15 广东省2025年初中学业水平考试-2026年山东中考数学必备试题汇编

:直线1,2之间的距离为16，为定值， ∴.当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)， 即y=-4时，n-m最大，此时另一条直线的解析式 为y=16-4=12,如图。 13 mi 1l. 43-2-124678910 -5h .x2-6x+5=12,解得x1=7,x2=-1, 即n=7,m=-1。 ∴n-m的最大值为7-(-1)=8。 24.解：(1)如图1，设AC,BD交于点0。 图1 在菱形ABCD中，AB=5,AC=8, 1 .AC1BD,0A=2AC=4。 ∴.0B=√AB2-0A=3。 ÷.sin LBAC=AB=5 OB 3 (2)①如图2，设AC,BD交于点0。 ·四边形ABCD是菱形， .AGLBD.OA-AG-4.BD-20B.AD-AR-5. .0B=AB2-0A2=3。 .BD=6。 EF⊥AC,AC⊥BD,∴.EF∥BD。 ∴.∠DBE=∠BEF。 由轴对称的性质可得∠AEB=∠BEF, .∠DEB=∠DBE。.DE=BD=6。 .∴.AE=AD+DE=11。 图2 ②在Rt△BOP中，由勾股定理，得 PB=√OB2+0P2=√OP2+9。 PA=0A +OP=4+OP, .PA-PB=4+0P-√OP2+9 =4+(0P-V0P2+9)(0P+OP+9) 0P+√OP2+9 =4+0P-0P2-9 0P+OP2+9 =4- OP+√OP2+9 9 >0, 0P+√OP2+9 PA-PB的值最小，即 9 的值最大。 0P+√0P2+9 .0P+√Op2+9要有最小值。 :√OP+9的值随着OP的值增大而增大， ∴.OP+√OP2+9的值随着OP的值增大而增大。 .当0P有最小值时，OP+√OP2+9有最小值， 即此时9 有最大值。 '0P+√0P2+9 .当OP有最小值时，PA-PB有最小值。 如图2，过点B作BH⊥AD于点H,BT⊥EF于点T。 AGBDADB :R-24G·BD 2×8×624 AD 5 5。 由轴对称的性质可得BT=BH=24 在Rt△BOP中，由勾股定理，得 OP=√PB2-OB2=√PB2-32。 ∴.当PB有最小值时，OP有最小值。 由垂线段最短可知，P阳≥Bn=头， ∴当点P与点T重合时，PB有最小值，最小值为。 0P=√()2-3-3 5 9 .(PA-PB)小值=4- 339-4 339,24 5 5 2+5 ⑤广东省2025年初中学业水平考试 1.A【解析】如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g 记作+0.02g, 那么低于标准质量0.02g记作-0.02g。 2.D【解析】3000亿=300000000000=3×10"。 3.B【解析】原式=√36=6。 58 4.C【解析】从左边看有两层，底层是两个正方形，上层 的左边有一个正方形。 5.C【解析】小点D,E分别是BC,AB的中点， ∴.DE是△ABC的中位线。 ∴.DE∥AC。∴.∠DEB=∠A=70°。 同理可得DF∥AB。 ∴.∠EDF=∠DEB=70°。 6.B【解析】将这组数据重新排列为88,92,94,95,95， 95,96,所以这组数据的中位数为95，众数为95。 7.A【解析】根据题意，得2500(1+x)2=9100。 8.C【解析】由图象可得，当x=0时，y=500, .∴.电池能量最多可充500W·h。 故A结论错误； 500÷25=20(W·h/km),20×10=200(W·h), ,∴.电动摩托车每行驶10km消耗能量200W·h。 故B结论错误； 由图象可得，当y=0时，x=25, .一次性充满电后，电动摩托车最多行驶25km。 故C结论正确； (500-100)÷20=20(km), ∴.电动摩托车充满电后，行驶20km将自动报警。 故D结论错误。 9.D【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D。 BC是直径，∴.∠BAC=90°。 AB=AC, ∴.△ABC是等腰直角三角形。 D .·AD⊥BC, AD=BD=CD=2BC=√2。 .AB=√AD2+BD2=2。 六S清衫c=90πX2 360 =T,Sm=T×(2)2=2m。 小孩粒来落在扇移内的版率为分 10.B【解析】如图，过点G作GM⊥BC于点M。 在矩形ABCD中，AB=8, BC=12,∠B=90°。 E,F是边BC的三等分，点， G B=BF=CF=gBC=4。 .BF=BE+EF=8=AB。 ∴.△ABF是等腰直角三角形。∴.∠BFA=45°。 同理可得△CDE是等腰直角三角形。 ∴.∠CED=45°=∠BFA。 .△GEF是等腰直角三角形。 GMLEF GM-EM-FM-7 EF=2. ∴.CM=CF+FM=4+2=6。 6 在△ec中，m∠c0p-8-名-日 11.ab(a+b)【解析】a2b+ab2=ab·a+ab·b =ab(a+b)。 12.1:3【解析】△AOB与△C0D的相似比 =0B:0D=2:6=1:3。 13.方程有两个不相等的实数根 【解析】4=12-4×2×(-1)=9>0， .该方程有两个不相等的实数根。 140【解折】原式=1-2x分 =1-1=0。 15.y=-x2+x+2(答案不唯一)【解析】二次函数 y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0), ..0=-c2+bc+co 二次函数y=-x2+bx+c的图象不经过原点， .c≠0。∴.c-b=1。 若取b=1,则c=2。 .该二次函数的表达式可以是y=-x2+x+2。 16.解：小李的解法中，第一步是去分母。 去分母的依据是等式的基本性质。 小李的解答过程不正确。 正确的解答过程如下： 去分母，得1-x=-1-2(x-2)。 去括号，得1-x=-1-2x+4。 移项，得-x+2x=-1+4-1。 合并同类项，得x=2。 检验：当x=2时，x-2=0。 ∴.原分式方程无解。 17.证明：如图，连接0D。 :以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D, .OD⊥BC。 .∠ABC=90°，.OD∥AB。 ∠ODA=∠BAD .OA=OD,∴.∠ODA=∠OAD。 .·.∠BAD=∠OAD。.AD平分∠BAC。 18.解：建立平面直角坐标系并标注点A,如图， Y个 1.7km 主塔 主缆 主塔 0.1785km 桥面 0.0015km 0.27km 0.09km 海乎面 个0 则抛物线的顶点坐标为(0,0.0015)， A(27,0.27-0.09),即A(0.85,0.18)。 设该抛物线的表达式为y=ax2+0.0015。 将A(0.85,0.18)代入，得0.18=0.852a+0.0015 21 解得a=85 :该抛物线的表达式为y钻+0015。 19.解：命题1是真命题。证明如下： 如图1，连接DE交AC于点O。 D 图1 AE∥CD,CE∥AB。 .四边形ADCE是平行四边形。 :CD是Ri△ABC斜边AB上的中线， D=AD=D=分4B, .四边形ADCE是菱形。 .AC⊥DE,OA=OC,OE=OD。 ∴0D是△ABC的中位线。0D=2BC。 CF BC,ScCFOE, .S△GFB=2 SACEF0 命题2是真命题。证明如下： 如图2，连接DE交AC于点O。 :AE∥CD,CE∥AB。 .四边形ADCE是平行四边形。 .CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， .CD-AD-RD-2AB. .四边形ADCE是菱形。.AC⊥DE: E D 图2 命题3是真命题。证明如下： 如图2，：AE∥CD,CE∥AB。 ∴.四边形ADCE是平行四边形。∴.CE=AD。 .·CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， CD=AD=BD=之AB。CE=BD。 CE∥AB,∴.四边形BCED是平行四边形。 ∴.DE=BC。 20.解：(1)35÷17.5%=200（人）。 答：参与这次问卷调查的学生人数为200。 (2)1000×37.5%=375(人)。 答：估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间 不低于两小时的学生人数为375。 (3)由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间 低于两小时，建议学校多提供一些球场等活动场所， 多提供学生活动时间。（言之有理即可) 21.解：(1)∠A≈43°，∠B≈51°， .∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°。 由题意，得BC、AB sin A sin C' 又BC≈341m, AB=BC:sinC_BC:sim86°≈341xQ98=499(m. sin A sin43° 0.682 答：A,B两岛间的距离为499m。 (2)工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平 面高度)。 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C,使得△ABC是锐角 三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的 度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 BC=am,AC=bm。 计算过程： 如图，过点A作AD⊥BC, 则∠ADC=∠ADB=90°。 AG,Co8 C=CD 在Rt△ACD中，sinC=AD, AC .AD bsin C m,CD=bcos C mo ∴.BD=BC-CD=(a-bcos C)m。 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 .AB=√(bsin C)2+(a-bcos C)2m。 答：A,B两岛间的距离为 (bsin C)2+(a-bcos C)2 mo 22.解：(1)24【解析】令a=10,b,c=26, 由勾股数定义可知a2+b2=c2,即102+b2=262。 .b2=262-102=(26+10)(26-10)=36×16, 60 解得b=24或b=-24(舍去)。 (2)令a=k(m2-n2),b=2kmn,c=k(m2+n2)(0<n <m,m,n互质且一奇一偶，k为任意正整数)。证明 如下： a2+b2=[k(m2-n2)]2+4k2m2n =k2(m-2m2n2+n4+4m2n2) =k2(m2+n2)2 =c2. (3)查表可知它是20,21,29这个勾股数， 三条边的长度之和为20+21+29=70。 因为图案是由四个全等的直角三角形组成， 所以需要种花70×4=280株。 23.解：(1)设PN=x,则MP=MW-PW=2-x。 根据题意，得器贺即222产 解得x1=3+√5，x2=3-√5。 经检验，当x=3+W5或3-5时，2-x≠0且x≠0， 所以x1=3+√5，x2=3-√5是该方程的解。 3+√5>2，.1=3+5舍去。PN的长3-5。 (2)如图，点C即为所求作。 作图提示及证明过程：作线段AB的垂直平分线DE交 AB于点D,过点B作AB的垂线并以点B为圆心，BD 长为半径作弧交垂线于点F,连接AF,以点F为圆心， BF长为半径作弧交AF于点G,以点A为圆心，AG长 为半径作弧交AB于点C。 设BD=x,则AD=BF=FG=x,AB=2x。 