20.3.1 离差平方和与方差-【木牍中考】2025-2026学年八年级下册数学同步教学优质课件(沪科版·新教材)

该初中数学课件聚焦“离差平方和与方差”，通过机床零件精度、射击水平等实际问题导入，衔接已学的平均数、中位数等集中水平刻画方法，构建从数据集中趋势到离散程度的知识支架，帮助学生理解方差的意义与必要性。 其亮点在于以真实情境（如机床零件数据、射击成绩）驱动探究，培养数学眼光（发现数据波动问题）和数学思维（从直观比较到数量刻画的推理），结合计算器与电子表格操作、归纳“一均二差三方四均”求方差步骤，强化数据观念与应用意识。学生能提升运算与分析能力，教师可借助清晰结构与实例提高教学效率。

20.3.1 离差平方和与方差 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 8年级下册 学习目标及重难点 1.了解方差的意义，掌握方差的计算方法．（重点） 2.会计算样本方差并进行简单的决策．（重点、难点） 前 言 我们常用平均数、中位数来刻画数据的“集中水平”，但在有些情况下只有“集中水平”是不够的，如评价选手的射击水平、机器的加工零件的精度、手表的日走时误差时，还需要用一新的数来刻画一组数据的波动情况. 导入新课 探索1：离差平方和与方差 问题：两台机床同时生产直径是mm的零件, 为了检验产品质量, 从产品中各抽出10个零件进行测量, 结果如下(单位:mm)： 如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定? 机床 A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.0 19.8 机床 B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 讲授新课 如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定? 机床 A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.0 19.8 机床 B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 要比较零件的精度，首先要想到比较两组数据的平均值. ， 它们的中位数也都是，从数据的集中趋势这个角度很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性. 讲授新课 零件直径/mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据序号 零件直径/mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据序号 如图，将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示. (1)机床A (2)机床B 图中过 与横轴平行的直线上的点表示零件直径的平均数所处的位置. 讲授新课 Y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 20 19.9 20 19.9 20.2 20 20.1 20.1 19.8 Y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 19.8 20.1 20.2 19.9 20 20.2 19.8 20.2 19.8 零件直径/mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据序号 零件直径/mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据序号 (1)机床A (2)机床B 机床 A 生产出的零件的直径中偏离这个平均数 0.2mm 的有 6个、0.1mm 的有 2 个； 机床 B 生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm 的有 2个、0.1mm 的有 4 个. 讲授新课 Y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 20 19.9 20 19.9 20.2 20 20.1 20.1 19.8 Y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 19.8 20.1 20.2 19.9 20 20.2 19.8 20.2 19.8 零件直径/mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据序号 零件直径/mm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数据序号 (1)机床A (2)机床B 直观上, 容易看出机床 B 比机床 A 生产的零件的精确度更稳定. 但如何用数量来刻画一组数据的偏离程度呢？ 讲授新课 Y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 20 19.9 20 19.9 20.2 20 20.1 20.1 19.8 Y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 19.8 20.1 20.2 19.9 20 20.2 19.8 20.2 19.8 统计学中，通常采用 离差平方和 或 方差 衡量数据的离散程度. 设一组数据是 它们的平均数是 离差平方和 ， 可以简记为 . 方差 讲授新课 设一组数据是 它们的平均数是 离差平方和 ， 可以简记为 . 方差 离差平方和与方差都具有如下性质： （1）最小值为0； （2）数据的离散程度大，它们的值也大. 讲授新课 设一组数据是 它们的平均数是 离差平方和 ， 可以简记为 . 方差 当数据个数较多时，离差平方和的值将会变的很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 讲授新课 设一组数据是 它们的平均数是 离差平方和 ， 可以简记为 . 方差 下面通过计算离差平方和与方差来分析上述问题中机床 A 和机床 B哪台生产的零件的精度更稳定. 讲授新课 设一组数据是 它们的平均数是 离差平方和 ， 可以简记为 . 