13 重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试-2026年山东中考数学必备试题汇编

13重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试 16.我们规定：一个四位数M=abcd,若满足a+b=c+d= 10,则称这个四位数为“十全数”。例如：四位数1928，因 (时间：120分钟总分：150分) 为1+9=2+8=10，所以1928是“十全数”。按照这个 规定，最小的“十全数”是 ;一个“十全数”M= 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每的平分线DH,AH相交于点H,连接GH,则△DGH的面 abcd,将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十 个小题的下面，都给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其 积为 位数字调换位置，得到一个新的数M'=dcba,记F(M)= 中只有一个是正确的。 1.6的相反数是 ,c(M)=M。若0+g+5与 13 A.-6 C.6 0 ab+cd均是整数，则满足条件的M的值为一 17 2.下列图案中，是轴对称图形的是 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时 0cB 每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的 B.5 C.55 D.55 8 4 图形（包括辅助线）。 3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是 10.已知整式M=ao+a1x+a2x2+…+anx,其中a为自 r2x-2<x,① A.调查某种柑橘的甜度情况 然数，n,a1,a2,…,an为正整数，且a+a1+…+an= B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 7家不等式分24。的所有整数部。 4。下列说法： C.调查某市垃圾分类的情况 ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况 ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+ 4.如图，点A,B,C在⊙0上，∠A0B=100°，∠C的度数为 4x2+4x+1; ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数 时，其值一定为非负数的整式M共有3个。 其中正确的个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 18.学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进 A.40° B.50° C.809 D.100° 11.不透明袋子中有1个红球，3个白球，这些球除颜色外 行交流。现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思 5.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点， 无其他差别。从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球 路，完成以下作图和填空： 第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④ 的概率是 第一步：构造角平分线。 0 个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆 12.如图，AB∥CD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F。 小红在∠AOB的边OA上任取一点E,并过点E作了 点的个数为 ( 若∠1=70°，则∠2的度数为 OA的垂线（如图）。请你利用尺规作图，在边OB上截 ●●●●●●●●●●●●●● 取OF=OE,过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交 ● ●● A E人2 -B ● 于点P,作射线OP,OP即为∠AOB的平分线（不写作 ●●●●●●●●●●●●●● ①②③ 法，保留作图痕迹)； ④ A.32 B.28 C.24 第二步：利用三角形全等证明她的猜想。 D.20 证明：PE⊥OA,PF⊥OB, 6.反比例函数y=-12的图象一定经过的点是 13.若n为正整数，且满足n<√26<n+1,则n= ( .∠0EP=∠0FP=90°。 0 A.(2,6) B.(-4,-3) 14.若实数x,y同时满足x-1yl=2,1x|-y=4,则x'的 在Rt△OEP和Rt△OFP中， C.(-3,-4) D.(6,-2) 值为■ r① 7.下列四个数中，最大的是 15.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC。以 l② A.6.18×10 B.6.28×108 AC为边作菱形ACDE,CD交⊙O于点F,AB⊥CD,垂 .Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)。 C.6.18×109 D.6.28×109 足为G。连接AD,交⊙O于点H,连接EH。若AG= .③ 0 8.某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开 12,FG=5,则DF的长度为 ,EH的长度为 .OP平分∠AOB。 发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答 区这两年接待游客的年平均增长率为 时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要 A.10%B.20%C.22%D.44% 的图形（包括辅助线）。 9.如图，正方形ABCD的边长为2，E是边BC的中点，连接 19.学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各 DE,将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平 随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整 面内，得△DFE,延长DF交AB于点G。∠ADG和∠DAG 数)进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表 -49- 示，共分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x<90;C.70≤x< 80;D.60≤x<70),下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是83,84， 84,84,85,87,88。 八年级20名学生竞赛成绩是62,63,65,71,72,72,75， 78,81,82,84,86,86,86,89,96,97,98,98,99。 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 1100 A m% 25% 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 84 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：a= ,b= ,m= (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级 学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一 条理由即可)； (3)该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请 估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的 学生人数共是多少？ 20.先化简，再求值：（x+1)(3x-1)-x(3x+1)+ 424(其巾-3+(m-4加。 x2+2x+1 0- 21.列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品。每天生产甲种文创产品 的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天 时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙 种文创产品的数量多100个。 (1)求该厂每天生产的甲、乙两种文创产品数量分别是 多少个； (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改 进。改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每 天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产 品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每 天增加数量的2倍。若生产甲、乙两种文创产品各 1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产 品增加的数量。 22.如图，点0为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB=3, BC=4。E,F是AC上的点（点E,F均不与点A,C重 合)，且AE=CF,连接BE,DF。用x表示线段AE的长 度，点E与点F的距离为y1。矩形ABCD的面积为S, △ABE的面积为S,△CDF的面积为S22=S,+S° (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图 象，并分别写出函数y1,y2的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出y1<y2时x的取值范围 (近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)。 65 4 3 2 1 01234567x -5 23.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x 两种方式监测森林情况。如图，A,B,C,D在同一平 轴交于A,B(6,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的对称 面内。A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A 的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏 轴是直线：=多。 西30°方向20千米的D处。两无人机同时飞往C处 (1)求抛物线的表达式； 巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30° (2)P是射线BC下方抛物线上的一个动点，连接OP与 方向上。 射线BC交于点Q,D,E为抛物线对称轴上的动点（点E （参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73,5≈2.24,7≈ 在点D的下方)，且DB=4,连接D,PE。当器取得最 2.65) 大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值； (1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC (3)在(2)中%取得最大值的条件下，将抛物线y= 001 往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2 x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个单位长度得到抛 倍。