（　　） A. 14cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三个函数的图象对应的表达式为：；；，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，4小题，共12分） 9. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 10. 以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”的纹样印在背包上在网上销售．其中A款背包售价为20元，B款背包售价为30元，2025年该村在网上售出A款背包个，B款背包个，总收入为__________（用含的代数式表示）元． 11. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 12. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为__________． 三、解答题（共6小题，64分） 13. 计算 （1）计算： （2）化简：． 14. 2025年4月30日，由蔡旭哲、宋令东、王浩泽组成的神舟十九号航天员乘组的太空之旅圆满结束．3名航天员在轨驻留183天，期间进行了3次出舱活动，这一系列探索壮举如璀璨星辰，激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了一部分学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 （1）本次调查的成绩统计表中 ； （2）随机抽取的这部分学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括：90分）的人数． 15. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 16. 如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：为⊙的切线； （2）若，，求的长． 17. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 18. 如图，在四边形中，为对角线，于点H，的延长线交于点E，交的延长线于点F，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点A作交于点P，连接，求证四边形为菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，若M为的中点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校九年级数学学科 一、选择题（每题3分，8小题，共24分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作；那么水位上升记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正负数的含义，根据正负数表示具有相反意义的量，水位下降用负号表示，则水位上升用正号表示． 【详解】解：∵水位下降记作负， ∴水位上升记作正； 又∵上升高度为， ∴记作． 故选：D． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 3. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是：， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：C． 4. 如图，若△ABC与是位似图形，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质． 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长是（　　） A. 14cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，再根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA＝OD＝AC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF＝OD，再求出AF，AE，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】由勾股定理得，AC＝＝10cm ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA＝OD＝AC＝×10＝5cm ∵点E、F分别是AO、AD的中点 ∴EF＝OD＝cm AF＝×8＝4cm AE＝OA＝cm ∴△AEF的周长＝+4+＝9cm． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，矩形的性质，勾股定理，熟记定理与性质是解题的关键． 6. 已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，根据反比例函数性质，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图像分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 如图，三个函数的图象对应的表达式为：；；，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵图象在第二、四象限， ∴， ∵，图象在第一、三象限，，， ∵直线在第一、三象限越陡，则越大， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，，再由等腰三角形的性质得到，，求得，于是得到． 【详解】解：，分别是线段，的垂直平分线， ，． ，． ． ， ． ． ． 二、填空题（每题3分，4小题，共12分） 9. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，简单的概率计算，熟练掌握分式方程的应用．简单的概率计算是解题的关键． 设白球的个数为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设白球的个数为， 依题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合要求； 故答案为：4． 10. 以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”的纹样印在背包上在网上销售．其中A款背包售价为20元，B款背包售价为30元，2025年该村在网上售出A款背包个，B款背包个，总收入为__________（用含的代数式表示）元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式． 根据题意列代数式即可． 【详解】解：根据题意可得，总收入为． 故答案为：． 11. 如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 【答案】89.28 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，作，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：作，由题意，米， 在中，米， 在中，米， ∴； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 12. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为__________． 【答案】96 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 三、解答题（共6小题，64分） 13. 计算 （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）0 （2）x 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，负整数指数幂、零指数幂以及算术平方根等知识，掌握负整数指数幂、零指数幂的计算法则，分式的混合运算法则是解答本题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂以及算术平方根，再加减运算即可； （2）根据分式的混合运算法则进行计算化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 2025年4月30日，由蔡旭哲、宋令东、王浩泽组成的神舟十九号航天员乘组的太空之旅圆满结束．3名航天员在轨驻留183天，期间进行了3次出舱活动，这一系列探索壮举如璀璨星辰，激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了一部分学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 （1）本次调查的成绩统计表中 ； （2）随机抽取的这部分学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括：90分）的人数． 【答案】（1）20 （2）D （3）300 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键． （1）根据A组的人数和百分比可得抽取的总人数，用200分别减去A，B，D，E组的人数，可得C组的人数，用C组的人数除以200再乘以可得的值； （2）根据中位数的定义可得答案； （3）根据用样本估计总体，用1200乘以统计表中E组的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，抽取的总人数为（人）， C组的人数为（人）， ∴． 故答案为：20； 【小问2详解】 解：将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组， ∴这200名学生成绩的中位数会落在D组． 故答案为：D． 【小问3详解】 解：（人）． ∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数约300人． 15. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】（1）选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； 【小问2详解】 解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 16. 如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：为⊙的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据点是的中点可得，进而证，从而得证即可； （2）解法一：连接交于，根据及勾股定理求出，再证明，从而得到，即可求出的值；解法二：过点作于点，按照解法一步骤求出，然后证明四边形是矩形，再证明，求得，进而求出的值． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解法一：连接交于， ，， ， ， ， 在中， ， 或（不符合题意，舍去）， 点是的中点，是半径， 垂直平分， ， 是的中位线， ， 是直径， ， ， ， ， ； 解法二：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键． 17. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，先得再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）读懂题意，把代入，得， 解得，所以，即可作答． 【小问1详解】 解：∵中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度， ∴ 设中间大孔抛物线的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为， 【小问2详解】 解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴． 即此时大孔的水面宽度的值为． 18. 如图，在四边形中，为对角线，于点H，的延长线交于点E，交的延长线于点F，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点A作交于点P，连接，求证四边形为菱形； （3）如图3，在（2）的条件下，若M为的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明∶，， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ； （2） 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （3）3 【解析】 【分析】（1）先由，，证明是的垂直平分线，得， 进而得，，即可证明； （2）先证明，得，即可证明四边形是平行四边形，由，即可证明是菱形； （3）连接，交于，取中点，连接，根据菱形性质推出是中点，证明，，得，进而得 ，为中点，推出是的中位线，是的中位线，可证明四边形是平行四边形，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，交于，取中点，连接， 由（2）知，在菱形中，，，，， 是中点， 由（1）知，，， ，， ， ， 为中点， ， ， 为中点， ， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定、平行四边形的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，熟知相关知识点，准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $