11 北京市2025年初中学业水平考试-2026年山东中考数学必备试题汇编

1①北京市2025年初中学业水平考试 16.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C, D四家经销商销售。当一家经销商将分配到的n台设 (时间：120分钟总分：100分) 备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位： 万元)与n的对应关系如下： 一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，8.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是横、纵轴正 符合题意的选项只有一个。 n=1 n=2 半轴上的动点，四边形0ACB是矩形，函数)=士(x>0) n=3 n=4 n=5 n=6 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 40 60 的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(点M,N B 不重合)。给出下面四个结论： 9 55 15 % 100 105 ①△COM与△C0N的面积一定相等； C 20 40 60 70 80 90 ②△MON与△MCW的面积可能相等； D 14 38 62 86 110 134 ③△MON一定是锐角三角形； (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且 ④△MON可能是等边三角形。 每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出 上述结论中，所有正确结论的序号是 ) 2.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 后企业获得的总利润最大，应向 经销商分配2 二、填空题（共16分，每题2分） 台设备（填“A”“B”“C”或“D”); 中，正确的是 (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一 -2a-10612 9.若√3x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围 家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的 是 A.a>-1 B.a+b=0 C.a-b>0 D.lal >1bl 总利润的最大值为万元。 10.分解因式：7m2-28= 0 3.若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为() 三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分， A.60B.90 C.120D.150 1方程，2。+上-0的解为 第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第 4.一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白 12.某地区七年级共有2000名男生。为了解这些男生的 25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分)解答应写 球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一 体重指数(BMI)分布情况，从中随机抽取了100名男 出文字说明、演算步骤或证明过程。 个球，摸出的球是白球的概率是 ( 生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2),并根据七年 A D 17.计算：l-3引+v27+(3分)1-2in30。 级男生体质健康标准整理如下： 6 6 等级低体重正常 超重 肥胖 5.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的 BMI ≤15.415.5~22.122.2~24.9 ≥25.0 实数根，则实数a的值为 () 人数 6 75 15 A.-4B.-1C.1 D.4 6.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中 昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03 BMI等级为正常的人数是 的探测与采样返回之旅。已知该小行星与地球的最近距 13.能说明命题“若a2>462,则a>2b”是假命题的一组 2(x+1)>x-1, 离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为 实数a,b的值为a= ,b= 18.解不等式组：{ x+5 4×10°km,则该小行星与地球的最近距离约为（ 14.如图，⊙0是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF 2 >3x0 A.1.8×105km B.1.8×106km 分别表示北回归线和南回归线，∠BOD=∠BOF= C.1.8×10km D.1.8×1010km 23.5°。夏至日正午时，太阳光线DG所在直线经过地 心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于DG 7.如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点0为圆心， 的光线FH与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为 OA长为半径画弧，交射线ON于点B。若分别以点A,B 为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C,连接AC,则LOAC的大小为 北回归线 A.80° B.100 C.110° D.120° 19已知a+6-3=0水代数式学的位。 赤道0 E 南回归线 D 第14题图 第15题图 15.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE, B 垂足为F。若AB=1,∠CBE=30°，则△ABF的面积 第7题图 第8题图 为 20.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥ BC,垂足为F,点G在DE的延长线上，DG=CF。 (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC的长。 21.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b的图象经过 点(1,3)和(2,5)。 (1)求k,b的值； (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值既 小于函数y=x+b的值，也小于函数y=x+k的值，直 接写出m的取值范围。 22.北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产。为制作 一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根 门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条。他将门条和 膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2）， 其头部高、胸腹高与尾部高的比为1：1：2。已知单根膀 条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm,图1中 BC的长是门条长的)，AB,CD的长均等于胸腹高。求 这只风筝的骨架的总高。 A B CD门条 头部高 C 膀 胸腹高 总高 尾条 尾条 尾部高 图1 图2 2- 23.校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米 比赛。对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩 (单位：$)的数据进行整理、描述和分析。下面给出了 部分信息。 a.甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： 成绩/s 13 12.9 12.8 12.612-612.6 12.7--12712712.7 25- X--* 25125 。甲 2.5 12.4 125125125- 2.4、 12.2---- 12 2 12 0 12345678910数据/序号 b.丙运动员10次测试成绩：12.412.412.512.7 12.812.812.812.812.912.9 c.四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 2 0.034 0.056 (1)表中m的值为 (2)表中n 0.056(填“>”“=”或“<”)； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四 名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者 实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力 更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数 的次数较多者实力更强。评估结果：这四名运动员按实 力由强到弱依次为 24.如图，过点P作⊙0的两条切线，切点分别为A,B,连接 OA,OB,OP,取OP的中点C,连接AC并延长，交⊙0于 点D,连接BD。 (1)求证：∠ADB=∠AOP: (2)延长OP交DB的延长线于点E。若PA=10, anLA0P=7,求DE的长。 -4 25.工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训。在完成 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点 理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统 0和点A(3,3a)。 进行一次为期T日(T可取0,1,2或3)的模拟练习， (1)求c的值，并用含a的式子表示b: 然后开始试制。记一名新员工在试制阶段的第x日 (2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直 单日制成的合格品的个数为y,根据以往的培训经验， 线y=ax于点N。 对于给定的T,可以认为y是x的函数。当T=0和 ①若a=1,t=4,求MW的长； T=3时，部分数据如下： ②已知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，MN 0123456789 的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围。 T=0时y的值07810121620232526 T=3时y的值0263743m4850515253 T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日 比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持 不变。 对于给定的T,在平面直角坐标系x0y中描出该T值 下各数对(x,y)所对应的点，并根据变化趋势用平滑 曲线连接，得到曲线Cr。当T=1和T=2时，曲线 C1,C2如图所示。 27.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=,点D在射线BC 50 上，连接AD,将线段AD绕，点A逆时针旋转180°-2a得 5--k--- 40 到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB, 30 交直线BC于点F。 --2-上--十--} --i--0-} (1)如图1，a=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC; 20 15 (2)如图2，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示 10/不-------- 5 DF与BC的数量关系，并证明。 012345678910元 (1)观察曲线C1,当整数x的值为 时，y的值 首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中 画出T=3时的曲线C3; C(D) (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进 图1 图2 行模拟练习和试制。 ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得 “优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完 成理论学习后的第 日可获得“优秀学员” 证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成 的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日 中应安排小腾先进行 日的模拟练习。 3- 28.在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定 义：若⊙C上存在两个不同的点M,N,对于⊙C上任意 满足AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤ ∠MAN,则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为 点A与⊙C的关联角度。（本定义中的角均指锐角、直 角、钝角或平角)》 (1)如图，⊙0的半径为1。 ①在点A,(3,0),A,(号，0)，A,(2,0)中，点 是 ⊙0的关联点且其与⊙0的关联角度小于90°，该点与 ⊙0的关联角度为 ②点B(1,m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线 段BD,BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小 值为」 (2)已知点E(1,3),F(4,3),T(t,0),⊙T经过原点，线 段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T 的关联角度的最大值为a。若90°≤α≤180°，直接写出 t的取值范围。 y个 4-∴.由点O(0,0),F(3,-3)可得直线0F的解析式为 y=-x。 联立=x-3 2’ 解得 ly=-x, y=- 2 .当OM+FM的值最小时，点M的坐标 为会)月 ②.B(3,0),C(0,-3),∴.0C=0B=3。 .△B0C是等腰直角三角形。.∠OCB=45°。 如图2，连接DE,BG。 C(0,-3),E(1,-4),D(2,-3), ·.CE=√(0-1)2+(-3+4)2 =2, DE=√(2-1)2+(-3+4)2 =√2， CD=2. 图2 ∴.CE=DE,CE2+DE2=CD2。 :.△CDE是等腰直角三角形。 .∠DCE=45°。.∠0CM=∠GCN。 CM=CN,CO=CG, .∴.△COM≌△CGN(SAS). ∴.OM=NG。∴.OM+BN=NG+BN≥BGe C(0,-3),D(2,-3),∴.CD⊥y轴，即∠0CD=90°。 .∠BCD=∠0CD-∠0CB=90°-45°=45°。 .∠BCG=∠BCD+∠DCG=45°+45°=90°。 BC=√0B2+0C=V32+32=32,CG=C0=3, ·在Rt△BCG中，BG=V√BC+CG=√(32)+32= 35。 ∴.OM+BN≥BG=3√3，即OM+BN的最小值为35。 (3)(1,1)或(1，-1)【解析】①当点P在x轴上方 时，取点H(-3,0),连接HC, Y AC,如图3，.H0=3=C0。 H .△OCH是等腰直角三角形。 .∠0CH=45°， 即∠0CA+∠ACH=45°。 ∠0AP+∠0CA=45°， .∠OAP=∠ACH 图3 如图3，过，点A作AK⊥HC于点K,设对称轴与x轴的 交点为Q, .∠AKC=∠PQA=90°。∴.△PQA△AKC。 最怨 A(-1,0),H(-3,0),C(0,-3), .AH=2,AC=√(-1-0)2+(0+3)2=√10， HC=√(-3-0)2+(0+3)2=32。 COGK, 即}x2x3=分x32·Kk=2。 .在Rt△ACK中， KC=√AC2-AK=√(10)'-(2)'=22。 对称轴为直线x=1,∴.AQ=2。 袋-怨爱20=1P1 ②当点P在x轴下方时，由对称性可得P(1,-1)。 综上所述，点P的坐标为(1,1)或(1，-1)。 北京市2025年初中学业水平考试 1.D【解析】A,B是轴对称图形，不是中心对称图形；C 是中心对称图形，不是轴对称图形；D既是轴对称图形 又是中心对称图形。 2.D【解析】观察数轴可知，-2<a<-1,0<b<1, lal >lbl,..a+b<0,a-b<0o ∴.选项A,B,C结论错误，选项D结论正确。 3.C【解析】小一个六边形的每个内角都是x°， ,,这个六边形为正六边形。 ∴.每个内角的度数为(6-2)×180°÷6=120°。 .x=120。 4.A【解析】由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸 出的球是白球的结果有1种， :模出的球是白球的额率为行。 5.C【解析】小：关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0 有两个相等的实数根， .△=0且a≠0，即22-4a=0且a≠0，解得a=1。 6.C【解析】45×4×103km=18000000km =1.8×102km。 7.B【解析】如图，连接AB,OC,BC。 M 0 B 由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB, △ABC为等边三角形。∴.∠ACB=60°。 :OC=0C,∴.△OAC≌△OBC(SSS)。 LACO-LBCO-LACB-30, ∠A0c=LB0C=7LA0B=50。 .∠OAC=180°-∠AC0-∠A0C =180°-30°-50°=100°。 2 8.B【解析】设M(a,),(6,), 则A(a,0,B(0,),c(a,。 .08-AC-0A=BG-, a CN=a-b,CM=b-a 11 5am=分cw.0A=分（分-白）a=元克 a1 5cw=0w0a=2a-w-元-7 1 ∴.S△coM=S△cOw。故结论①正确； Sew=7cM·CN=2(a-b)·(6-a) =(a-b)2 2ab。 S△MON=S矩形OHCB-S△0BN-S△OAW-S△MCN =a·1-b.1-1a.1-(a-b12=a2-& 626·6-2a a 2ab2ab 当△MON与△MCN的面积相等时，ab=二 2ab, 即a=b。 当a=b时，点M,N重合，与题意不符，故结论②错误； 如图1，：等边三角形和反比例函数图象都是轴对称图形， .当∠MON=60°且对称轴为直线y=x时， △MON是等边三角形。故结论④正确； 2 B 0 A x 0 A 图1 图2 如图2，当点M,N在直线y=x的同侧时， △MOW是钝角三角形，故结论③错误。 9.x≥1【解析】根据题意，得3x-3≥0。解得x≥1。 10.7(m+2)(m-2)【解析】原式=7(m2-4) =7(m+2)(m-2)。 11.x=2【解析】方程两边乘x(x-6),得2x+x-6=0。 解得x=2。 经检验，x=2是原方程的解。 12.1500【解析】估计该地区七年级2000名男生中 BWn等复为正含的人教是20×高-150。 13.-31(答案不唯一)【解析】当a=-3,b=1时， a2>4b2,但是a<2b。 14.43【解析】.∠B0D=∠B0F=23.5°， ∴.∠D0F=∠B0D+∠B0F=47°。 DG∥FH, .∠0FH=180°-∠D0F=180°-47°=133°。 FI是⊙0的切线， .0F⊥FI。∴.∠0FI=90°。 ∴.∠IFH=∠0FH-∠0FI=133°-90°=43°。 15.&【解析】如图，过点F分别作FM⊥BC,FN LAB, 8 垂足为M,N,连接AM,则∠FMC=90°。 四边形ABCD为正方形， .∠ABC=90°。 .∴.∠ABC=∠FMC .AB∥FM。∴.FN=BM。 :Sam=2AB:PW, SAB BM, .S△ABR=S△ABM⊙ ,CF⊥BE,AB=1=BC,∠CBE=30°， LBFC=90,CF-G .∠CFM=90°-∠BCF=∠CBE=30°。 CM=2CF=子。BM=Bc-CM=。 SAar=SAAnM=2X1×4=8。 1 .33 16.B157【解析】(1)当n=2时， A经销商的利润为60万元， 比n=1时增加60-40=20（万元）； B经销商的利润为55万元， 比n=1时增加55-30=25（万元）； C经销商的利润为40万元， 比n=1时增加40-20=20（万元）； D经销商的利润为38万元， 比n=1时增加38-14=24（万元）。 :25>24>20,.应向B经销商分配2台设备。 (2)当给这四家经销商中的一家销售时，最大利润为 D经销商的134万元， 当给这四家经销商中的多家销售时， 分配四家，最大利涧为40+55+20+38=153（万元）， 分配三家，最大利润为40+55+62=157（万元）， 分配两家，最大利润为60+90=150（万元）， 或40+110=150（万元）。 综上，企业可获得的总利润的最大值为157万元。 17.解：原式=3+35+2-2×2 =3+35+2-1 =4+35。 3 2(x+1)>x-1,① 18.解：+5>3x。② 2 解不等式①，得x>-3。 解不等式②，得x<1。 .原不等式组的解集为-3<x<1。 19.解：a+b-3=0,.a+b=3。 原式=4a-46+8b (a+b)2 =4(a+b) (a+b)2 4 = a+b 4 =30 20.(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线。∴.DE∥BC。 DG=CF,∴.四边形DFCG是平行四边形。 DF⊥BC,.∠DFC=90°。 .平行四边形DFCG是矩形。 (2)解：DF⊥BC,.∠DFB=90°。 ∠B=45°，∴.△BDF是等腰直角三角形。 .BF=DF=3。 DG=CF=5,∴.BC=BF+CF=3+5=8。 由(1)知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是 矩形， DE-7BG-4.CG-DF-3,ZG-90 ∴.EG=DG-DE=5-4=1。 .CE=√CG+EG=√32+12=√10。 E为AC的中点，.AC=2CE=2√10。 21.解：(1)函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(2,5)， +63解得2， 12k+b=5, b=1. (2)由(1)，得函数y=x+b的解析式为y=2x+1,函 数y=x+k的解析式为y=x+2。 当x=1时，y=2x+1=3,y=x+2=3,y=mx=m。 当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx的值既 小于函数y=x+b的值，也小于函数y=x+k的值， ∴.2≤m≤3。 22.解：设胸腹高为xcm,则单根膀条长为5xcm,门条AD 的长度为(5-10)cm,题图1中Bc=号(5x-10)cm, AB=CD=xcm,头部高为xcm,尾部高为2xcm,这只 风筝的骨架的总高为4xcm。 由AD=AB+BC+CD,得5x-10=x+号（5x-10)+, 解得x=20。 所以4x=4×20=80。 答：这只风筝的骨架的总高为80cm。 23.(1)12.5【解析】甲运动员的10次测试成绩从小到 大排列为12.1,12.1,12.5,12.5,12.5,12.5,12.5， 12.7,12.7,12.9,中位数m=12.5+12.5=12.5。 2 (2)<【解标1乙的方差为0[(12.6-12.52x2+ (12.3-12.5)2+(12.5-12.5)2×3+(12.7- 12.5)2×2+(12.4-12.5)2+(12.2-12.5)2]= 0.024, .n<0.056。 (3)乙、丁、甲，丙【解析】丙的平均数p=0(24+ 12.4+12.5+12.7+12.8+12.8+12.8+12.8+12.9+ 12.9)=12.7,.丙的平均数最大，实力最弱。 方差0.024<0.034<0.056，∴乙实力最强。 丁的测试成绩中位数为12.45， .第5,6次成绩和为24.9。 ,前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均 数12.5的次数有2次。.丁比甲强。.这四名运动 员按实力由强到弱依次为乙、丁、甲、丙。 24.(1)证明：AP,BP分别切⊙0于点A,B, OP平分LA0B。∠AOP=3∠A0B。 :a=a,LADB=LA0B。 .∠ADB=∠AOP。 (2)解：如图，延长A0交⊙0于点F,连接DF,则 ∠ADF=90°。 E PA,PB分别切⊙0于点A,B,∴.PA⊥OA。 :C为0P的中点AC=PC=0C=20P。 又-PM=10,m∠A0P= .OA=PA tan ZAOP=20,AF=20A=40, 0P=√0A2+PA2=√202+102=105， AC=PC=0c=20P=55。 AC=OC,∴.∠0AC=∠A0C。 又：∠OAP=∠ADF=90°， △0MP△A0P。8-% 4 AD=20 ×40=16√5，CD=AD-AC=11V5。 105 ∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, :.△AC0∽△ECD。DE=DC OA OC DE=L5×20=44。 5W5 25.解：(1)6 (2)T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工 每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或 保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品为 43个，第5日单日制成的合格品为48个， ∴.相差48-43=5（个）。 把5分成两个接近的数，5=3+2。 ∴.第4日增加3个，第5日增加2个， ∴.m=43+3=46。 画出T=3时的曲线C3如图1。 C 50 45 2 40 35 30 5 30 1-4-- o -------- 012345678910元 图1 (3)①7【解析】单日制成不少于45个合格品的只有 C2与C3 C3:当x=4时，y=46,.T+x=7; C2:当x=6时，y=45,∴.T+x=8。 .7<8,∴.小云最早在完成理论学习后的第7日可获 得“优秀学员”证书。 ②1【解析】如图2， 5 45-- 40 3 30 3 20 15 --}-↓--} 5 012345678910元 图2 当T=0时，4日内的试制时间x=4-0=4, 4日的合格产品分别为7个，8个，10个，12个， .合格产品共有7+8+10+12=37（个）； 当T=1时，4日内的试制时间x=4-1=3, 5 3日的合格产品分别为12个，19个，26个， .合格产品共有12+19+26=57（个）； 当T=2时，4日内的试制时间x=4-2=2, 2日的合格产品分别为20个，30个， ∴.合格产品共有20+30=50（个）； 当T=3时，4日内的试制时间x=4-3=1, 1日的合格产品为26个。 .26<37<50<57, 在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习。 26.解：(1)将点0(0,0)代入y=ax2+bx+c,得c=0, ∴该抛物线的解析式为y=ax2+bx。 将点A(3,3a)代人y=ax2+bx,得3a=9a+3b, 解得b=-2a。 (2)①当a=1时， 抛物线及直线解析式分别为y=x2-2x,y=x。 当t=4时，点P的坐标为(4,0)，如图1， P 图1 PM⊥x轴，xM=xN=4。 将x=4代入y=x2-2x,得y=42-2×4=8, 即M(4,8); 将x=4代入y=x,得y=4,即N(4,4)。 .MN=8-4=4。 ②在点P从点0运动到点B(2a,0)的过程中， PM⊥x轴，P(t,0),∴.xM=xw=to 将x=t代入y=ax2-2ax,得y=at2-2at, 即M(t,at2-2at)； 将x=t代入y=ax,得y=at,即N(t,at)。 .'MN=lat2-2at -atl lat2-3atlo 令MN=0,即at2-3at=0,解得t=0或t=3。 当a>0,即2a>0时，点P在y轴右侧，如图2， M 图2 当0<t≤3时，MN=-at2+3at, 其图象开口向下，对称轴为直线1=， MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的 增大而增大，2a≤号，解得a≤子) 当t>3时，MN=at2-3at, 其图象开口向上，对称轴为直线1=多，不符合题意： 当a<0,即2a<0时，点P在y轴左侧，如图3， 图3 当t<0时，MN=-at2+3al, 其图象开口向上，对称轴为直线1=之， MWN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的 减小而增大2a≤号解得a≤子。a<0。 综上所述，a的取值范围是0<a≤子或a<0。 27.(1)证明：.∠ACB=90°，∠ABC=45°， .∠BAC=45°=∠ABC。 :线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45°=90°得 到线段AE,点D与点C重合， ∴.AE=AD=AC,∠BAE=90°-∠BAC=45°。 ∴.∠BAE=∠ABC。∴.BC∥AE。 :EF∥AB,∴.四边形ABFE是平行四边形。 .BF=AE。∴.BF=AC。 (2)解：DF=2BC。证明如下： 如图，在DC上取一点G,使得CG=CB。 ---- G :LACB=90°，∴，∠ACG=90°=∠ACB。 AC=AC, 在△ACG和△ACB中， {∠ACG=∠ACB, CG CB, .△ACG≌△ACB(SAS)。AG=AB。 .∠AGB=∠ABG=a。∠BAG=180°-2a。 ·:将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段 AE,.AD=AE,∠DAE=180°-2a=∠BAG。 46 .∴.∠DAG=∠EAB。∴.△DAG≌△EAB(SAS)。 .DG=BE,∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-ax。 ∠ABC=, .∠EBF=∠ABE-∠ABC=180°-a-a=180°-2a。 EF∥AB,.∠BFE=LABF=aO .∠BEF=180°-∠EBF-∠BFE=aO ∴.BE=BF。∴.DG=BF。 .DF=BD-BF =BD-DG=BG=2BC. 28.解：(1)①A360【解析】根据定义可得当点A在 ⊙O上时，不存在∠PAQ≤∠MAN;当点A在⊙O的内 部时，过，点A的直线MW使得⊙O的关联角度为 180°；当点A在⊙0的外部，且AM,AN为⊙0的切线 时，∠MAN最大。 如图1，点A?是⊙0的关联点且其与⊙0的关联角度 小于90°，点A1与⊙0的关联角度为180°，点42与 ⊙0的关联角度大于90°。 y个 图1 A3（2,0),⊙0的半径为1， ∴.0M=1,0A3=2,且A3M是⊙0的切线。 六m4,0=8-安六∠M0=30 ∴.∠MA3N=60°，即与⊙0的关联角度为60°。 ②5【解析】根据题意可得点B为⊙0外一点。 BD<1,⊙0的半径为1，.0B≥2。 当0B=2时，如图2，取点G(1,0), 则∠OGB=90°。 B D 0 图2 .m≥BG=√0B2-0G=√22-1下=√5。 (2)由(1)，得当点A在圆的外部时，且AM,AW为圆的 切线时，∠MAN最大，且点A距离圆心越近。 90°≤a≤180°，∴.当∠MAN=90时，如图3。 图3 ∠TMA=∠TNA=90°，∴.四边形TMAN是矩形。 .TM=TW,.四边形TMAN是正方形。 .TA=√2TM=√2r。 当LMAN≥90时，r<TA≤√2r。 :点E(1,3),F(4,3),T(t,0),⊙T经过原点，线段 EF上所有的点都是⊙T的关联点，即r=Itl, ∴.EF上距离T最近的点在t<TA≤√2t的圆环内。 ①当EF和半径为√2t的圆相切时，如图4， 万 图4 32 TA=3=√2t,解得t= 2； ②当EF和半径为t的圆相切时，如图5， E 图5 TH3=4(不包含临界值3≤1<3： ③当点E在半径为t的圆上时，如图6， E(AY 图6 2=(t-1)2+32,解得t=5(不包含临界值)。 ∴.当t>5时，点E,F都在⊙T内部，此时a=180°； ④当点E在半径为√2t的圆上时，如图7， 图7 设⊙T的半径为r,则t=-T。 ·32+(r+1)2=(2)2,解得r=1+√T(舍去负值)。 .当t≤-1-√11时，90°≤a≤180°。 棕上所述，32≤<3成>5或气-1m。 12上海市2025年初中学业水平考试 1.A【解析】A.m3+m3=2m3,选项计算正确； B.m3+m3=2m3,选项计算错误； C.m3·m3=m,选项计算错误； D.(m3)3=m’,选项计算错误。 2.B【解析】根据描述可列出(x-y)2。 3.D【解析】A.y=3x+1是一次函数，不是正比例函数， 故不符合题意； B.y=3x2是二次函数，故不符合题意； Cy=3是反比例函数，故不特合题意： Dy=是正比例函数，故符合题意。 4.D【解析】由统计图可知，该校体育组60人的某科成 绩中出现最多的是85分，故众数是85。 5.C【解析】如图，连接AC。 :四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠D=90°。 .AC=√2CD。 AB+BC=AC, .IAB+BCI:ICDI=√2。 6.B【解析】如图，连接AD并延长交⊙0于点E。 :AB=AC,D为BC的中点， .BD=CD=4,OD⊥BC,圆心O在AD上。 连接OB,由勾股定理，得OD=√OB-BD=3。 47