2 2023年烟台市初中学业水平考试-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东烟台专版）

— ７— — ８— — ９— 一、选择题（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） １．－ ２ ３ 的倒数是 （　　） 　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　 Ａ． ２ ３ Ｂ．－ ２ ３ Ｃ． ３ ２ Ｄ．－ ３ ２ ２．下列二次根式中，与槡２是同类二次根式的是 （　　） 槡 槡 槡 槡Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１２ ３．下列四个图案中，是中心对称图形的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ４．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ２＋ａ２＝２ａ４ Ｂ．（２ａ２）３＝６ａ６ Ｃ．ａ２·ａ３＝ａ５ Ｄ．ａ８÷ａ２＝ａ４ ５．不等式组 ３ｍ－２≥１， ２－ｍ＞３{ 的解集在同一条数轴上表示正确的是 （　　） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ６．如图，将正方体进行两次切割，得到如图５所示的几何体，则图５几何体的俯视图为 （　　） 图１　　　　　图２　　　　 　图３　　　　　 图４　　　　 图５ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ７．长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大。６月６日是 “全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级 各随机抽取８名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的 折线统计图，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 Ｂ．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 Ｃ．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 Ｄ．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 ８．如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作 弧形成的封闭图形。将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上。若 小球停在阴影部分的概率为Ｐ１，停在空白部分的概率为Ｐ２，则Ｐ１与Ｐ２的大小关系为 （　　） Ａ．Ｐ１＜Ｐ２ Ｂ．Ｐ１＝Ｐ２ Ｃ．Ｐ１＞Ｐ２ Ｄ．无法判断 第８题图 　　　 第９题图 　　　 第１０题图 ９．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点Ａ的坐标为 (－１２，ｍ)，与ｘ轴的一个交点位于０和１之间，则以下 结论：①ａｂｃ＞０；②２ｂ＋ｃ＞０；③若图象经过点（－３，ｙ１），（３，ｙ２），则 ｙ１＞ｙ２；④若关于 ｘ的一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ－３＝０无实数根，则ｍ＜３。其中正确结论的个数是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ １０．如图，在平面直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为１个单位长度，以点Ｐ为位似中心作正 方形ＰＡ１Ａ２Ａ３，正方形ＰＡ４Ａ５Ａ６，……，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 ＰＡ１Ａ２Ａ３的顶点坐标分别为Ｐ（－３，０），Ａ１（－２，１），Ａ２（－１，０），Ａ３（－２，－１），则顶点Ａ１００的坐标为 （　　） Ａ．（３１，３４） Ｂ．（３１，－３４） Ｃ．（３２，３５） Ｄ．