6 烟台市2025年初中学业水平考试-2026年山东中考数学必备试题汇编

.·∠PBE=∠CBP,∴.△PBE∽△CBP。 .PB2=BE·BC。 同理可得PB=BF·AB。 AB=BC,.BE=BF。 连接EF,则△BEF是等腰直角三角形。 在Rt△PEF中， Sam=2PEPF=7a=宁d, EF2=PE+PF2=a2+(ka)2=(1+2)a2。 Sg=8B·BP=4Er-1+a。 4 4 ∴.S四边形PEBP=S△PEr+S△BEr =如2+14。-. 4 6烟台市2025年初中学业水平考试 1B【解析：1-31=3,3的倒数是子 1-3的倒数是子 2.D【解析】A不是中心对称图形；B不是中心对称图 形；C不是中心对称图形；D是中心对称图形。 3.B【解析】 选项 分析 正误 A 2x2和x3不是同类项，无法合并 + B 2x3·x3=2x V C 2x3÷(-x2)=-2x 0 (2x2)3=8x 4.C【解析】如题图是社团小组运用3D打印技术制作 的模型，它的左视图是 1 5.A【解析】.AB∥CD,∠1=30°，∴.∠A=∠1=30°。 ∠2=70°，∠2=∠3+∠A,.∠3=70°-30°=40°。 6.C【解析】A.算式中平方差项数为5，对应数据个数 n=5,说法正确。 B,平均数元=6+8+8+6+7=7，说法正确。 5 C.数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和 8,说法错误。 D.加入两个7后，教据更集中，方差由号=0.8减小为 号-051，说法正确。 7.A【解析】设这款风扇每台的标价为x元。 由题意，得0.6x+10=0.9x-95。解得x=350。 .这款风扇每台的标价为350元。 2 8.D【解析】小菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3, .'AM CM,OC=OA =BC AB=3,yt A(3,0)。 设c(xM(空，) y安方解得 过点C作CH⊥A0于点H,如图， .0H=1。.CH=32-12=22。 ∴.C(1,2√2)。.k=1×22=22。 9.D【解析】·二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向 下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， a<0,b>0,c>0。∴.abc<0。故①结论正确； 顶点P的坐标为(1，n),a<0, .当x=1时，n=a+b+c最大。 当x=m时，y=am2+bm+c, ∴.a+b+c≥am2+bm+c。 ∴.am2+bm-a-b≤0。故②结论错误； :二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交 点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，对称轴为直线x=1, -6=1,a-b+c>0。 .-2a a=-2.4-2b-b+e>0。 ∴.3b<2c。故③结论正确； 如图，：△PAB为等边三角形， .PA=AB=PB,PH⊥AB,HA= HB,∠PAB=60°。 H ∴.PH=tan60°·AH=tan60°·BH。 -2-10 B 记A,B的横坐标分别为1,2， 1x=1 ∴.n=√3(x2-1)=√3(1-x1)。 .2n=3(x2-x1)。 令y=2+bm+e=0,得+=-名=2，=合。 a 六5-=伍+4名=√4-把。 a 3 .∴.n= 4a-4c-5·√a 3a-3c= V3 a2-3ac a n=a+b+c=c-a,∴.c-a=- V3a2-3ac a a(a-c）=3。n=-3aa-c--3 a a 故④结论正确。 10.B【解析】∠ACB=90°，AC=BC,AD是角平分线， .∠CAB=∠CBA=45°。.∠CAD=∠BAD=22.5°。 设AC=BC=m, .AB=√AC+BC=2m。 如图，在AC上取，点Q,使AQ=DQ, ∠QAD=∠QDA=22.5°。 .LCQD=45°=∠CDQ。 .CQ=CD。 ∴.AQ=QD=√2CQ. .√2CQ+CQ=m, 解得CD=CQ=(2-1)mo ·∠CEF=45°=∠CAB,∠CEF+∠BEF=∠ACE+ LCAE, .∠BEF=∠ACE。∴.△ACE∽△BEF。 小能崇小煎京 m= x BF=（2m-x)x m DF=y=m-(2-1)m-(2m-x)x m =(2-2)m-（2m-x)x m y关于x的函数图象过点(0,2-√2)， ∴.(2-√2)m=2-√2，解得m=1。 ∴y=2-2-(2-x)x=x2-2x+2-2。 六查=-号时取装小，最小值为号-瓦 2 :谁图象上漫低点的生标为（受，各- 11.5.635×10【解析】56350000=5.635×10'。 12.4【解析】32=√18,4<√18<5， ∴4<3√2<5，.实数32的整数部分为4。 13.2(x-3y)2【解析】2x2-12xy+18y2=2(x2-6xy+ 9y2)=2(x-3y)2。 14.16π-85【解析】连接04,0E,0F,过，点0作OM1 3 AF于点M,如图所示。 .·六边形ABCDEF为正六边形， .OA=OE=OF, 360° 0 ∠AOF=∠EOF= 6 =60°， ∠BAF=120°。 .△OAF和△OEF为等边三角形， ∠A0E=60°+60°=120°。 .∠OEF=∠OAF=60°，OA=AF=4。 :0MLAP,AM=FM=2AP=2。 ∴.0M=√42-22=23。 aw=4P.0M=2×4x2=4g ∠BAF=120°，∴.∠0AG=120°-60°=60°。 2 ∴.∠OAG=∠OEH。 .∠G0A+∠AOH=∠AOH+∠EOH=120°， .LG0A=∠EOH。 .△C0A≌△HOE(ASA)。∴.SAGOA=S△Hoso ∴.SACOA+S四边形AOIm=S△IOB+Sg边形A0IP0 .S五边移AOr=S四边形AOgr=2SAA0F=8V5。 ·S阴影=S偏形一S五边形4GOF -120π×4-85 360 =16m-85。 3 1s(-10,) 【解析】依题意， 得AP=2MP=2√6-42+(3-3=5， .A2P=2A1P=10。.A3P=2A2P=20。 设直线AP的解析式为y=:+b,代入6，号），(4,3)。 3=4k+b,b=6。 由题意知，点A在直线AP上， 设4(m,-子n+6） (m-62+(-子+6-2°=20， 解得m1=-10,m2=22(舍去)。 4(-0) 16.2m【解析】如图，连接BD交AC于点J。 3 D B ,在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm, ∴.△ABD为等边三角形，∠DAC=30°=∠DCA,AJ= CJ=3cm,BD⊥ACo .DJ=BJ=AJ·tan30°=√3cm。 .AD=AB=BD=2V3=CD。 设运动时间为t,则AM=tcm,CN=√3tcm。 有g*端会 '.△ADM△CAN。∴.∠ADM=∠CAN。 .∠APM=∠DAP+∠ADM=∠DAP+∠CAN=30°。 .∠APD=180°-30°=150°。 如图，作等边三角形AD0,并以0为圆心，OD为半径 作圆，在圆上取，点K,连接AK,DK, .0A=0D=AD=23cm,∠A0D=60°。 六∠AKD=号×60°=30 .·.∠AKD+∠APD=180°。 .P在⊙0上，且在AD上。 “在此过程中，点P的运动路径长为60m×25 180 2(cm。 17.解：(2+m+4） m-2)3m-6 =m2-4+4.3(m-2) m-2 m m2,3(m-2) m-2 m =3m。 m=(-1)235=-1, .原式=3×(-1)=-3。 18.解：(1)由统计数据，可得甲社团满分10分的有3人； 乙社团7分的有12人。 补全条形统计图如图。 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数 14 口甲社团 12 口乙社团 10 9 10成绩/分 (2)乙 【解析】小甲社团的成绩（单位：分）情况如下：6,6,6， 6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9, 9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10, ∴.排在第20,21位的数据为8。 甲社团的成绩的中位教为7×(8+8)=8（分）。 ·将乙社团的成绩从小到大排列后，排在第20,21位 的数据为7,8， 乙社团的成绩的中位数为7×(7+8)=7.5（分）。 .成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前。 (3)记男生为甲，两个女生分别为乙、丙， 画树状图如图。 开始 2 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男 生和一名女生的结果有4种， ∴.所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率 为后子 19.解：(1)如图1，△BED即为所求作。 图1 (2)如图2，：四边形ABCD是 矩形， .AD=BC=2,AD∥BC, ∠A=90°。 ∴.LADB=∠CBD。 :△BED与△BCD关于直线BD 图2 成轴对称， ∴.∠EBD=∠CBD。∴.∠FBD=LFDB。 ∴.FB=FD。 设AF=x,则DF=BF=2-x。 P+2=(2-),解得x=子。 5AF=子 20.解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x,y元。 根据题意，得+2y=220, 3x+140=4yo 「x=60, 解得 Ly=80。 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元。 (2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40- m)盏。 根据题意，得m≤(40-m)。 解得m≤10。 设购买费用为n元。 根据题意，得n=60m+80(40-m)=-20m+3200。 .-20<0 当m=10时，n最小，最小值为3000， 此时40-m=40-10=30。 答：购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用 最少。 21.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC 于点E。 设BE=x。 依题意，得LEBC=53°，∠EBD= 1 45°，CD=10×2=5, .∠C=90°-∠EBC=37°，ED=xa .EC=ED+DC=x+5。 在Rt△BCE中，：EC=BE FanC-tan3700.75=3*, 亭=+5，解得x=15。 ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15 海里。 (2)在Rt△ABE中， ∠ABE=14°，BE=15, .AE=BE·tan14°≈15×0.25=3.75。 ∴.AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75。 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30经过142.5分钟是16：52：30， ∴.在17：30之前能到达。 ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A。 22.(1)证明：如图1，连接A0并延长交⊙0于点E,连 接BE。 .BD=AB. .∠D=∠BAD .∠ABC=∠D+∠DAB =2∠D。 又：∠ABC=2∠C, 图 ∠D=∠C。 .∠BAD=∠CO AB=AB,∠C=LE。 .∠BAD=∠E。 AE是⊙0的直径， ∴.∠ABE=90°。 .∠BAE+∠E=90°。 .∠BAD+∠BAE=90°，即AD⊥AE。 :AE是⊙0的直径， .AD是⊙O的切线。 (2)解：.∠D=∠D,∠DAB=∠C, △DMB△DCA。小20- .·∠D=∠C,∴.AD=AC=8。 又DB=AB=5, “54c=言，解得8C=9。 8 如图2，过点A作AF⊥DC于点F。 AD=AC, DF-FC(DB+BC) 0 0 =5+)-3。 图2 25 .AF=√AD-DF -V8-(4。 24 又：∠E=∠D,∠ABE=90°，sinE=sinD。 .AF=AB=AB=5 25 sin E sin D 33 5 之00的半径为管。 23.解：(1)PA1+PA3=2PA2。 【解析】思路一：如题图2，在射线PA3上截取AQ= PA1,连接A2Q。 ∠PA1A2+∠PA342=180°，∠QA342+∠A2AP=180°， .∠A2AP=∠A2A3Q。 又四边形A1A2A3A4是正方形， .A2A1=A2A3。△QA3A2≌△PA1A2(SAS)0 ∴.∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q 又：四边形A1A2A3A4是正方形， .∠A1A243=90°。.∠PA2Q=90°。 △A2PQ是等腰直角三角形。 .PQ=PA +AQ=PA3 +PA =2PA2 思路二：如题图3，过点A2作A2M⊥A1P交射线PA1于 点M,在PA3上截取A3N=A1M,连接A2N。 ∠PA,A2+∠PA3A2=180°，∠PA142+∠A2A1M=180°， .∠A2AM=∠A2A3N。 四边形A1A2A3A4是正方形， .A1A2=A2A3,∠A1A2A3=90°。 .△A1A2M≌△A3A2N(SAS)o ∴.∠A,A2M=∠A342N,MA2=A,N,∠M=∠A2NA3=90°。 ∴.∠MA2N=∠A1A2A3=90°。 ∴.∠M=∠MA2N=∠A2NP=90°。 ∴.四边形A2MPN为正方形。 .A2P=√2PM=√2(PA1+MA1)=2(PA1+A3N),A2P= √2PN。 ∴.2A2P=2(PA1+A3N+PN)=√2(PA1+PA3)。 ..A2P=PA +PAs (2)正五边形的一个内角的度数为 (5-2)×180°=108°。 5 如图1，在射线PA3上截取AQ= PA1,连接A2Q,过点A2作A2T⊥PQ 于点T。 同理可得△QA3A2≌△PA1A2(SAS). .∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q。 图1 .∠PA2Q=∠A1A2A3=108°。 ∠PA,T=2∠PA,Q=4。 PA1=11,PA3=49, .PQ=PA3 +A3 Q=PA3 +PA:=60. :Pr=2PQ=30 p%=08-n.0 (3)PA1+PA3=2PA2·sin72°。 【解析】如图2，在射线PA3上截取AQ=PA1,连接 A2Q,过点A2作A2T⊥PQ于点T。Ay 同理，可得∠PA2Q=∠A1A2A3= (10-2)×180°=144°，PA2=A,Q, T 10 ∠P%,T=24PA,Q=2 图2 :.PA,=in72° PT .PQ=PA3 +AQ=PA3 +PA, .PT=P0(PA+PA). PT (P +PA) PA=sin 729= sin72°， 即PA1+PA3=2PA2·sin72°。 24.解：(1)抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点 (点A在点B左侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6, .A(-2,0),B(6,0)0 1 r4a-2b+3=0, 解得 a=-4’ 36a+6b+3=0, lb=1。 5抛物线的表达式为了=一++3。 (2)①对于抛物线的表达式y=-子+x+3, 当x=0时，y=3,.C(0,3)。 设直线BC的表达式为y=kx+b, 则t+b=0, k=-2 1b=3, 解得 lb=3。 1 直线BC的表达式为y=-2x+3。 DE⊥AB,点D的横坐标为t,点D在抛物线上，点E 在直线BC上， D,-4+1+3,(,-2+3 D=-+2(0<1<6)。 26 ②存在。D=F+(-+1+3-3) cB=V+(-+3-3-,=-+2 △CDE是等腰三角形， 当DE=cE时，+=汽 解得t=6-25或t=0(舍去)。 六-子+4+3=子x(6-252+6-25+3 45-5。 .D(6-25,4√5-5)； 当60=时，+(+-（字+到 整理，得2(-t+1)=0。解得t=1或t=0(舍去)。 -子++3=子xP+1+3-。 ,2》: 当c0=E时，+(+=(， 整理，得r(-之+)=0。 懈得t=2或t=6(舍去)或1=0（舍去）。 -子++3=-×2+2+3=4 .D(2,4)。 综上，当△CDE是等腰三角形时，点D的坐标为 (2,4)或1,9)成(6-25,45-5。 (3)在y轴负半轴上取点N(0,-6),连接NG并延长 交x轴于点M,连接AN,标注∠1，L2,如图。 由旋转，得OE=OG,∠E0G y↑ =90°。 B(6,0),∴.OB=0N。 ∠B0N=90°， ·.∠1=∠2=90°-∠M0G。 ∴.△BOE≌△NOG(SAS). .∠CBO=∠MWO。 ·点G在线段MW上运动（不包括端点）。 .当AG⊥MW时，AG最小。 :∠CBO=∠MNO,OB=ON,∠COB=∠MON。 .△COB≌△MON(ASA)。 .0M=0C=3。 ∴.MN=√OM2+0W2=35。 当AGLMN E时，Sauw=之AM·ON=MN·AC, 1 1 2×5×6=2×35×AC。AG=25。 ∴.线段AG长度的最小值为2√5。 ⑦潍坊市2025年初中学业水平考试 1.A【解析】根据相反数的定义，可得实数4的相反数是 -4。 2.B【解析】小：主视图和左视图相同，均为两层，上层的 矩形较宽，下层的矩形较窄，∴.选项A,C不符合题意。 又：俯视图是一个内部为圆的正方形，故几何体的底 层是一个圆柱，故选项D不符合题意。 3.D【解析】.一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等 的实数根，.△=（-2)2-4c=0,解得c=1。 x1-=1-=-1。 4B【解析+产奇 5.D【解析】设AB的长度为a。 ·△ABC有两个角是60°， .△ABC是等边三角形， ∴.lp=AC+BC=a+a=2ao :△ADE和△EFB有两个角是60°， ·△ADE和△EFB是等边三角形，设△ADE的边长 为m, 可得AD=DE=AE=m,EF=FB=EB=a-m, ..lz=AD+DE+EF+FB=m+m+(a-m)+(a-m) =2ao 丙路程中，延长AG与BH,交于点I,如图。 .GI+HI>GH,两边同加AG+BH,得 AG+GI+BH+HI>AG +GH+BH, ∴.AI+BI>AG+GH+BH。 由图可知AB=AI=BI=a, 60 602 ∴.2a>AG+GH+BH。 B 又l两=AG+GH+BH,.L甲=lz>l雨。 6.C【解析】小：从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝， 红红红，蓝蓝蓝，共8种等可能的结果，相邻两个方格 所涂颜色不同的结果有2种：红蓝红，蓝红蓝， 故相你两个方格所涂颜色不同的概率是号=子。 7.AD【解析】A.逆命题为若a=b,则a2=b,为真命题， 符合题意。 B.逆命题为若a3>b3,则|a>|b,为假命题，例如 a=-2,b=-3,a3=-8,b3=-27,a3>b3,但是a|< |b,不符合题意。 C.逆命题为“平行于三角形第三边的线段是中位线”， 为假命题，不符合题意。 D.逆命题为“若三角形有两个角相等，则为等腰三角 形”。由等角对等边可知成立，为真命题，符合题意。 8.BD【解析】根据图象，可知k1<0,k2>0, ∴.k1-k2<0,A选项不符合题意。 一次函数y=x+b的图象经过点A(0,4),点P(1,2), b=4, 解得内-2， rk1+b=2, 1b=4, .一次函数的表达式为y=-2x+4。 当y=0时，x=2,∴.B(2,0), ∴.PA=√(1-0)2+(2-4)7=5， PB=√(1-2)2+(2-0)2=√5， .PA=PB, ∴.P为AB的中点，B选项符合题意。 :一次函数y=kx+b与正比例函数y=x的图象交于 点P(1,2), ∴.方程k1x+b=k2x的解是x=1,C选项不符合题意。 当x<1时，k1x+b>k2x,D选项符合题意。 9.AC【解析】作CF⊥AB于点F,如图1。 :AB∥CD,∠BAD=90°， 么 .∠ADC=90°， .四边形ADCF为矩形， .AF=CD-AR=3. 图1 ∴BF=AF=3,AB=6。 在△BFC中，BC=0=2那=6，故A正确。 当点P在BC上时， .PE⊥AB,∠B=60°，AB=6,BE=x, .AE=AB-BE=6-x,PE=BE·tan60°=√3x, ∴y=PE·AB=73(6-),故B错误。 当点P在CD上时，如图2， D 则P'E=CF=BF·tan60°= 3√5， y=2PEAB-35(6-0, E'F E 图2 故C正确。 当y-3(6-)时，y随着x的增大而减小，此D 错误。 10.BCD【解析】把(1,2)，(2,2)代入y=ax2+bx+c,得 「a+b+c=2,。解得{ b=-3a, 4a+2b+c=2, c=2a+2, ∴.y=ax2-3ax+2a+2, 抽物线的对琳轴为直线=子，当c≤0时，2☑+2<0， .a≤-1，∴.抛物线的开口向下。故A选项错误。 抛物线的对称轴为直线x=立， 3烟台市2025年初中学业水平考试 13.因式分解：2x2-12xy+18y2= 6 14.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点0，以点 (时间：120分钟总分：120分) 0为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则 图中阴影部分的面积为 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。 风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈 每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案，其中有且 利95元。这款风扇每台的标价为 只有一个是正确的) A.350元B.320元C.270元 D.220元 1209 1.1-31的倒数是 8.如图，菱形OABC的顶，点A在x轴正半轴上，OA=3,反 2 1 B< A.3 B号 C.-3 D.-3 比例函数了=华(x>0)的图象过点C和菱形的对称中 0123456x 2.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮 心M,则k的值为 () 第14题图 第15题图 丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝。下列航 A.4 B.42 C.2 D.22 天图案是中心对称图形的是 15如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(6，》， y △ABC的顶点A的坐标为(4,3)。以点P为位似中心 作△AB,C,与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位 于点P同侧；以点P为位似中心作△A,B2C2与 0 2-10 2 x=1 △AB,C1位似，相似比为2，且与△A1B,C1位于点P同 第8题图 第9题图 侧…按照以上规律作图，点A3的坐标为 0 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一 16.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm。点 个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点P的坐标 M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动， 为(1，n)。下列结论：①abc<0;②对于任意实数m,都 同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点 3.下列计算正确的是 有am2+bm-a-b≥0；③3b<2c;④若该二次函数的 D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 A.2x2+x3=3x B.2x2.x3=2x 图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角 AW,DM交于点P。在此过程中，点P的运动路径长为 C.2x3÷(-x2)=2x D.(2x2)3=2x5 cmo 4.如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左 形，则1=一子。其中所有正确结论的序号是《) 视图是 A.①②B.①③C.①④D.①③④ 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD是角平 分线。点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连 接CE,点F在BC上，且∠CEF=45°。设AE=x,FD =y,若y关于x的函数图象过点(0,2-2)，则该图 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 象上最低点的坐标为 () 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：2+m+23”6其中m= (-1)2025。 D 从正面看 第4题图 第5题图 5.如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD,∠1= 30°，∠2=70°，则∠3的度数为 A(2-2可 停-可 A.40° B.35° C.309 D.20° 6.求一组数据方差的算式为：2= 1 n + c(2,3-22 -22 [(6-x)2+(8-x)2+(8-x)2+(6-x)2+(7-)2]。 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 由算式提供的信息，下列说法错误的是 () 11.2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是 A.n的值是5 “保护湿地共筑未来”。国家林草局公布的最新数据 B.该组数据的平均数是7 显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以 C.该组数据的众数是6 上。将数据56350000用科学记数法表示为 D.若该组数据加人两个数7,7，则这组新数据的方差变小 7.某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台12.实数32的整数部分为 -21- 18.（本题满分7分) 2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕。某校带 领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明 甲骨文化穿越千年的不朽魅力。活动结束后，两个社团 进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所 有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6,6,6,6,7,7,7,7,6,7,7,67,8,8,8,8,9,8,8,9,9,9, 8,8,9,9,9,7,9,6,9,9,10,8,8,9,9,10,10。 ②乙社团的平均成绩为6×8+7×12+8×6+9×10+10x4 8+12+6+10+4 =7.75(分)。 ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数 口甲社团 14-27 12 口乙社团 10---- 8 6 8 10成绩/分 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在 社团的排名更靠前； (填“甲”或“乙”) (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团 满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活 动。请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男 生和一名女生的概率。 2- 19.（本题满分7分) 如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决 问题： (1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线 BD成轴对称：（不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F,AB=1,BC= 2,求AF的长。 20.(本题满分8分) 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色 低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装 在社区公共区域，升级改造现有照明系统。已知购买1 盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种 路灯比4盏乙种路灯的费用少140元。 (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路 灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一 种购买方案，使所需费用最少。 -2 21.(本题满分9分) 23.（本题满分11分) 【综合与实践】 【问题呈现】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山 如图1，已知P是正方形AA2A3A4外一点，且满足 上，为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业 ∠PA1A2+∠PA3A2=180°，探究PA1,PA2,PA3三条线段 情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。 的数量关系。 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 码头A航行，小组同学收集到以下信息： 思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得 码头A在灯塔B北偏西14°方向 出PA1+PA3与PA2的数量关系； 思路二：如图3，构造△MAA2与△NAA2全等，从而得 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方 出PA1+PA3与PA2的数量关系。 位置信息 向的C处 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的 A D处 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 M 天气预警 A附近海域将出现浓雾天气，请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： 图1 图2 图3 (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (1)请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA2的 (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在 数量关系 浓雾到来前到达码头A。（参考数据：sin37°≈0.60， 【类比探究】 cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14° (2)如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A外一点，且满 ≈0.97，tan14°≈0.25) 足∠PA1A2+∠PA3A2=180°，PA1=11,PA3=49,求PA2 的长度。（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81， 码头 北 D sin72°≈0.95，c0s54°≈0.59，c0s72°= 君烟台山灯塔 A P 图4 22.(本题满分10分) 如图，△ABC内接于⊙O,∠ABC=2∠C,点D在线段 CB的延长线上，且BD=AB,连接AD。 (1)求证：AD是⊙0的切线； (2)当AB=5,AC=8时，求BC的长及⊙0的半径。 0 D 【拓展延伸】 A4 (3)如图5，若P是正十边形AA2… A A1o外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2 =180°，则PA1,PA2,PA3三条线段的 数量关系为 。(结果用含有 图5 锐角三角函数的式子表示) 3- 24.（本题满分14分) 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直 线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E, 垂足为点F,连接CD。 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度； ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请 求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明 理由； (3)连接OE,将线段0E绕点0按顺时针方向旋转90° 得到线段OG,连接AG,请直接写出线段AG长度的 最小值。 备用图 24-