方差 A 和 B 两组数据的平均数均为20，于是，它们的离差平方和分别为 讲授新课 A 和 B 两组数据的平均数均为20，于是，它们的离差平方和分别为 则方差分别为 无论是根据离差平方和还是方差，我们都可以知道机床 A 生产的10个零件比机床 B 生产的10个零件直径波动要大. 据此，我们可以评判机床 B 生产的零件精度更稳定. 讲授新课 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 例1：甲，乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示. 哪位射击运动员的发挥更稳定？ 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 讲授新课 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 两名运动员射击成绩的方差分别为 讲授新课 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 两名运动员射击成绩的方差分别为 由 ＞ 可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 讲授新课 求方差的步骤: 归纳总结 步骤 一均 求原始数据的平均数 求所得各个差的平方和 三方 二差 求原始数据与平均数的差 四均 求所得各平方数的平均数 讲授新课 计算器和电子表格软件可以帮助我们简化计算，以上述问题的数据为例，计算机床 A 和机床 B 生产的零件直径的方差. 讲授新课 用计算器计算 MODE 以计算机床A生产的零件直径的方差为例. （1）设定SD模式：打开计算器后，先按键 ,将其设定至开始状态； （2）按键 (SCL) ,清除计算器原 先在SD模式下所储存的数据； （3）依次按键：20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 输入数据； 2 CLR SHIFT 1 = DT DT DT DT DT DT DT DT DT DT 讲授新课 用计算器计算 S-VAR 以计算机床A生产的零件直径的方差为例. （4）先按键 ,显示方差的算术平 方根为 ； （5）按键 ,显示方差为 . 因此，. 2 0.161 245 155 SHIFT = = 0.026 你能用计算器计算机床B生产的零件直径的方差吗？ 讲授新课 用电子表格软件计算 （1）在电子表格软件输入机床 A，B 的数据，如图. 讲授新课 （2）如图①，通过“公式”—“插入函数”—选择类别“统计”—“VAR.P”函数计算，得到机床A数据的方差，如图②. 讲授新课 （2）如图①，通过“公式”—“插入函数”—选择类别“统计”—“VAR.P”函数计算，得到机床A数据的方差，如图②. 讲授新课 用电子表格软件计算 （3）类似的操作可得到机床 B 数据的方差. 讲授新课 1.在篮球选修课上，男、女各有5名编号为 1, 2, 3, 4, 5 的学生进行投篮练习，每人投10次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（    ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 D 习题1 习题解析 2.对甲、乙两种不同型号的越野吉普车各10辆进行刹车系统性能测试，两种越野吉普车的刹车制动距离（单位：m）如下： 甲 69 81 78 77 72 78 79 74 77 75 乙 78 76 76 80 77 72 82 80 72 67 甲的方差是__________，乙的方差是___________（用计算器或电子表格软件计算） 11.4 18.6 习题2 习题解析 3.在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》, 参加表演的女演员的身高(单位：cm)如表所示. 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 习题3 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 (cm) (cm) 习题解析 习题3 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 (cm) (cm) 方差分别是 由 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 习题解析 4.已知三组数据，请完成下表. 数据 平均数 方差 1，2，3，4，5 11，12，13，14，15 3，6，9，12，15 3 2 13 2 9 18 习题4 【分析数据】 请你比较三组数据的大小及统计量的结果， 写出其中一些规律性的结论. 解：结论：若已知数据,,, ,的平均数为,方差为 ,则新数据 ,,, , 的平均数为，方差为 . 习题解析 30 4.已知三组数据，请完成下表. 数据 平均数 方差 1，2，3，4，5 11，12，13，14，15 3，6，9，12，15 3 2 13 2 9 18 习题4 【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题. 已知数据，，， ，的平均数为，方差为 ,则： (1)数据，，， ， 的平均数为______，方差为___； (2)数据，，， ， 的平均数为______，方差为___； 习题解析 31 4.已知三组数据，请完成下表. 数据 平均数 方差 1，2，3，4，5 11，12，13，14，15 3，6，9，12，15 3 2 13 2 9 18 习题4 【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题. 已知数据，，， ，的平均数为，方差为 ,则： (3)数据，，， ， 的平均数为____，方差为____； (4)数据，，， ， 的平均数为__________， 方差为____. 习题解析 32 统计学中，通常采用 离差平方和 或 方差 衡量数据的离散程度. 设一组数据是 它们的平均数是 离差平方和 ， 可以简记为 . 方差 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $