1 山东省2025年初中学业水平考试-2026年山东中考数学必备试题汇编

参考答案及解析 (部分答案不唯一) ①山东省2025年初中学业水平考试 .图中阴影部分的面积是T·(22)2-云·2=4π。 济宁市、泰安市、临沂市、菏泽市、枣庄市、日照市、聊城市 9.A【解析】四边形OABC是面积为4的正方形，设点 1.A【解析】数轴上表示-2的，点是M B的坐标为(b,b), 2.B【解析】A,C,D中的图形是轴对称图形，不是中心 ∴.b2=4,解得b=2(已舍去负值)。 对称图形，故A,C,D不符合题意；B图形既是轴对称图 .点B的坐标为(2,2)。 形又是中心对称图形，符合题意。 3.C【解析】从正面看，是一行三个相邻的矩形。 :函数y=k(x>0)的图象经过，点B, 4.C 【解析】9亿=900000000=9×103。 .满足y≥2的x的取值范围为0<x≤2。 5.B 【解析】 10.B【解析】A.当x≥1000时，y随x的增大先增大，后 选项 分析 正误 减小，故A选项错误，不符合题意： N -2a+3a=a B.:抛物线过，点(1000,0.6)，(3000,0.6)， 2 (-2a3)2=4a° :抛物线的对称轴为直线x=1000+3000=200。 2 0 a2与a不是同类项，无法合并。 .抛物线的开口向下， 0 a÷a2=a .x=2000时，y有最大值。 故B选项正确，符合题意； 6.A【解析】把以镇馆之宝“亚醜钱”“蛋壳黑陶杯”“颂 C.由图象，得当y=0.6时，x1=1000,x2=3000, 篮”为主题的三款文创产品分别记为A,B,C,列表如下： ,当y≥0.6时，1000≤x≤3000 A B C 故C选项错误，不符合题意： A (A,A) (B,A) (C,A) D.由图象，得当y=0.4时，x对应的值有2个，故D选 B (A,B) (B,B)(C,B) 项错误，不符合题意。 C (A,C)(B,C)(C,C) 山.2（答案不唯一）【解析】若分式2x3有意义，则 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时抽到 “亚腕钱”的结果有1种， 2x-30,那么x≠1.5，当x=2时，分式23有 ·甲、乙两位同学同时抽到“亚魏钺”的概率是】 意义。 12.(3,2)【解析】由题知，将点P(3,4)向下平移2个单 孕巧点拨 位长度后，所得点P的坐标是(3,2)。 关键点 13.m>-4【解析】关于x的一元二次方程x2+4x- 概率和频率是两个概念，本题应该根据所有的可能 m=0有两个不相等的实数根， 性来计算同时抽到“亚醜钺”的概率来解决问题。 .4>0,即4=42+4m>0,解得m>-4。 7.D【解析】根据题意，得3r+y=36, 善总结 l6x+8y=108。 0识归纳 一元二次方程根的情况的判断方法及应用判别式 会审题。 的几种情况： 题千：…有3个头6只手的哪吃①若干，有1个头 1.一元二次方程根的情况的判断方法。 8只手的夜叉②若千，…，共有36个头，108只 (1)当4>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 手③ 个不相等的实数根； 提取信息：①哪吃有x个，头有3x个，手有6x只。 (2)当△=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 ②夜叉有y个，头有y个，手有8y只。 个相等的实数根； 8f3x+y=36, (3)当△<0时，方程aax2+bx+c=0(a≠0)无实 16x+8y=108 数根。 8.D【解析】如图，标注A,B,C,D,连 2.应用判别式的几种情况。 接AB,CD相交于O, (1)判断一个一元二次方程根的情况： :正方形的内切圆的半径是2， (2)根据一个含参数的一元二次方程根的情况确 ∴.AC=BC=4,OA=OB 定参数的值或取值范围。 AB=√/AC+BC2=√42+4=42， 14.(1,-1)【解析】已知A,(1,-1),过点A1作x轴的 01=0B=2AB=22。 垂线，交y=于点4， 作x轴垂线时，横坐标不变，∴A2的横坐标x2=1。 由作图过程可知，MN是CDA 起=1代入y=得⅓=片=1， 1 的垂直平分线： .FC=FD. ∴.A2(1,1)。 .△CDF是等边三角形 过点A2作y轴的垂线，交y=-x于点A3, ∴.FC=FD=CD=AD 作y轴垂线时，纵坐标不变，.A的纵坐标为y=1。 AB=3,∠BAD=30°， 把y=1代入y=-x,得1=-x,即x=-1, .A3(-1,1)。 AD=-AB3 c0s30°= -25。 3 过点A,作x轴的垂线，交y=上于点A, 2 .DF=AD-23。 作x轴垂线时，横坐标不变，A的横坐标4=-1。 18.解：(1)y=6x+5, 起=-1代入y=得=-1 ∴.蓄水池的水位高度y与注水时间x之间的关系式为 y=6.x+5。 .A(-1,-1)。 (2)根据题意，得0.4(6x+5)×0.3=4.2,解得x=5。 过点A4作y轴的垂线，交y=-x于点A, 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时。 作y轴垂线时，纵坐标不变，.A5的纵坐标少=-1。 19.解：(1)由题意，得a=24-4-2-9-2=7 把y=-1代入y=-x,得-1=-x,即x=1, 补全频数分布直方图如下， .A(1,-1)。 乙基地水体pH值数据的频数分布直方图 ∴.观察可得，每4个点为一个循环周期。 频数 .2025÷4=506…1。.A225坐标与A1相同。 .A22s的坐标为(1，-1)。 2 15.4.8【解析】如图，设PQ,AB的交点为M,过M作 MN⊥AP于N, ∴，∠ANM=∠ABC=90 ∠MAN=∠CAB, .△AMN∽△ACB。Q 0 .MN:BC=AM:AC。 