当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互 物线y',点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一 接收到信号。请问甲无人机飞离B处多少千米时，两 动点。若∠NAB=∠OPM-45°，请直接写出所有符合 无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后 条件的点V的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一 一位)？ 种情况的过程。 北 309 →东 30° 0 备用图 1- -5 25.在△ABC中，AB=AC,D是边BC上一点（不与端点重 合)，连接AD。将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线 段AE,连接DE。 (1)如图1，连接CE,=∠BAC=60°，∠CAE=20°，求 ∠ADB的度数； (2)如图2，a=∠BAC=90°，BD<CD,过点D作DG⊥BC 交CA的延长线于点G,连接BG。点F是DE的中点， 点H是BG的中点，连接FH,CF。用等式表示线段FH 与CF的数量关系并证明； (3)如图3，∠BAC=120°，a=60°，AB=8,连接BE,CE。 点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋 转60得线段BM,连接EM,作MN⊥CA交CA的延长线 于点N。当CE取最小值时，在直线AB上取一点P,连 接PE,将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的 平面内，得△QPE,连接BQ,MQ,NQ,当BQ取最大值 时，请直接写出△MWQ的面积。 图1 图3 2-·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC。 ∴.△BEG△MAG,△BCF∽△MDF。 …照-怨-跽%膘-器1. ∴.BF=MF,BC=MD。 E是边BC的中点，∴.BC=2CE=2BE。 设CE=BE=m,则BC=MD=2m。 ∴.AM=AD+DM=4m。 能%-= BG 2 SAEBG SAEPCEG1 SAABC =BG=2 SAANG SAAFG AG 4 'SAAPG FG-3 设S△ABc=4n,则S△Eac=n,S△AFG=6nO 3■ .SAeFC=2no S△BB S△EBG n SAAEF-SAArG +SAFFG 6n+ 3 15 (2)解：如图3，延长AD,EF交于点N。 D 图3 :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,CD=AB=3。∴.∠AEB=∠EAD。 .·∠AEB=∠AFE=∠CFE,.∴.∠AFE=∠EAD。 :∠AEF=∠NEA,∴.△AEF∽△NEA。 :∠AEB+∠AEF+∠CEF=∠CFE+∠ECF+∠CE 180°，∠AEB=∠CFE, ∴.∠AEF=LECF。∴.△AEF∽△ECF。 AD∥BC,∴.△ECF∽△NDF。 CE EF CF 六DN=NF=DF CF=1,.DF=CD-CF=2。 设CE=s,EF=to :△AEF∽△ECF, 器赀器叶忘 AE=AFS ∴.AE=st,AF=t2。 祭器器即六所子 ∴.DN=2s,FN=2t。 .AN =AD+DN=5+2so .△AEF∽△NEA, 贸始-即5 t2 stt+2t5+2s 「s=3, :5日+6（负值已舍去） 解得{ 3 ∴AF=53+6 3重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试 1.A【解析】6的相反数是-6。 2.B【解析】在四个选项中，只有选项B的图形能找到 一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合， 故选项B是轴对称图形。 3.D【解析】A.调查某种柑橘的甜度情况，适合抽样调 查，故本选项不符合题意； B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，适合抽样调查， 故本选项不符合题意； C.调查某市垃圾分类的情况，适合抽样调查，故本选项 不符合题意； D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况，适合全面调查， 故本选项符合题意。 4.B【解析】：∠AOB和LC都对应AB, 六∠C=24408=2×100=50. 1 5.C【解析】第①个图中有4个圆，点， 第②个图中有8个圆点， 第③个图中有12个圆点， 第④个图中有16个圆点， 第n个图中有4n个圆点。 所以第⑥个图中圆，点的个数为4×6=24。 6.D【解析】A.2×6=12≠-12， 此，点不在反比例函数图象上； B.(-4)×(-3)=12≠-12， 此点不在反比例函数图象上； C.:（-3)×(-4)=12≠-12， 此点不在反比例函数图象上； D.6×(-2)=-12, 此点在反比例函数图象上。 7.D【解析】6.18×108=618000000， 6.28×108=628000000, 6.18×10=6180000000, 6.28×10=6280000000, 且618000000<628000000<6180000000< 6280000000, .6.18×103<6.28×108<6.18×10°<6.28×10°。 .四个数中，最大的是6.28×10。 8.B【解析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率 为x。 根据题意，得25(1+x)2=36。 50 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去)。 ∴.该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%。 9.A【解析】如图，连接EG。 四边形ABCD是正方形， 、H ∴.∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°， AB=BC=CD=AD=2。 :E是边BC的中点， ∴.BE=CE=1。 :将△DCE沿直线DE翻折得△DFE, ∴.∠EFD=∠C=90°，CE=EF=BE=1,CD=DF=2。 ∴.∠EFG=∠B=90°。 EG=EG,∴.Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)。 ∴.FG=BG。 设BG=FG=x,则AG=2-x,DG=2+x。 根据勾股定理，得AG2+AD2=DG2, 即(2-x)2+2=(2+x)2,解得x=7。 0c=34G=2 ".∠ADG和∠DAG的平分线DH,AH相交于点H, ∴.，点H到AD,AG,DG的距离相等。 5 DG 2 1 SaaI=DG+AG+AD·Saoc=5,3,×2× 2+之+2 是x2=8。 10.C【解析】当n=1时，a0+a1=4, 当a=0,a1=4时，整式M为4x, 当a>0时，整式M不可能为单项式； 当n>1时，a1,a2,…,an为正整数， .整式M不可能为单项式。 .满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式。 故①正确； 当n=3时，a0+a1+a2+a3=4, 当a0=0时，a1+a2+a3=4, 则a1,a2,a3中有一个可能为2，故会有三种情况， 对应的整式M为x+x2+2x3,x+2x2+x3,2x+x2+x23; 当a0=1时，a1+a2+a3=3, 则a1=a2=a3=1,故会有一种情况， 对应的整式M为1+x+x2+x3; 当a0>1时，a1+a2+a3<3, 与a1,a2,…,an为正整数矛盾，故不存在。 .满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1。 故②错误； 多项式为二次三项式，.n=2。.a+a1+a2=4。 多项式为三项式，0≠0。 当a0=1时，a1+a2=3, 5 则有1+x+2x2,1+2x+x2两种。 1++2=2x+2+日>0， 1+2x+x2=(x+1)2≥0， 1+x+2x2,1+2x+x2两种都满足条件； 当a=2时，a1+a2=2,则有2+x+x2一种。 2+*=(+户+子>0， 2+x+x2满足条件。 当a>2时，a1+a2<2, 与a1,a2,…,an为正整数矛盾，故不存在。 ·.其值一定为非负数的整式M共有3个。 故③正确。 1山4【解析】从袋子中随机摸出1个球，共有4种学可 能的结果，其中摸出红球的结果有1种， 所以摸出红球的概率是4。 12.70°【解析】.AB∥CD,∠1=70°，.∠2=∠1=70°。 13.5【解析】小√25<√26<√36，.5<√26<6。 n</26<n+1,.n=5。 14.号【解析】：x-11=2,1-y=4, .x=1yl+2>2,lx|=y+4≥0。∴.y≥-4。 .|x|=x=lyl+2=y+4。 当y≥0时，方程无解； 当-4≤y<0时，-y+2=y+4,∴y=-1。 x=y1+2=3.8=31=30 1 15.3133【解析】：AB1CD,AG=12,FG=5, .CG=FG=5,即CF=10。 AC=√AG+CG=√122+52=13。 四边形ACDE是菱形，∴.CD=AC=13。 .DG=CD-CG=13-5=8, DF=CD-CF=13-10=3。 AD=√AG+DG=122+82=4√13。 如图，连接BC,BH,过点H作HM⊥AE于点M。 M B AB是⊙0的直径，∴.∠ACB=∠AHB=90°。 C=-G即号-福 解得AB=169 129 六cos∠BAD=AG-A日，即 12-AH AD AB' 4√13169 12 解得AH=133 49 :四边形ACDE是菱形， ∴.CD∥AE。.∠DAE=∠ADCO ∴.sin∠DAE=sin LADG,cos LDAE=cos LADG。 ÷9=ACMG AH AD'AH AD' 即MH=12AM 8 13134√13'13134√13 4 4 ·MH=39 EM=AE-AM=13-13=13 2 29 H=VEw+MF=√停P+(2-1B。 4 16.19193782【解析】设四位数M=abcd, 要求最小的“十全数”，则a=1,c=1。 ∴.b=10-1=9,d=10-1=9。 .最小的“十全数”是1919。 .一个“十全数”M=abcd, ∴.a+b=c+d=10。∴.b=10-a,d=10-co ∴.M=abcd=1000a+100(10-a)+10c+10-c =900a+9c+1010, M'=dcba=1000(10-c）+100c+10(10-a)+a =-9a-900c+10100。 ÷.FM=M-M_900a+9e+1010-(-9a-900c+1010)】 909 909 =a+c-10, C(M0=_M+M_90a+9e+1010+(-9a-90ce+1010) 11 11 =81a-81c+1010。 :.40+CM+5_4(a+c-10)+81a-81c+1010+15 13 13 _85a-77c+985=6a-6c+76+7a+8-3 13 13。 :ab+cd_10a+10-a+10c+10-c=9a+9e+20 17 17 17 =a+c+1_8a+8c-3 179 4g）+15与西吉均是搭数， 13 .7a+6-3与8a+8c-3均是整数。 13 17 ∴.7a+c-3能被13整除，8a+8c-3能被17整除。 ,1≤a≤9,1≤c≤9， ∴.7≤7a≤63，-2≤c-3≤60 ∴.5≤7a+c-3≤69。 .7a+c-3的值可以为13,26,39,52,65。 当a=3,c=8时， 7a+0-3=2,8a+8c-3=5均是整数。 13 17 ∴.b=10-a=7,d=10-c=2。 ∴.满足条件的M的值是3782。 17.解：解不等式①，得x<2。 解不等式②，得x≥-1。 .原不等式组的解集为-1≤x<2。 ∴.原不等式组的所有整数解为-1,0,1。 18.解：图形如图所示。 OP=OPOE=OF∠POE=∠POF 19.解：(1)84.58630【解析】七年级C,D组的人数 为20×(10%+25%)=7。 把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，中间的 两个教分别为84,85，故中位教a=84+85=84.5。 2 八年级20名学生的竞赛成绩的众数b=86。 m%=1-(10%+25%+20)=30%,即m=30g (2)七年级学生的航天知识竞赛成绩较好。 理由：因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位 数大于八年级，所以七年级学生的航天知识竞赛成绩 较好。（答案不唯一，合理即可）》 (3)560×30%+500×易-293。 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90 分的学生人数共是293。 20.解：原式=3x2-x+3x-1-3x2-x+x-÷ (x+1)2 「x+12x x(x+1)x(x+1) (x+2(+=-1-》.+) =x-1+x(x-》÷1-x (x+1)2x-1 =x-1-2=2-1.2 1 x+1=x+ix+1=x+10 当x=1-31+(m-4)°=3+1=4时，原式=5。 21.解：(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个， 则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个。 根据题意，得3x-4(x-50)=100。解得x=100。 ∴.x-50=100-50=50。 答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每 天生产乙种文创产品的数量是50个。 (2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个， 则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个。 根据题意，得009，-10。解得y-20。 经检验，y=20是所列方程的解，且符合题意。 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个。 22.解：(1)：点0为矩形ABCD的对角线AC的中点， AB=3,BC=4, ∴.AC=√AB2+BC2=√32+4=5。 :0A=0C=20 5 当0<≤时，A能=CP=,如图1， y1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x; 0 E 图1 图2 当空<<5时，AB=CF=,如图2。 y1 =EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-50 5-2a0<x≤， ,y1= 5 2x-5(2<x<5)。 如图3，过点B作BM⊥AC于点M。 D 图3 :Sg=7AB·BC=子4C,BM ∴BM=AB·BC12 AC 5 ∴S=4BBM=2x 112_6 5=5。 同理可得8一号。 S=3×4=12, S 12 82=8+S,P66=(0<x<5 5t+ (2)作图如下： y 6 1 01234567元 性质：当0<≤时，x随x的增大面减小： 当号<x<5时，m随x的增大面嘴大：（答案不唯-） 当0<x<5时，y2随x的增大而减小。 (3)结合函数图象，可得y1<y2时x的取值范围是 0<x<3.3(或0<x<3.2或0<x<3.4)。 23.解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作 BF⊥CD于点F,∴.∠AED=∠BFC=9O°。 由题意，得∠DAE=30°。 在Rt△ADE中，AE=AD·coS∠DAE=20×cos30° =105(千米)， DE=AD·sin∠DAE=20×sin30°=10（千米）。 无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C 的正西方向上，∴.AB∥CD。 AE⊥AB,BF⊥AB。 ∴.四边形AEFB是矩形。 .EF=AB=10千米，BF=AE=10V3千米。 .DF=DE+EF=20千米。 .BD=√DF2+BF=√202+(103)2 =107≈26.5（千米）。 答：BD的长度约为26.5千米。 M →东 30 D NE FT C (2)如图，当甲无人机运动到M,乙无人机运动到N 时，此时满足MN=20千米，过点M作MT⊥CD于 点T。 由题意，得∠BCF=90°-30°=60°。 在R△BCF中，BC=BFC=105=20(千米)， =sin∠BCF-sin60° BF103 an∠BCF-an60。=10(千米)。 CF= .CD=DF+CF=30千米。 设BM=x千米， 则DN=2x千米，CM=(20-x)千米。 在Rt△CMT中，CT=CM·cos∠MCT =(20-xc0s60°=(10-2)千米， MT=CM·sin∠MCT=(20-x)sin60 -(105-)千米。 .∴NT=CD-DN-CT =30-2x-(10-2)=(20-2)千米。 53 在Rt△MNT中，由勾股定理，得MWN2=MT+NT, 即20=(103-)2+(20-只， .x=15-55或x=15+55(大于BC的长，舍去)。 .BM=15-5√5≈3.8（千米）。 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开 始相互接收到信号。 24,解：1)没揽物线的表达式为y=(:-多》尸+。 将(60)代入，得0-碧+k,解得=-织。 y=(-3》产-9=-5-6 4 (2)令x=0,得y=-6, ∴.点C的坐标为(0，-6)。 设直线BC的表达式为y=mx+n。 