AF=√AB2+BF=√(2x)2+x=√5x。 ..AG=AC=5x-x=(5-1)x, BC=AB-AC=2x-(V5-1)x=(3-√5)x。 ·49=2—-5+1,AC_(5-1)x=5+1 AC(5-1)x2’BC(3-5)x2, 一怎品点c为线段B的中外比点。 (3)当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别为 AB,BC,OB的中外比点。证明如下： 第一种情况：当∠OED=90时，0E=DE, ∴.∠OEC+∠BED=90°。 :四边形OABC是矩形， .∠OCE=∠DBE=90°。 ⊙， .∠C0E+∠0EC=90°。 ∴.∠COE=∠BED。∴.△COE≌△BED(AAS)。 设E(m,n),则OC=BE=n,CE=BD=m。 .D(m+n,n-m)。 点D,E在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象 rk=n,① m 上， +nn-m。② k 由①，得k=mn。 将其代入②，得m=n-m。 m +n 整理，得n2-mn-m2=0。 解得n=m±(-m'二4x1x(-m】-m±5m 2 20 心%1+⑤ 2m,n2=135m(舍去)。 21+5 2m, (m,2m,D(3+5m,52m) 5). ·BE=1+ 2m,CE=m,BC=3+5 2m, 2m,AB=1+5 BD=m,AD=5-1m m。 2 -(5)r-252 2 cE3525, BD=m,AB:A01去5m.5m=, 器器品0 .点D,E为分别AB,BC的中外比点。 :点E在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上， ÷k=mn-1+5m。 2 反比例函数为：一23 设直线OB的函数解析式为y=ax。 将8以2,5)代人得a=5 ·直线0B的函数解析式为y=5-Lx」 2。 y=5-1 2x, 联立方程组 1+5,解得 (=2 m2 Ly=mo F5m,m。 如图，作FG⊥OA于点G,FH⊥AB于点H。 AB⊥OA,.FG∥AB,FH∥OAa ∴.△OFG∽△OBA,△OFG∽△FBH :F(5+1 52m,m).835.15nm, 2m,2 OB AB5+1 OF FG5+1 0=元2，-m2 0B0 ·OF=BF .点F为OB的中外比点。 Y个 B H D A主 第二种情况：当∠ODE=90时，OD=DE, ∴.∠ODA+∠BDE=90°。 :四边形OABC是矩形， .∠OAD=∠DBE=90°。 ∴.∠ODA+∠A0D=90°。 .∠BDE=∠AOD。∴.△OAD≌△DBE(AAS)。 设D(a,b),则OA=BD=a,AD=BE=b。 ∴.E(a-b,a+b)。 ?点D,E在反比例函数y=兰(>0，>0)的图象 k=b,① a 上， la-b=a+b。② 由①，得k=ab。 a-6=a+b。 将其代入②，得 整理，得b2+ab-a2=0。 解得6=-a±√公-4x1×(-a=-a±5a 2 2 46,=1,5。,=15(舍去)。 2 2 0a,5.82255).a,5a 2a, 2 .mE-5-.cE-35a.mc.D.D BC BE AB BD BE=CE'BDAD° ∴.点D,E分别为AB,BC的中外比点。 “点E在反比例函数y=女（(>0，>0)的图象上， 6=动5 5-1. ∴.反比例函数为y= 设直线OB的函数解析式为y=gx。 将(a,5)代入，得g=5, ·直线0B的函数解析式为y=5+1 2。 y=5+1 2, 5-1 联立方程组 解得 2 a, 5-12 2a1 Ly=a。 y=- F(5-1 a,a)。同理第一种情况可得=0P OF BF 点F为OB的中外比点。 第三种情况：当∠DOE=90时， 点E,D分别位于y轴，x轴上，与反比例函数不符，因 此这种情况不存在。 综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F 分别为AB,BC,OB的中外比点。 6安徽省2025年初中学业水平考试 1.A【解析】小-2<0<2<5，.最小的数是-2。 2.C【解析】521.7亿=52170000000=5.217×10。 3.A【解析】如图水平放置的“阳马”的主视图为。 4.B【解析】√（-a)2=lal,故A计算错误； -a)=-a,故B计算正确； a3·(-a)2=a3·a2=a3,故C计算错误； （-a2)3=-a5,故D计算错误。 5.D【解析】A.A=02-4×1×1<0, 方程无实数根； B.4=(-2)2-4×1×1=0, ,方程有两个相等的实数根； C.4=12-4×1×1<0, .方程无实数根； D.4=12-4×1×(-1)=5>0, “.方程有两个不相等的实数根。 6.B【解析】.∠A=120°，AB=AC, 1 ∠B=∠C=2×(180°-∠A)=30。 DE⊥AC,∴.∠CDE=90°。 mc=m0-器-温-号w=3. :D是AC的中点，.AC=2CD=6。 7.D【解析】根据题意，得k>0。 当x=-2时，y<2。故A选项不符合题意； 21⑤广东省2025年初中学业水平考试 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16.在解分式方程=，1-2时，小李的解法如下： (时间：120分钟总分：120分) Ex-2=2-x 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每 km)之间的关系如图。当电池剩余能量小于100W·h 第一步1(x-2)=-1 x-2 -2·(x-2)-2。 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 时，电动摩托车将自动报警。根据图象，下列结论正确 第二步：1-x=-1-2。 