M 7.007.307.607.908.208.50pH值 ∠ABC=90°，AB=6,BC=8, (2)7.677.79【解析】在甲基地水体的pH值数据 .AC=√AB2+BC=10 中7.67出现的次数最多，故众数b=7.67;把乙基地 水体的H值数据从小到大排列，排在中间的两个数 四边形PAQB是平行四边形， .AW-=3.PQ-2PM 分别是7.77,7.81，故中位教c-7.77十7.81=7.79。 (3)甲基地水体的pH值更稳定，理由： .MW:8=3:10。.MW=2.4。 因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH .PM≥MN,∴.PO≥2MN=4.8。 值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定 .PQ的最小值是4.8。 (4)甲基地水体的pH值的极差为 16解：)原式=了×3+1 8.26-7.27=0.99<1. 乙基地水体的pH值的极差为8.21-7.11=1.1>1， =1+1 所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合 =2. 要求。 （2)原武=(x+1)x-10(中+ 善总结 0识归纳 =(x+1)(x-1).x+2 x+1 统计中“三数一差”的计算方法 =(x-1)(x+2) 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序 =x2+X-2 排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置 当x=2时，原式=4+2-2=4。 的数为这组数据的中位数，如果这组数据的个数是 17.解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 偶数，则中间位置的两个数据的平均数为这组数据 ∠ACB=30°，∴.∠BAC=60°。 的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数； :∠BAC的平分线AD交BC于点D, 算术平均数的计算公式为无=(x++.…+ ∴.∠BAD=∠CAD=30°。 x),加权平均数的计算公式为x= .∠ADC=180°-30°-30°=120°。 (2)由(1)知，∠ACD=∠CAD=30° f+6+…+,上：方差为子=[( f+f左+…+fn ∴.AD=CD,∠ADB=60°。.∠CDF=60 x)2+…+(xn-x)2]。 如图，连接CF, 20.(1)证明：.AD⊥OB于点D,.∠ADB=90°。 ·AC是∠BAD的平分线，∴.∠DAC=∠BAC。 =3(2-2a+6)(生)+6 .OA=OC,.∴.∠OAC=∠OCA。 =3×(a+b)2 -(a+b)2+ab 4 ∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC, ∠OCA=∠B+∠BAC, =-(a+b)2 4 +ab ∴.∠OAD+∠BAC=∠B+∠BACO .∠OAD=∠B。 .∴.∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°。 :OA是⊙0的半径，且AB⊥OA, + ∴.AB为⊙O的切线。 (2)解：·∠0AB=90°，∠A0B=45°， =-子公-26+8) ∴，∠B=∠A0B=45°。.AB=0A。 、1 -4(a-b)2。 ⊙0的半径为2，.AB=0A=0C=2。 .OB=√AB2+OA=22。 y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=62-abe y+my2+y3=0, ∴.CB=OB-0C=2√2-2。 .CB的长是2√2-2。 六G2-b+m-子a-b门+-ab=0. 21.解：(1)⊙0分别与AC,AD相切于点B,D, 整理，得(a-b)2(1-4m)=0。 AB=A0,∠BM0=∠DA0=之∠CMD=30。 :a,b为两个不相等的实数， (2)·钢柱的底面圆半径为1cm,∴.BC=OB=1。 ..a-b≠0。 ∠OAB=30°，∠OBA=90°， ·AB=OB 1-女n=0,解得m=4。 =am300=3。AC=BC+AB=1+5。 23.解：(1)：∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°， 同理，得A'C'=1+3。 .AD∥BC。∴.∠ADB=∠DBC。 .1=7.52-2(1+3)≈2.06. ÷△ADB∽△DBC。BD-CD AD AB 1.9<2.06<2.1,.该部件l的长度符合要求。 ∠BAD=90°，AD=2,AB=4, (3)能，将圆柱换成正方体。 22.解：(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)+(x- .BD=√22+4=25。 a)(x-b)+x(x-b)可化为y=x(x-0)+(x-0)(x- 2 25CDCD=45。 4 3)+x(x-3)=3x2-6x, “此函数图象的对称轴为直线x=2女=1。 (2)①四边形DBA'F是矩形，理由如下， 由折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD', (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x- .·∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°， b)+x(x-b)可化为y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+ ∴.