（３２，０） 二、填空题（本大题共６个小题，每小题３分，共１８分） １１．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位。目 前，北斗定位服务日均使用量已超过３６００亿次。３６００亿用科学记数法表示为 。 １２．一杆秤在称物时的状态如图所示，已知∠１＝１０２°，则∠２的度数为 。 第１２题图 　 第１３题图 　 第１４题图 １３．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点 Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ，连接ＡＢ，则∠ＢＡＤ的度数为 。 １４．如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： ①２ｎｄＦ 槡　 ６ ４ ＝ 按键的结果为４； ② ４ ＋ （ （－） ２ ） ｙｘ ３ ＝ 按键的结果为８； ③ ｓｉｎ （ ４ ５ － １ ５ ） ＝ 按键的结果为０．５； ④ （ ３ － １ ａｂ／ｃ ２ ） × ２ ｘ２ ＝ 按键的结果为２５。 以上说法正确的序号是 。 １５．如图，在平面直角坐标系中，⊙Ａ与ｘ轴相切于点Ｂ，ＣＢ为⊙Ａ的直径，点Ｃ在函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ＞０，ｘ＞０） 的图象上，Ｄ为ｙ轴上一点，△ＡＣＤ的面积为６，则ｋ的值为 。 第１５题图 　　　　　　 图１ 　　 图２ 第１６题图 １６．如图１，在△ＡＢＣ中，动点Ｐ从点Ａ出发沿折线ＡＢ→ＢＣ→ＣＡ匀速运动至点Ａ后停止。设点Ｐ的运 动路程为ｘ，线段ＡＰ的长度为ｙ，图２是ｙ与ｘ的函数关系的大致图象，其中点Ｆ为曲线ＤＥ的最低 点，则△ＡＢＣ的高ＣＧ的长为 。 三、解答题（本大题共８个小题，共７２分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（６分）先化简，再求值： ａ２－６ａ＋９ ａ－２ ÷(ａ＋２＋５２－ａ)，其中ａ是使不等式 ａ－１ ２≤ １成立的正整数。 １８．（７分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的 一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才。已知Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五所大学设有数学学科拔尖 学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学。某市为 了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的 条形统计图和扇形统计图。 （１）请将条形统计图补充完整； （２）在扇形统计图中，Ｄ所在的扇形的圆心角度数为 ，若该市有１０００名中学生参加本次活 动，则选择Ａ大学的大约有 人； （３）甲、乙两位同学计划从Ａ，Ｂ，Ｃ三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用画树状图法或 列表法求两人恰好选取同一所大学的概率。 　 ２ ２０２３年烟台市初中学业水平考试 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １０— — １１— — １２— １９．（８分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义。某电力部门在一处坡角为 ３０°的坡地新安装了一架风力发电机，如图１。某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的 塔杆高度进行了测量，图２为测量示意图。已知斜坡ＣＤ长１６米，在地面点Ａ处测得风力发电机塔 杆顶端点Ｐ的仰角为４５°，利用无人机在点Ａ的正上方５３米的点Ｂ处测得点Ｐ的俯角为１８°，求该 风力发电机塔杆ＰＤ的高度。（参考数据：ｓｉｎ１８°≈０．３０９，ｃｏｓ１８°≈０．９５１，ｔａｎ１８°≈０．３２５） 图１ 　 图２ ２０．（８分）【问题背景】 如图１，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ＡＢＣＤ进行如下操作：①分别 以点Ｂ，Ｃ为圆心，以大于 １ ２ ＢＣ的长度为半径作弧，两弧相交于点Ｅ，Ｆ，作直线ＥＦ交ＢＣ于点Ｏ，连 接ＡＯ；②将△ＡＢＯ沿ＡＯ翻折，点Ｂ的对应点落在点Ｐ处，作射线ＡＰ交ＣＤ于点Ｑ。 【问题提出】 在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝５，ＡＢ＝３，求线段ＣＱ的长。 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接ＯＱ，如图２。经过推理、计算可求出线段ＣＱ的长； 方案二：将△ＡＢＯ绕点Ｏ旋转１８０°至△ＲＣＯ处，如图３。经过推理、计算可求出线段ＣＱ的长。 请你任选其中一种方案求线段ＣＱ的长。 图１ 　 图２ 　 图３ ２１．（９分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶。《孙子算经》《周髀算经》是我国古代 较为普及的算书，许多问题浅显有趣。某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 ３ ４ ，用６００元 购买《孙子算经》比同样价钱购买《周髀算经》多买５本。 （１）求两种图书的单价分别为多少元？ （２）为筹备“３．１４数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共８０本，且购买的《周髀算经》 数量不少于《孙子算经》数量的一半。由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两 种图书分别购买多少本时费用最少？ ２２．（１０分）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｅ，⊙Ｏ经过 Ａ，Ｄ两点，交对角线 ＡＣ于点 Ｆ，连接ＯＦ交ＡＤ于点Ｇ，且ＡＧ＝ＧＤ。 （１）求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）已知⊙Ｏ的半径与菱形的边长之比为５∶８，求ｔａｎ∠ＡＤＢ的值。 ２３．（１１分）如图，Ｃ为线段ＡＢ上一点，分别以 ＡＣ，ＢＣ为等腰三角形的底边，在 ＡＢ的同侧作等腰三角 形ＡＣＤ和等腰三角形ＢＣＥ，且∠Ａ＝∠ＣＢＥ。在线段ＥＣ上取一点Ｆ，使ＥＦ＝ＡＤ，连接ＢＦ，ＤＥ。 （１）如图１，求证：ＤＥ＝ＢＦ； （２）如图２，若ＡＤ＝２，ＢＦ的延长线恰好经过ＤＥ的中点Ｇ，求ＢＥ的长。 图１ 　 图２ ２４．（１３分）如图１，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋５与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，ＡＢ＝４。抛物线的对称 轴直线ｘ＝３与经过点Ａ的直线ｙ＝ｋｘ－１交于点Ｄ，与ｘ轴交于点Ｅ。 （１）求直线ＡＤ及抛物线的解析式； （２）在抛物线上是否存在点Ｍ，使得△ＡＤＭ是以ＡＤ为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由； （３）如图２，以点Ｂ为圆心，画半径为２的圆，点Ｐ为⊙Ｂ上一个动点，请求出ＰＣ＋ １ ２ ＰＡ的最小值。 图１ 　 图２ ∴ＡＢ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２＝ ( 槡１３２２ ) ２ ＋( 槡１３２２ )槡 ２ ＝１３。 ∴△ＡＢＣ的周长为ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ ＝ＡＢ＋ＡＦ＋ＣＦ＋ＣＰ＋ＢＰ ＝ＡＢ＋ＡＱ＋ＢＱ＋２ＣＦ ＝２ＡＢ＋２ＣＦ ＝２×１３＋２×２＝３０。 ２４．解：（１）设点Ａ，Ｂ的坐标分别为（ｔ，０），（ｔ＋４，０）， 则ｘ＝－１＝ １ ２ （ｔ＋ｔ＋４），解得 ｔ＝－３，即点 Ａ，Ｂ的坐 标分别为（－３，０），（１，０）。 ∵ＯＣ＝ＯＡ，∴点Ｃ（０，３）。 设抛物线ｙ１的表达式为 ｙ１＝ａ（ｘ＋３）（ｘ－１）＝ａ（ｘ ２＋２ｘ－３）。 将点Ｃ的坐标代入，得－３ａ＝３，解得ａ＝－１。 ∴ｙ１＝－ｘ ２－２ｘ＋３。 根据图形的对称性，得ｙ２＝ｘ ２－２ｘ－３。 （２）如图１，作点Ｄ关于ｌ２的对称点Ｄ′（２，－３），将 点Ｆ向右平移２个单位长度至点 Ｆ′，连接 Ｄ′Ｆ′交 直线ｌ２于点Ｎ，∴ＭＮ＝２。 图１ ∵Ｆ′Ｆ∥ＭＮ，ＦＦ′＝ＭＮ，则四边形ＦＦ′ＮＭ为平行四 边形，则ＦＭ＝Ｆ′Ｎ， ∴ＦＭ＋ＭＮ＋ＤＮ的最小值为Ｆ′Ｎ＋ＮＤ′＋ＭＮ＝Ｆ′Ｄ′＋ ２＝ （２＋４）２＋３槡 ２＋２＝槡３５＋２。 （３）由抛物线 ｙ２的表达式，知点 Ｄ（０，－３），点 Ｅ （１，－４）。 由点Ｈ，Ｅ的坐标得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２。 如图２，当点Ｐ在ＢＥ的右侧时， ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，则 ＥＰ和 ＨＥ关于对称轴 ｌ２ 对称， ∴直线ＥＰ的表达式为ｙ＝２（ｘ－１）－４。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式，得 ２（ｘ－１）－４＝ｘ２－２ｘ－３， 解得ｘ＝１（舍去）或３，即点Ｐ（３，０）。 图２　　　　　　　图３ 当点Ｐ在ＢＥ的左侧时，如图３， 设直线ＰＥ交ｙ轴于点Ｎ，过点Ｅ（１，－４）作∠ＰＥＨ 的平分线 ＥＪ交 ＨＮ于点 Ｊ，作 ＨＥ的中垂线 ＪＬ交 ＨＮ于点Ｊ，交ＨＥ于点Ｌ，过点Ｅ作ＥＷ⊥ｙ轴交于 点Ｗ。 ∵∠ＰＥＨ＝２∠ＤＨＥ，∴∠ＪＨＬ＝∠ＪＥＨ＝∠ＰＥＪ。 由点Ｈ，Ｅ的坐标，得直线ＨＥ的表达式为ｙ＝－２ｘ－２， 则点Ｌ（ １ ２ ，－３）。 ∴直线ＪＬ的表达式为ｙ＝ １ ２ （ｘ－ １ ２ ）－３＝ １ ２ ｘ－ １３ ４ ， 点Ｊ（０，－ １３ ４ ）。∴ＨＪ＝ＪＥ＝ ５ ４ 。 ∵∠ＪＥＮ＝∠ＥＨＮ，∠ＥＮＪ＝∠ＨＮＥ， ∴△ＥＮＪ∽△ＨＮＥ。∴ ＪＮ ＥＮ ＝ＥＮ ＨＮ ＝ＥＪ ＨＥ ＝ ５ ４ 槡５ ＝槡５ ４ 。 设ＪＮ＝槡５ｍ，则ＥＮ＝４ｍ。 ∴点Ｎ（０，－ １３ ４ －槡５ｍ）。 在Ｒｔ△ＮＥＷ中，ＮＷ２＋ＷＥ２＝ＮＥ２， 即（－ １３ ４ －槡５ｍ＋４） ２＋１＝１６ｍ２，解得ｍ＝槡 ５５ ４４ 。 ∴点Ｎ（０，－ １６８ ４４ ）。 由点Ｎ，Ｅ的坐标，得直线ＮＥ的表达式为ｙ＝－ ２ １１ ｘ －４２ １１ 。 联立上式和抛物线ｙ２的表达式， 得ｘ２－２ｘ－３＝－ ２ １１ ｘ－ ４２ １１ ，解得ｘ＝ ９ １１ 或ｘ＝１。 ∵当ｘ＝１时，点Ｐ与点Ｅ重合，不符合题意， ∴ｘ＝１舍去，即点Ｐ（ ９ １１ ，－ ４８０ １２１ ）。 综上，点Ｐ的坐标为（３，０）或（ ９ １１ ，－ ４８０ １２１ ）。 ２２０２３年烟台市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ １．Ｄ　【解析】－ ２ ３ 的倒数是－ ３ ２ 。故选Ｄ。 ２．Ｃ　【解析】 槡Ａ．４＝２，和槡２不是同类二次根式，故此 选项不符合题意； 槡Ｂ．６和槡２不是同类二次根式，故 此选项不符合题意； 槡Ｃ．８＝槡２２，和槡２是同类二次根 式，故此选项符合题意； 槡Ｄ． １２＝ 槡２３，和槡２不是同 类二次根式，故此选项不符合题意。故选Ｃ。 ３．Ｂ　【解析】Ａ不是中心对称图形，故此选项不符合 题意；Ｂ是中心对称图形，故此选项符合题意；Ｃ不 是中心对称图形，故此选项不符合题意；Ｄ不是中 心对称图形，故此选项不符合题意。故选Ｂ。                                                                —５— ４．Ｃ　【解析】Ａ．ａ２＋ａ２＝２ａ２，故此选项不符合题意；Ｂ． （２ａ２）３＝８ａ６，故此选项不符合题意；Ｃ．ａ２·ａ３＝ａ５， 故此选项符合题意；Ｄ．ａ８÷ａ２＝ａ６，故此选项不符合 题意。故选Ｃ。 ５．Ａ　【解析】３ｍ －２≥１，① ２－ｍ＞３，②{ 解不等式①，得ｍ≥１。 解不等式②，得ｍ＜－１。故不等式组无解。 在数轴上表示如下， 故选Ａ。 ６．Ａ　【解析】题图５几何体的俯视图如下， 故选Ａ。 ７．Ｄ　【解析】Ａ．甲班视力值的平均数为 １ ８ ×（４．４＋４．６ ＋４．７×４＋４．８＋５．０）＝４．７，乙班视力值的平均数为 １ ８ ×（４．４＋４．５＋４．６＋４．７×２＋４．８＋４．９＋５．０）＝４．７，所以甲班 视力值的平均数等于乙班视力值的平均数。故此 选项说法错误，不符合题意；Ｂ．甲班视力值的中位 数为 ４．７＋４．７ ２ ＝４．７，乙班视力值的中位数为 ４．７＋４．７ ２ ＝４．７，所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的 中位数。故此选项说法错误，不符合题意；Ｃ．甲班 视力值的极差为５．０－４．４＝０．６，乙班视力值的极差 为５．０－４．４＝０．６，所以甲班视力值的极差等于乙班 视力值的极差。故此选项说法错误，不符合题意； Ｄ．甲班视力值的方差为 １ ８ ×［（４．４－４．７）２＋（４．６－ ４．７）２＋４×（４．７－４．７）２＋（４．８－４．７）２＋（５．０－４．７）２］＝ ０．０２５，乙班视力值的方差为 １ ８ ×［（４．４－４．７）２＋（４．５ －４．７）２＋（４．６－４．７）２＋２×（４．７－４．７）２＋（４．８－４．７）２＋ （４．９－４．７）２＋（５．０－４．７）２］＝０．０３５，所以甲班视力值 的方差小于乙班视力值的方差。故此选项说法正 确，符合题意。故选Ｄ。 ８．Ｂ　【解析】如图，令正方形的边长为２ａ， 则空白部分的面积为２× １ ４ ×π·ａ２＋２(ａ２－１４×π·ａ２) ＝１ ２π ａ２＋２ａ２－ １ ２π ａ２＝２ａ２， 所以阴影部分的面积为（２ａ）２－２ａ２＝４ａ２－２ａ２＝２ａ２。 所以小球停在阴影部分的概率 Ｐ１＝小球停在空白 部分的概率Ｐ２。故选Ｂ。 ９．Ｃ　【解析】∵抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点 Ａ的坐标 为 (－１２，ｍ)，∴－ｂ２ａ＝－１２。∴ ｂ２ａ＝１２，ａｂ＞０。 由题图可知，抛物线的开口方向向下， ∴ａ＜０，ｂ＜０。 当ｘ＝０时，ｙ＝ｃ＞０，∴ａｂｃ＞０。故①正确； ∵－ ｂ ２ａ ＝－１ ２ ，∴ｂ＝ａ。 由图象可得当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ＜０， ∴２ｂ＋ｃ＜０。故②错误； 抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ １ ２ ， 设（－３，ｙ１），（３，ｙ２）两点到对称轴的距离分别为ｄ１，ｄ２， 则ｄ１＝ －３－(－１２) ＝５２， ｄ２＝ ３－(－１２) ＝７２，∴ｄ２＞ｄ１。 根据图象可得距离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∴ｙ１＞ｙ２。故③正确； ∵关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ－３＝０无实数根， ∴Δ＝ｂ２－４ａ（ｃ－３）＜０。 ∴ｂ２－４ａｃ＋１２ａ＜０。 ∴ｂ２－４ａｃ＜－１２ａ。∴４ａｃ－ｂ２＞１２ａ。 ∵ｍ＝ ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ，∴ｍ＜３。故④正确。故选Ｃ。 １０．Ａ　【解析】由题意可知点Ａ１的坐标为（－２，１）， 点Ａ４的坐标为（－１，２），点Ａ７的坐标为（０，３）， ∵１＝３×０＋１，４＝３×１＋１，７＝３×２＋１，……，１００＝３× ３３＋１，－２＝０－２，－１＝１－２，０＝２－２，１＝０＋１，２＝１＋１， ３＝２＋１，∴顶点 Ａ１００的坐标为（３３－２，３３＋１），即为 （３１，３４）。故选Ａ。 １１．３．６×１０１１　【解析】３６００亿＝３６００００００００００＝ ３．６×１０１１。 １２．７８°　【解析】如图， 由题意，得ＡＢ∥ＣＤ， ∴∠２＝∠ＢＣＤ。 ∵∠１＝１０２°，∴∠ＢＣＤ＝７８°。∴∠２＝７８°。 １３．５２．５°　【解析】如图，设量角器的圆心是 Ｏ，连接 ＯＤ，ＯＢ。 ∵∠ＢＯＤ＝１３０°－２５°＝１０５°， ∴∠ＢＡＤ＝ １ ２∠ ＢＯＤ＝５２．５°。 １４．①③　【解析】 ２ｎｄＦ 槡　 ６ ４                                                                —６— ＝ 按键的结果为 ３槡６４＝４，故①正确，符合题 意； ４ ＋ （ （－） ２ ） ｙｘ ３ ＝ 按键的结果为４＋（－２）３＝－４， 故②不正确，不符合题意； ｓｉｎ （ ４ ５ － １ ５ ） ＝ 按 键的结果为 ｓｉｎ（４５°－１５°）＝ｓｉｎ３０°＝０．５，故③正 确，符合题意； （ ３ － １ ａｂ／ｃ ２ ） × ２ ｘ２ ＝ 按键的结果为 (３－１２ ) ×２２＝１０，故④不正 确，不符合题意。综上，正确的有①③。 １５．２４　【解析】如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ｙ轴于点Ｅ。 设⊙Ａ的半径为ｒ， ∵⊙Ａ与ｘ轴相切于点Ｂ，∴ＡＣ＝ＡＢ＝ｒ，ＢＣ＝２ｒ。 设ＡＥ＝ａ，则点Ｃ的坐标为（ａ，２ｒ），∴ｋ＝２ａｒ。 ∵Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ ＡＣ·ＡＥ＝６， ∴ １ ２ ·ｒ·ａ＝６，即ａｒ＝１２。