精品解析：内蒙古包头三十五中2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年内蒙古包头三十五中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1=∠2=50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3等于（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 130° 4. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　） A B. C. 1 D. 2 6. 如图，已知的半径为3，且．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 7. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点．下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑥a+b≥m（am+b）（m实数）其中正确的是（　　） A. ①②③⑥ B. ①③④ C. ①③⑤⑥ D. ②④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个比小的正整数______． 12. 已知a、b是方程的两根，则___________． 13. 计算：______． 14. 如图，中，，以为直径的⊙分别与，交于点，连接，过点作于点．若，，则阴影部分的面积是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上一点，过点作轴，垂足为，轴，垂足为，．若双曲线经过点，则的值为______． 16. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边上中点，BE⊥AC于F，连接DF，下列4个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝，其中结论正确的序号是______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 四、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算 （1）先化简，再求值：，其中； （2）解方程：． 19. 我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图： （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，m＝________ （2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？ （3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区概率．（要求画树状图或列表求概率） 20. 某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … （1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）． （2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？ 21. 如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，①求的半径；②求线段的长． 22. 如图所示．在四边形中，的平分线交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B(点A在原点左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，． （1）求该抛物线函数解析式； （2）如图①，连接，点D是直线上方抛物线上的点，连接，交于点F，时，求点D的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年内蒙古包头三十五中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论． 【详解】解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意； B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意； C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意； D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的视图，进行判断即可． 【详解】解：几何体的左视图为： 故选D． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握左视图是从左往右看到的图形，是解题的关键． 3. 如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1=∠2=50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3等于（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 130° 【答案】B 【解析】 【详解】∵∠1＝50°， ∴∠BGH＝180°－50°＝130°， ∵GM平分∠HGB， ∴∠BGM＝65°， ∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3＝∠BGM＝65°（两直线平行，内错角相等）． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，根据同位角相等，两直线平行得出AB∥CD是解决此题的关键． 4. 如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，， ∴当时，，即，则， 当时，，即，则， ∵将绕着点顺时针旋转得到， 又∵ ∴，，， ∴， 延长交轴于点，则，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键． 5. 定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m． 【详解】解：由， ∴， 得：， ∵解集为， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式． 6. 如图，已知的半径为3，且．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．连接，先根据圆O的直径为6求出的长，再由得出，由圆周角定理求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵的半径为3， ， ， ， ， 故选：A． 7. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程． 【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨， 则． 故选B 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键． 8. 如图，在中，，D是的中点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将BD,BC算出来,再利用勾股定理列出方程组解出即可． 【详解】∵AC=2,BC=, ∴, ∵D是AB的中点, ∴AD=CD=BD=． 由题意可得: 两式相减得: , 解得DE=,BE=, 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理,关键在于找出等式列出方程组． 9. 如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 10. 如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点．下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑥a+b≥m（am+b）（m实数）其中正确的是（　　） A. ①②③⑥ B. ①③④ C. ①③⑤⑥ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x＝1，即可得出a、b之间的关系以及ab的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，可知c为正结合a＜0、b＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x＝1以及点B的坐标，即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y2＜y1，故⑤正确；当时y1有最大值，a＋b＋c≥am2＋bm＋c，即可判断⑥正确． 【详解】解：由抛物线对称轴为直线x＝，从而b＝﹣2a，则2a＋b＝0，故①正确； 抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则a＜0，c＞0，而b＝﹣2a＞0，因而abc＜0，故②错误； 方程ax2＋bx＋c＝3从函数角度可以看做是y＝ax2＋bx＋c与直线y＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点 故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，故③正确； 由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误； 由图象可知，当1＜x＜4时，y2＜y1，故⑤正确； 因为x＝1时，y1有最大值，所以a＋b＋c≥am2＋bm＋c，即a＋b≥m（am＋b）（m实数），故⑥正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个比小的正整数______． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：，而， ， 比小的整数可以是4（答案不唯一）， 故答案为：4（答案不唯一）． 12. 已知a、b是方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 13. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，中，，以为直径的⊙分别与，交于点，连接，过点作于点．若，，则阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据， ，可得结果. 【详解】连接， ∵，，∴， ∴， ， ． 故答案． 【点睛】考核知识点：扇形面积和三角函数.理解图形的数量关系是关键. 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上一点，过点作轴，垂足为，轴，垂足为，．若双曲线经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线可求出与轴、轴的交点、的坐标，即求出、的长，再根据相似三角形可得对应边的比为1∶2，然后设，根据四边形是矩形并结合、的长可求出和的值，可求出长方形的面积，即求出的值． 【详解】解：∵直线与轴、轴分别交于点和点， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图像上点的坐标特征，涉及到矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识．求出点的坐标和线段的长是正确求解的关键． 16. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的中点，BE⊥AC于F，连接DF，下列4个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝，其中结论正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①正确．只要证明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可； ②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出＝，由AE＝AD＝BC，推出＝，即CF＝2AF； ③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明； ④正确．设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a，可得tan∠CAD＝＝＝． 【详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴＝， ∵AE＝AD＝BC， ∴＝， ∴CF＝2AF，故②正确； ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE＝BC， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC，故③正确； 设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a， 由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a， ∴tan∠CAD＝＝＝．故④正确； 故答案为①②③④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为，且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到1米） （参考数据：，，，． 【答案】（1）24米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算列式即可； （2）作于，根据正切的概念求出，结合图形计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【小问1详解】 解： 斜坡的坡比为， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则，， 答：改造前坡顶与地面的距离的长为24米； 【小问2详解】 解：作于， 则， ， ， 答：至少是8米． 四、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算 （1）先化简，再求值：，其中； （2）解方程：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解分式方程，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用解分式方程的方法进行求解即可，并注意要进行检验． 【小问1详解】 解： ， 当时， 原式 ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 检验，时，， 是原方程的根． 19. 我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图： （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，m＝________ （2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？ （3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 【答案】（1）200；35 （2）420人 （3） 【解析】 【分析】（1）用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去B景区的百分比得到m的值； （2）用1200乘以B区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，C两个景区的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是（人）， ， ∴； 【小问2详解】 估计去B地旅游的居民约有（人）； 【小问3详解】 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果， 所以选到A，C两个景区的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键． 20. 某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … （1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）． （2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）①20万元；②，四月份最少利润是500万元． 【解析】 【分析】（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求解； （2）①利用（1）中结论求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程即可；②列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①将代入，得（件）， 设三月份每件产品的成本是a万元， 由题意得， 解得， 即三月份每件产品的成本是20万元； ②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为， 由题意得：， 则抛物线对称轴为，且，开口向下， 则时，取得最小值， 此时，， 即四月份最少利润是500万元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式． 21. 如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，①求的半径；②求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①3；②2 【解析】 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论； （2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径； ②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为； ②由（1）可知，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键． 22. 如图所示．在四边形中，的平分线交于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1），得，则与平行且相等，由此证得四边形是平行四边形，而，即可得出结论； （2）已知了的比例关系，可用未知数表示出的长；过D作于F，在中，易知，可用(即)的长表示出，进而表示出的长；在中，根据的长，可由勾股定理求出的长，进而可根据的长，由勾股定理的逆定理证得． 【小问1详解】 证明：的平分线交于点E， ， 在与中， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形平行四边形， 四边形为菱形； 【小问2详解】 证明：设，则， 过点D作于F，如图所示： ， ， ， ， 则， ， ， ， 为直角三角形， ． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练证明三角形全等是解决问题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，连接，点D是直线上方抛物线上的点，连接，交于点F，时，求点D的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合已知求得，代入即可解答； （2）设的解析式为，将代入进而确定的解析式为；根据与高相同可得，作轴，交于点G，设点D的横坐标为t，进而表示出D、G的坐标以及的长度，通过判定，进而求得t的值解答即可； （3）由，推出是的平分线，设交x轴于E，过E作于H，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， 将代入，得： ， ， 抛物线解析式为：； 小问2详解】 设的解析式为，将代入，得： ， ， 直线的解析式为：． 高相同， ． 作轴，交于点G，设点D的横坐标为t，则， ． ， ， ， ， ， ， 当时， ， 当时， ， 点D的坐标或； 【小问3详解】 存在，理由：， 是的平分线， 设交x轴于E，过E作于H， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 令， 解得或(不合题意舍去)， ， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、全等三角形等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$