∠A'BD=∠A'BD'+∠DBC=90°。 x(x-2a）=3x2-6ax+2a2。 四边形DBA'F是矩形。 -6a 一抛物线对称轴为直线r=一2X3=0。 ②如图1，延长AD和A'D'相交于点Q,连接BQ, 3>0.抛物线开口方向向上。 在0≤x≤1时，y随x的增大而减小， .a≥1。 在3≤x≤4时，y随x的增大而增大， B ∴.a≤3。.1≤a≤3。 (3)若点A(a,),B(主，)，C(6,为)均在该函数 图1 由折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD', 的图象上， ∠EBD=∠EBD', ..y1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b) :点A'恰好落在边BC上， =a2-ab, ,AB=A'B=4,∠ABA'=90°。 y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b) ..四边形ABA'Q是正方形。 =3x2-2(a+b)x+abo ∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD'= 2×90°=450， 1 ②济南市2025年九年级学业水平考试 1.D【解析】3和2是正数，0既不是正数也不是负数， .点E在对角线BQ上。 -1是负数。 ∴.DQ=AQ-AD=2。 2.B【解析】题图是由几个大小相同的小立方块搭成的 BC=BD2+CD2=√/(25)2+(45)2=10 四边形ABA'Q是正方形，.AQ∥CB。 几何体，其主视图是 .DE_DQ_2-1 △DQE∽△CBE。·CE=BC=10=5 3.C【解析】96110=9.611×10°。 45-DB5。DE=25 DE 1 4.B【解析】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此 3 选项错误；B是轴对称图形，也是中心对称图形，故此 (3)由折叠的性质，得∠EBD=∠EBD',BD=BD' 选项正确；C不是轴对称图形，是中心对称图形，故此 ∴.BE是线段DD'的垂直平分线。 选项错误；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此 ∴.∠BPD=90°。∴点P在以BD为直径的⊙0上。 选项错误。 如图2，连接OC,OP, 5.A 【解析】 选项 分析 正误 m2.m=m V B m°÷m2=m C 2m与3n不是同类项，不能合并 D (m2)3=m 图2 6.D 【解析】 ∴，CP≥OC-OP,即点P在OC上时，线段CP存在最 选项 分析 正误 小值。 0C=/0D2+CD=√(5)2+(45)2=√85， A a>b,则a-1>b-1 .线段CP的最小值为√85-5。 B 贤> a>b,则 令善总结 C a>b,则-a<-b 解题技巧 0 a>b,则a+a>a+b,即2a>a+b 解决折叠问题的一般思考过程 图形折叠的本质是轴对称，解决折叠问题的关 7.C 【解析】如图，分别过，点D,E作DF⊥AC,EH⊥AC 键是寻找图形中相等的线段、角。解决此类问题的 一般思考过程如下： 1.利用轴对称的性质找到折叠前后的不变量与 变量。 2.根据题目中已知角、线段之间的关系，结合三角 .·正方形网格中小正方形的边长为1， 形的内角和定理、三角形的内角与外角的关系， .AF=6,DF=4,BH=3,EH=2,∠AFD=∠BHE=90° 把待求解的线段或角转移到相应的直角三角形、 等腰三角形等特殊三角形中进一步求解。如题 在Rt△ADF中，lan∠DAC= 目让求某个角的三角函数值，常用的方法是构造 直角三角形或在已知直角三角形中找到相等角， 在△E中，m∠器号r号， 进而进行求解。 ∴.tan∠DAC=tan∠EBA,即∠DAC=∠EBC 3.若简单的等量关系不能直接解决问题，则思考能 又：∠DAC和∠EBA都是锐角， 否在构造出来的三角形中运用勾股定理、锐角三 ∴.∠DAC=∠EBA≠30°。 角函数、三角形的全等或相似等知识建立有关线 ∴.∠DAC+∠EBA≠60°。 段、角之间的联系。 故选项A,B错误，选项C正确，选项D错误。 4.解答折叠问题中的计算问题，有时还需要将折叠 8.A【解析】画树状图如下。 图还原，而后利用折叠前后对应三角形、线段、角 开始 的关系以及相似三角形的性质、勾股定理等进行 小明 下一步的计算。 小亮ABCD ABCD ABCI①山东省2025年初中学业水平考试 线，交y=-x于点A(x,y3);如此循环进行下去。按 照上面的操作，若点A,的坐标为(1，-1)，则点A22s的 济宁市、泰安市、临沂市、菏泽市、枣庄市、日照市、聊城市 坐标是 (时间：120分钟总分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题8.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经 只有一个选项符合题目要求) 常被视为君子修身齐家的象征。如图是某玉璧的平面 1.如图，数轴上表示-2的点是 示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成。已知 Q 内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是() A.TT B.2m C.3m D.4T 2 Y=-x B -3 -2 -1 0 D.Q 第14题图 第15题图 A.M B.N C.P 15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8。点 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 P为边AC上异于A的一点，以PA,PB为邻边作 口PAQB,则线段PQ的最小值是 三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 第8题图 第9题图 3.我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个9.如图，在平面直角坐标系中，A,C两点在坐标轴上，四 16.（8分)(1)计算：1-3×5+m: 正六棱柱，其示意图的主视图是 边形01BC是面积为4的正方形。若函数y=年(x> 0)的图象经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为 () 正面 A.0<x≤2B.x≥2C.0<x≤4D.x≥4 A B. C. 10.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速 度y(单位：厘米/天)和光照强度x(单位：勒克斯)之 4.好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山 间存在一定关系。在低光照强度范围(200≤x< 川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年 1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强 全年接待游客超9亿人次。数据“9亿”用科学记数法表 度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系。 示为 ( 其部分图象如图所示。根据图象，下列结论正确的是 A.9×107B.0.9×108C.9×108D.0.9×10° () 5.已知a≠0，则下列运算正确的是 3 A.-2a+3a=5a B.(-2a3)2=4a6 0.6 C.a--a=a D.a6÷a2=a3 （2)先化简，再求值：(-)(++1)，其中x=2。 0.3 6.某班学生到山东省博物馆参加研学活动。博物馆为同学 们准备了以镇馆之宝“亚醜(chu)钺(yuè)”“蛋壳黑陶 02001000 杯”“颂簋(gu)”为主题的三款文创产品，每位同学可从 3000元 中随机抽取一个作为纪念品。若抽到每一款的可能性相 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是( B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 9 C.3 D.当y=0.4时，x=600 7.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个 山写出俊分式3有意义的x的一个值 头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只 12.在平面直角坐标系中，将点P(3,4)向下平移2个单 手。问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y 位长度，得到的对应点P'的坐标是 17.(8分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°， 个，则根据条件所列方程组为 () 13.若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个不相 ∠BAC的平分线AD交BC于点D,如图1。 A.+3y=36, B.E+3y=36, 等的实数根，则实数m的取值范围是 (1)求∠ADC的度数； 8x+6y=108 6x+8y=108 D./3x+y=36, 14.取直线y=-x上一点A,(x1,y1),①过点A,作x轴的 (2)已知AB=3,分别以点C,D为圆心，以大于)CD的 C. 「3x+y=36, l8x+6y=108 6x+8y=108 垂线，交y=于点4，()；2过点4作y轴的垂 长为半径作弧，两弧相交于点M,N,作直线MN交BC 于点E,交AD的延长线于点F。如图2，求DF的长。 D E 米W F 图1 图2 18.(8分)山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条 “以储调绿”的能源转型路径。某地结合实际情况，建 立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、 高峰释能，助力能源转型。 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位 高度每小时上升6米。 (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(单 位：米)与注水时间x(单位：小时)之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的 水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2 万千瓦时。 19.(10分)在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组 对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测， 并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描 述及分析。 