∴ｋ＝２ａｒ＝２４。 １６．槡 ７３ ２ 　【解析】如图，过点 Ａ作 ＡＱ⊥ＢＣ于点 Ｑ，当 点Ｐ与点Ｑ重合时，在题图 ２中点Ｆ表示当ＡＢ＋ＢＱ＝１２ 时，点 Ｐ到达点 Ｑ，此时当 点 Ｐ在 ＢＣ上运动时，ＡＰ 最小， ∴ＢＣ＝７，ＢＱ＝４，ＱＣ＝３。 在Ｒｔ△ＡＢＱ中，ＡＢ＝８，ＢＱ＝４， ∴ＡＱ＝ ＡＢ２－ＢＱ槡 ２＝ ８２－４槡 ２＝槡４３。 ∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢ·ＣＧ＝ １ ２ ＡＱ·ＢＣ， ∴ＣＧ＝ ＢＣ·ＡＱ ＡＢ ＝７ ×槡４３ ８ ＝槡７３ ２ 。 １７．解：原式＝ （ａ－３）２ ａ－２ ÷４ －ａ２＋５ ２－ａ ＝（ａ －３）２ ａ－２ · ２－ａ （３－ａ）（３＋ａ） ＝（ａ －３）２ ａ－２ · ａ－２ （ａ－３）（ａ＋３） ＝ａ －３ ａ＋３ 。 ∵ ａ－１ ２≤ １，∴ａ≤３。 ∵ａ是使不等式 ａ－１ ２≤ １成立的正整数，且 ａ－２≠ ０，ａ－３≠０，∴ａ＝１。∴原式＝ １－３ １＋３ ＝－１ ２ 。 １８．解：（１）本次抽取的学生有１４÷２８％＝５０（人）， 其中选择Ｂ的学生有５０－１０－１４－２－８＝１６（人）， 补全条形统计图如图所示。 （２）在扇形统计图中，Ｄ所在的扇形的圆心角度数 为３６０°× ２ ５０ ＝１４．４°， 该市有１０００名中学生参加本次活动，则选择Ａ大 学的学生大约有１０００× １０ ５０ ＝２００（人）。 故答案为１４．４°；２００。 （３）画树状图如下， 由上可得一共有 ９种等可能的结果，其中两人恰 好选取同一所大学的结果有３种， 所以两人恰好选取同一所大学的概率为 ３ ９ ＝１ ３ 。 １９．解：如图，延长ＰＤ交ＡＣ于点Ｆ，延长ＤＰ交ＢＥ于 点Ｇ。 由题意，得 ＰＦ⊥ＡＦ，ＤＧ⊥ＢＥ，ＡＢ＝ＦＧ＝５３米， ＡＦ＝ＢＧ， 设ＡＦ＝ＢＧ＝ｘ米， 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，∠ＤＣＦ＝３０°，ＣＤ＝１６米， ∴ＤＦ＝ １ ２ ＣＤ＝８米。 在Ｒｔ△ＰＡＦ中，∠ＰＡＦ＝４５°， ∴ＰＦ＝ＡＦ＝ｘ米。 在Ｒｔ△ＢＰＧ中，∠ＧＢＰ＝１８°， ∴ＧＰ＝ＢＧ·ｔａｎ１８°≈０．３２５ｘ（米）。 ∴ＦＧ＝ＰＦ＋ＰＧ＝ｘ＋０．３２５ｘ＝１．３２５ｘ（米）。                                                                —７— ∴１．３２５ｘ＝５３，解得ｘ＝４０。∴ＰＦ＝４０米。 ∴ＰＤ＝ＰＦ－ＤＦ＝４０－８＝３２（米）。 ∴该风力发电机塔杆ＰＤ的高度约为３２米。 ２０．解：方案一：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝５。 由作图，知ＯＢ＝ＯＣ＝ １ ２ ＢＣ＝２．５， 由翻折的不变性，知 ＡＰ＝ＡＢ＝３，ＯＰ＝ＯＢ＝２．５， ∠ＡＰＯ＝∠Ｂ＝９０°， ∴ＯＰ＝ＯＣ＝２．５，∠ＱＰＯ＝∠Ｃ＝９０°。 ∵ＯＱ＝ＯＱ，∴Ｒｔ△ＱＰＯ≌Ｒｔ△ＱＣＯ（ＨＬ）。 ∴ＰＱ＝ＣＱ。 设ＰＱ＝ＣＱ＝ｘ，则ＡＱ＝３＋ｘ，ＤＱ＝３－ｘ。 在Ｒｔ△ＡＤＱ中，ＡＤ２＋ＤＱ２＝ＡＱ２， 即５２＋（３－ｘ）２＝（３＋ｘ）２，解得ｘ＝ ２５ １２ ， ∴线段ＣＱ的长为 ２５ １２ 。 方案二：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝５。 由作图，知ＯＢ＝ＯＣ＝ １ ２ ＢＣ＝２．５， 由旋转的不变性，知ＣＲ＝ＡＢ＝３，∠ＢＡＯ＝∠Ｒ，∠Ｂ＝ ∠ＯＣＲ＝９０°， 则∠ＯＣＲ＋∠ＯＣＤ＝９０°＋９０°＝１８０°。 ∴Ｄ，Ｃ，Ｒ三点共线。 由翻折的不变性，知∠ＢＡＯ＝∠ＯＡＱ， ∴∠ＯＡＱ＝∠Ｒ。∴ＱＡ＝ＱＲ。 设ＣＱ＝ｘ，则ＱＡ＝ＱＲ＝３＋ｘ，ＤＱ＝３－ｘ。 在Ｒｔ△ＡＤＱ中，ＡＤ２＋ＤＱ２＝ＡＱ２， 即５２＋（３－ｘ）２＝（３＋ｘ）２，解得ｘ＝ ２５ １２ ， ∴线段ＣＱ的长为 ２５ １２ 。 ２１．解：（１）设《周髀算经》的单价为 ｘ元，则《孙子算 经》的单价为 ３ ４ ｘ元。 根据题意，得 ６００ ３ ４ ｘ －６００ ｘ ＝５，解得ｘ＝４０。 经检验，ｘ＝４０是所列方程的解，且符合题意。 ∴ ３ ４ ｘ＝ ３ ４ ×４０＝３０。 答：《孙子算经》的单价为３０元，《周髀算经》的单 价为４０元。 （２）设购买 ｍ本《孙子算经》，则购买（８０－ｍ）本 《周髀算经》。 根据题意，得８０－ｍ≥ １ ２ ｍ，解得ｍ≤ １６０ ３ 。 