1.某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g,如果一 的是 () 第三步：-x=-1-2-1。 只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g,那 ◆y/W·h 第四步：x=4。 么低于标准质量0.02g记作 () 600 500 第五步：检验：当x=4时，x-2≠0。 A.-0.02g B.+0.02g 400H 300H 第六步：原分式方程的解为x=4。 C.-0.04g D.+0.04g 200H 100 2.依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024一 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？ 051015202530m 2026年)》，预计2026年广东省低空经济规模将超过 判断小李的解答过程是否正确。若不正确，请写出你的 3000亿元。数据3000亿用科学记数法表示为() A.电池能量最多可充400W·h 解答过程。 A.3×10°B.3×1010 C.30×1010D.3×101 B.该电动摩托车每行驶10km消耗能量300W·h C.一次性充满电后，该电动摩托车最多行驶25km 3.计算√12×√3的结果是 ( D.该电动摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 A.3 B.6 C.6 D.2√6 4.如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的 9.如图，在直径BC为2√2的圆内有一个圆心角为90°的 扇形ABC。随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形 左视图是 ( 内的概率为 () A. B. D. 2 17.如图，点O是Rt△ABC斜边AC上的一点，以OA为半 径的⊙O与边BC相切于点D。求证：AD平分∠BAC。 5.如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70° 则∠EDF= 第9题图 第10题图 10.如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上的三等分点， 连接DE,AF相交于点G,连接CG。若AB=8,BC= 12,则tan∠GCF的值为 () 18.如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km,主塔高 A.0 c.31 0.27km,主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km,主缆最 A.209 B.40° C.70° D.110° 10 B台 10 低处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km。 6.某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物 评委给出的分数为95,92,96,94,95,88,95。这组数据 11.因式分解：a2b+ab2= 线的表达式。 的中位数、众数分别是 12.如图，把△AOB放大后得到△C0D,则△A0B与 -1.7km A.92,94B.95,95C.94,95 D.95.96 △COD的相似比是 主缆 0.1785km 7.广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈 c 0.0015km 现快速增长态势。某公司工业机器人在今年5月产值达 .09k 海平面 到2500万元，预计7月产值将增至9100万元。设该公 司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为 D 6 A.2500(1+x)2=9100 13.不解方程，判断一元二次方程2x2+x-1=0的根的情 B.2500(1-x)2=9100 况是」 C.2500(1-2x)2=9100 14.计算2°-2sin30°的结果为 D.2500(1+2x)2=9100 15.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但 8.在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行， 不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 其电池剩余的能量y(单位：W·h)与骑行里程x(单位： (写出一个即可) -57 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A,C分别 作AE∥CD,CE∥AB,AE与CE相交于点E。现有以下 命题： 命题1：若连接BE交AC于点F,则SAcB=2S△cEFo 命题2：若连接DE,则DE⊥AC。 命题3：若连接DE,则DE=BC。 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例。 20.2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每 天综合体育活动时间不低于两小时的通知》。某校为 更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况， 随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处 理。