【收集数据】 甲基地水体的pH值数据： 7.27,7.28,7.34,7.35,7.36,7.51,7.53,7.67,7.67, 7.67,7.67,7.81,7.81,7.88,7.91,8.01,8.02,8.03, 8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26。 乙基地水体的pH值数据： 7.11,7.12,7.14,7.25,7.36,7.52,7.63,7.67,7.69 7.75,7.77,7.77,7.81,7.84,7.89,8.01,8.12,8.13, 8.14,8.16,8.17,8.18,8.20,8.21。 【整理数据】 7.00≤x<7.307.30≤x<7.607.60≤x<7.90 甲 2 5 7 乙 4 2 9 7.90≤x<8.208.20≤x≤8.50 甲 3 乙 2 【描述数据】 乙基地水体p值数据的频数分布直方图 频数 9 9 4 0L/ 7.007.307.607.908.208.50pH值 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 d 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图： (2)填空：b= ,C= (3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明 理由； (4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值 与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断并说明该日两 基地的pH值是否符合要求。 20.(10分)如图，在△OAB中，点A在⊙0上，边OB交 【问题解决】 ⊙O于点C,AD⊥OB于点D。AC是∠BAD的平 已知∠CAD=∠C'A'D'=60°，l的长度要求是1.9cm一 分线。 2.1cm。 (1)求证：AB为⊙0的切线； (1)求∠BA0的度数； (2)若⊙0的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长。 (2)已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得y=7.52cm。 根据以上信息，通过计算说明该部件（的长度是否符合 要求。（参考数据：3≈1.73）》 【结果反思】 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为 可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能， 写出一个；如果不能，说明理由。 21.(9分)【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行 星伴飞取样探测的新篇章。某校航天兴趣小组受到 鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D 打印完成，如图1。 22.(11分)已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+ 【问题提出】 x(x-b),其中a,b为两个不相等的实数。 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量， (1)当a=0,b=3时，求此函数图象的对称轴； 需要设计一个可以得到1的长度的方案，以检测该部 (2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大 件中1的长度是否符合要求。 而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取 值范围； (3)若点4(a,).B(士，c(6,5)均在该函数的 图象上，是否存在常数m,使得y1+my2+y3=0？若存 正面 图1 图2 在，求出m的值；若不存在，说明理由。 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法。 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱 (圆柱)。 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位 置，使得钢柱与部件紧密贴合。示意图如图4，⊙0分 别与AC,AD相切于点B,D。用游标卡尺测量出CC 的长度yo 图3 图4 23.(11分)【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC= ∠BDC=90°，AD=2,AB=4。 (1)求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究。 在线段CD上取一点E,连接BE。将四边形ABED沿 BE翻折得到四边形A'BED',其中A',D'分别是A,D的 对应点。 (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D'恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F, 如图2。判断四边形DBA'F的形状，并说明理由； ②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3。求DE的长； (3)如图4，连接DD'交BE于点P,连接CP。当点E在 线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在， 直接写出；若不存在，说明理由。 A! B B晒 图1 图2 图3 图4 4-