设购买这两种图书共花费ｗ元， 则ｗ＝３０×０．８ｍ＋４０×０．８（８０－ｍ）＝－８ｍ＋２５６０， ∵－８＜０，∴ｗ随ｍ的增大而减小。 ∵ｍ≤ １６０ ３ ，且ｍ为正整数， ∴当ｍ＝５３时，ｗ取得最小值，此时８０－ｍ＝８０－５３＝２７。 答：当购买 ５３本《孙子算经》，２７本《周髀算经》 时，总费用最少。 ２２．（１）证明：如图，连接ＯＡ，则ＯＦ＝ＯＡ， ∴∠ＯＡＦ＝∠ＯＦＡ。 ∵ＡＧ＝ＧＤ，∴ＯＦ⊥ＡＤ。∴∠ＡＧＦ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ⊥ＢＤ。 ∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ。 ∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＦ＋∠ＢＡＥ＝∠ＯＦＡ＋∠ＤＡＥ＝９０°。 ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径，且ＡＢ⊥ＯＡ， ∴ＡＢ是⊙Ｏ的切线。 （２）解：∵ ＯＡ ＡＤ ＝５ ８ ，ＡＤ＝２ＡＧ， ∴ ＯＡ ２ＡＧ ＝５ ８ 。∴ ＯＡ ＡＧ ＝５ ４ 。 设ＡＧ＝４ｍ，则ＯＡ＝５ｍ，∴ＯＦ＝ＯＡ＝５ｍ。 ∵∠ＡＧＯ＝９０°， ∴ＯＧ＝ ＯＡ２－ＡＧ槡 ２＝ （５ｍ）２－（４ｍ）槡 ２＝３ｍ。 ∴ＦＧ＝ＯＦ－ＯＧ＝５ｍ－３ｍ＝２ｍ。 ∵∠ＡＥＤ＝∠ＡＧＦ＝９０°， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＦＧ＝９０°－∠ＤＡＥ。 ∴ｔａｎ∠ＡＤＢ＝ｔａｎ∠ＡＦＧ＝ ＡＧ ＦＧ ＝４ｍ ２ｍ ＝２。 ２３．（１）证明：∵△ＡＣＤ，△ＢＣＥ分别是以 ＡＣ，ＢＣ为底 边的等腰三角形， ∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ，∠ＥＣＢ＝∠ＣＢＥ，ＣＥ＝ＢＥ，ＡＤ＝ＣＤ。 ∵∠Ａ＝∠ＣＢＥ， ∴∠Ａ＝∠ＥＣＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＣＥＢ。 ∴ＡＤ∥ＣＥ。∴∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＥ。 ∴∠ＤＣＥ＝∠ＣＥＢ。 ∵ＥＦ＝ＡＤ＝ＣＤ，ＣＥ＝ＢＥ， ∴△ＤＣＥ≌△ＦＥＢ（ＳＡＳ）。∴ＤＥ＝ＢＦ。 （２）解：∵∠Ａ＝∠ＤＣＡ，∠ＥＣＢ＝∠ＣＢＥ， ∠Ａ＝∠ＣＢＥ， ∴∠ＤＣＡ＝∠ＣＢＥ，∠Ａ＝∠ＥＣＢ。∴ＤＣ∥ＢＥ。 如图，作ＧＨ∥ＣＤ，交ＣＥ于点Ｈ。 ∵ＤＧ＝ＥＧ，ＧＨ∥ＣＤ，∴ＣＨ＝ＥＨ。 ∵ＡＤ＝２，ＡＤ＝ＣＤ，∴ＣＤ＝２。∴ＧＨ＝ １ ２ ＣＤ＝１。 设ＣＥ＝ＢＥ＝ｍ，则ＥＨ＝ １ ２ ｍ。                                                                —８— ∵ＥＦ＝ＡＤ＝２，∴ＦＨ＝ １ ２ ｍ－２。 ∵ＧＨ∥ＣＤ∥ＢＥ，∴△ＧＨＦ∽△ＢＥＦ。 ∴ ＧＨ ＢＥ ＝ＨＦ ＥＦ ，即 １ ｍ ＝ １ ２ ｍ－２ ２ ， 解得ｍ＝２＋槡２２或ｍ＝２－槡２２（舍去）。 ∴ＢＥ的长为２＋槡２２。 ２４．解：（１）∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝３，ＡＢ＝４， ∴Ａ（１，０），Ｂ（５，０）。 将Ａ（１，０）代入ｙ＝ｋｘ－１，得ｋ－１＝０，解得ｋ＝１， ∴直线ＡＤ的解析式为ｙ＝ｘ－１。 将Ａ（１，０），Ｂ（５，０）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋５， 得 ａ＋ｂ＋５＝０， ２５ａ＋５ｂ＋５＝０，{ 解得 ａ＝１，ｂ＝－６，{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５。 （２）存在。∵直线ＡＤ的解析式为 ｙ＝ｘ－１，抛物线 的对称轴与ｘ轴交于点Ｅ， ∴当ｘ＝３时，ｙ＝ｘ－１＝２。∴Ｄ（３，２）。 ①当∠ＤＡＭ＝９０°时， 设直线ＡＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋ｃ， 将点Ａ的坐标代入，得－１＋ｃ＝０，解得ｃ＝１， ∴直线ＡＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋１。 