将(6,0)和(0，-6)代入，得 6m+n0解得m=1, ln=-6, 1n=-6。 .直线BC的表达式为y=x-6。 如图1，过点P作PH∥y轴交BC于点F,交x轴于 点H。 图1 设点P的坐标为(x,x2-5x-6), 则点F的坐标为(x,x-6)。 .P℉=x-6-(x2-5x-6)=-x2+6x。 PF∥y轴， ∴.∠PFQ=∠OCQ,∠FPQ=∠COQ: ∴.△QPF∽△Q0C。 ..Op=Pr 1 1 3 0000-6(-2+6m)=-6(x-3)2+ 20 :当=3时，说取得最大值子， .3 这时点P的坐标为(3，-12)。 如图1，将点P向上平移4个单位长度得到点G,点G 的坐标为(3，-8)，连接DG,AG。 .DE=PG=4,PH∥DE, ∴.四边形DEPG是平行四边形。 .DG=PE,即BD+PE=BD+DG 由点A,B关于直线x=号对称可得点A的坐标为(-1,0)， 则BD+PE=BD+DG的最小值为AG的长， 氏 即AG=A+Gf=√42+82=45。 ∴.BD+PE的最小值为45。 (3).0B=0C=6,∴.∠0BC=∠0CB=45°。 :将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个 单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移两 个单位长度得到抛物线y', y=(-各+2y29-2=2--14。 如图2，过点P作PI⊥y轴于点I,过点N作NK⊥x轴 于点K,连接PM。 设点N的坐标为(a,a2-a-14)。 由平移，得∠IPM=45°， .∠NAB=∠OPM-45°=∠OPI+∠IPM-45° =∠OPI=∠POB ÷tan∠NAB=tanL0pl,即-(a2-a-14)=12 a-(-1) 31 解得a=-5(舍去)或a=2。 .点N的坐标为(2，-12)； YA 图2 当点N在x轴上方的函数图象中时，NK=a2-a-14, iam∠NMB=tan∠L0PL,即g2-a-l4-2 a-(-1)=3, 解得a5t7成a5合去 2 六点N的坐标为(5+，，14+2V7。 2 综上.点N的坐标为2，-12或+，4+2V例。 25.解：(1)AB=AC,a=∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形。∴.∠ABC=∠ACB=60°。 由旋转可知，∠DAE=60°， ∴.∠CAD=∠DAE-∠CAE=60°-20°=40°。 .∠ADB=∠CAD+∠ACB=40°+60°=100°。 (2)FH=√2CF。证明如下： 如图1，连接CE,DH。 图 .·=∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABD=∠ACB=45°。 由旋转可知，AD=AE,∠DAE=90°， ∴.∠BAC=∠DAE=90°， 即∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD。 .∠BAD=∠CAE。∴.△BAD≌△CAE(SAS)。 ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°。 ∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°。 DG⊥BC,∴.∠CDG=∠BDG=∠DCE=90°。 :∠ACB=45°，∴.∠CGD=∠ACB=45°。 ∴.DG=CD。'.△BDG≌△ECD(SAS). ∴.∠BGD=∠CDE,BG=DE。 点H是BG的中点，∠BDG=90°， &Dh=GH=8c。六L0c=∠HD. ∴.∠HDG=∠CDE .∠HDG+∠GDE=∠CDE+∠GDE, 即∠HDF=∠CDG=90°。 点F是DE的中点，∠DCE=90°， ADF=cF=2DE。DH=DF ∴.△HDF是等腰直角三角形。 ∴.FH=√2DF=√2CF。 (3)如图2，取BC的中点U,AC的中点V,连接AU, EV,UV。 图2 AB=AC=8,∠BAC=120°， A∠ACU=30,∠CAU=2∠B4C=60,A1BC。 :AU=2AC=4。 :V是AC的中点A=4C。A0=4. 由旋转可知，AD=AE,∠DAE=60°， ∴.△ADE是等边三角形，∠DAE=∠CAU=60°。 .∠DAU=∠EAV。∴.△ADU≌△AEV(SAS)O .∠AVE=∠AUD=90°。 由点V为固定点，∠AVE=90°，得点E在过点V且垂 直于AC的直线上运动，由点到直线的最短距离，得点 E和点V重合时，CE最小，此时如图3。 图3 由翻折可知，AE=QE, .点Q的轨迹为以点E为圆心，AE=4为半径的圆。 由点到圆上一点的最大距离可知， 当点B,E,Q依次共线时，BQ取最大值， 此时如图4，连接AM,过点B作BS⊥CN于点S,过点 Q作QR⊥CN于点R。 R 图4 由旋转可知，BM=BE,∠MBE=60°， .△BEM是等边三角形。 .∠BEM=60°，BE=EM。 △ADE是等边三角形， .∠AED=60°，AE=DE。 .∠BEM=∠AED=60°。∴.∠AEM=∠DEB。 .△MAE≌△BDE(SAS)。 .MA=BD,∠MAE=∠BDE。 AB=AC=8,∠BAC=120°，∠DAE=60°， .∠ABC=∠ACB=30°，∠DAE=∠BAD=60°。 .·.AD⊥BC。 .AD-2AB-4.MA-BD=AD45. :E为AC的中点，.DE=CE。 ∴.∠EDC=∠ACB=30°。 .∠MAE=∠BDE=180°-∠EDC=150°。 ∴.∠MAN=180°-∠MAE=30°。 MN=2M=25,AN=BMN=6。 ∠BAS=180°-∠BAC=60°，.∠ABS=30°。 AS=2AB=4,BS=5AS=45。 .ES=AS+AE=4+4=8。 .BE=√BS2+ES=√(45)2+82=4万。 :BS⊥CN,QR⊥CN,∴.∠BSE=∠QRE=90°。 又，∠BES=∠QER,∴.△BES∽△QER. ·能-欲时品解得职3 7 ÷NR=AW+AE+ER=10+8,万 7 MW⊥CA,QR⊥CN, 5aw=2w.R=分x25x(10+8g) 7 =10月+8②