部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1.你每天参加体 育活动（含体育 每天参加体育活动（含体育课） 课)的时间（单 的时间统计图 位：小时)( 80人数 (单选) 6 D 50 44 46 17.5% 37.5% A.0.5≤x<1 4 3 B.1≤x<1.5 20 22.0% 1 23.0% C.1.5≤x<2 CD选项 D.x≥2 2.随着体育活动 时间的延长，学校 拟增设体育活动 希望增设的活动项目统计表 项目，你希望增设 活动 球类田径类体操类水上类 的活动项目有 项目 ( )(可多选) 百分 72% 23% 40% 46% E.球类 比 F.田径类 G.体操类 H.水上类 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与这次问卷调查的学生人数； (2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不 低于两小时的学生人数； (3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向 学校提出相应的建议。 21.综合与实践 【阅读材料】如图1，在锐角三角形ABC中，∠A,∠B, ∠C的对边长分别为a6c,则有AmBC h 这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题。 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水 水源地。某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平 面示意图，现需要知道湖中A,B两岛间的实际距离。 由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这 一问题进行了探究。 A B 会空 【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角 度、水平面高度)。 测角仪 测距仪 无人机 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C; 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈ 43°，∠B≈51°； -5 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23 341m,AC≈388.5m。 小题14分，共27分。 【问题解决】(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算 22.《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌 A,B两岛间的距离； 握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意 (参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈ 义。若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b, 0.998) c为一组“勾股数”。如表中的每一组数都是勾股数。 【评价反思】(2)设计其他方案计算A,B两岛间的 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,11319,180,181 距离。 要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 用的数学知识。 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,1010, ,26 14,48,50 18,80,8222,120,122 (1)请补全如表中的勾股数； (2)根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代 数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有 图1 图2 的勾股数，并证明； (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的 图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成。种花要 求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株 花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m。如果每个 三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种 植多少株花？ 9- 23.定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等 于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个 点称为中外比点。 (1)如图1，点P是线段MW的中外比点，MP>PN, MN=2,求PW的长； (2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段 AB分为中外比；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB,BC相 交于点D,E,与对角线OB相交于点F。当△ODE是等 腰直角三角形时，探究点D,E,F是否分别为AB,BC, OB的中外比点，并证明。 图1 图2 E 图3 50-