解方程组 ｙ＝－ｘ＋１， ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５，{ 得 ｘ＝１， ｙ＝０{ （舍去）或 ｘ＝４，ｙ＝－３，{ ∴点Ｍ的坐标为（４，－３）； ②当∠ＡＤＭ＝９０°时， 设直线ＤＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋ｄ， 将Ｄ（３，２）代入，得－３＋ｄ＝２，解得ｄ＝５， ∴直线ＤＭ的解析式为ｙ＝－ｘ＋５。 解方程组 ｙ＝－ｘ＋５， ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５，{ 得 ｘ＝０，ｙ＝５{ 或 ｘ＝５，ｙ＝０，{ ∴点Ｍ的坐标为（０，５）或（５，０）。 综上，点Ｍ的坐标为（４，－３）或（０，５）或（５，０）。 （３）如图，在ＡＢ上取点Ｆ，使ＢＦ＝１，连接ＣＦ，ＰＦ，ＢＰ。 ∵ＰＢ＝２，∴ ＢＦ ＰＢ ＝１ ２ 。 ∵ ＰＢ ＡＢ ＝２ ４ ＝１ ２ ，∴ ＢＦ ＰＢ ＝ＰＢ ＡＢ 。 ∵∠ＰＢＦ＝∠ＡＢＰ，∴△ＰＢＦ∽△ＡＢＰ。 ∴ ＰＦ ＡＰ ＝ＢＦ ＢＰ ＝１ ２ ，即ＰＦ＝ １ ２ ＡＰ。 ∴ＰＣ＋ １ ２ ＡＰ＝ＰＣ＋ＰＦ≥ＣＦ。 ∴当点Ｃ，Ｐ，Ｆ三点共线时，ＰＣ＋ １ ２ ＰＡ的值最小， 即为线段ＣＦ的长。 ∵ＯＣ＝５，ＯＦ＝ＯＢ－１＝５－１＝４， ∴ＣＦ＝ ＯＣ２＋ＯＦ槡 ２＝ ５２＋４槡 ２＝槡４１。 ∴ＰＣ＋ １ ２ ＰＡ的最小值为槡４１。 ３２０２２年烟台市初中学业水平考试 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ １．Ｂ　【解析】∵－８是负数，－８的相反数是８，∴－８的 绝对值是８。故选Ｂ。 ２．Ａ　【解析】Ａ既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故本选项符合题意；Ｂ不是轴对称图形，也不是中 心对称图形，故本选项不符合题意；Ｃ不是轴对称 图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； Ｄ不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不 符合题意。故选Ａ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ．２ａ＋ａ＝３ａ，故本选项不符合题意； Ｂ．ａ３·ａ２＝ａ５，故本选项不符合题意；Ｃ．ａ５与 ａ３不能 合并，故本选项不符合题意；Ｄ．ａ３÷ａ２＝ａ，故本选项 符合题意。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】从左边看，可得如下图形。故选Ａ。 ５．Ｃ　【解析】∵一个正多边形每个内角与它相邻外角 的度数比为３∶１，∴设这个外角是 ｘ，则内角是 ３ｘ。 根据题意，得ｘ＋３ｘ＝１８０°，解得ｘ＝４５°。３６０°÷４５°＝ ８。故选Ｃ。 ６．Ｂ　【解析】把Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，画树状图 如下图。共有６种等可能的结果，其中同时闭合两 个开关能形成闭合电路的结果有４种，即 ＡＢ，ＡＣ， ＢＡ，ＣＡ，所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的 概率为 ４ ６ ＝２ ３ 。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】如图，由题意，得 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ＋∠ＣＢＥ＝４０°＋ ３５°＝７５°，ＡＤ∥ＢＥ，ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝７５°。 ∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠Ｃ＝３０°。 ∵ＡＤ∥ＢＥ， ∴∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＥ＝４０°。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＣ＝７０°。                                                                —９—