宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高三下学期第二次模拟数学试卷

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题 卷 ( 银川一中第二次模拟考试 ) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．若复数，则在复平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为 A． B． C． D． 5、掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则 A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 6．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的 取值范围是 A． B． C． D． 7．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为 A． B． C． D． 8．已知，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，， 则下列说法正确的是 A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 10．下列关于函数的说法正确的是 A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 11．已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是 A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．的内心满足 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．的展开式中的系数为________． 13．在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 14．如图，正方形的边长为，以点为顶点，引出放射角为的 阴影部分区域，其中，记四边形的面积为 ，则的取值范围为___________. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(13分) 已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 16．(15分) 我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命 的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多 的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的 年广告费（单位：百万元）和年销售量（单 位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：.现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲､乙两人近期在省购买一辆该新能源汽车的概率分别为，其中，每人最多购买一辆.求该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值的取值范围. 参考数据：. 相关系数. 17．(15分) 已知椭圆的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若点，且点关于轴的对称点在直线上，求直线的方程． 18．(17分) 已知ABC为等腰直角三角形，，点E满足，点D，B在直线AC异侧.将绕直线AC向上旋转至，点F为BC的中点. (1)证明:； (2)若，点G在三棱锥的表面上 恒有，试求G的轨迹长度； (3)在绕直线AC旋转至 的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平 面SEB夹角的余弦值的取值范围. 19．(17分) 已知，直线与曲线和都相切． (1)求的值； (2)若，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第二次模拟数学答案 1．【答案】D 【分析】先求出集合，再根据交集的定义运算即可. 【详解】由，解得，因为，所以. 因为，所以. 2．【答案】C 【详解】复数，则， 所以在复平面上对应的点位于第三象限. 3．【答案】A 【详解】因l是一条直线，，为两个不同平面，， 当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得， 又，所以，又，所以，故充分性成立； 当时，当且时符合，但推不出，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件． 4．【答案】B 【详解】设点，将其代入抛物线方程可得，解得， 易知抛物线的准线方程为， 故点到焦点的距离为. 5、【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 6．【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 7．【答案】A 【详解】依题意，，消去，得. 8．【答案】C 【分析】对于ABD可通过反例判断，对于C，由条件得到，进而得到，由及对数函数的单调性，即可判断. 【详解】若，因式分解得： ， 取，则，即，A错误， 若，取，则，B错误， 若，则，即， 因此： ， 又，，故 所以可得，C正确， 若，得，因此， 取，则，满足条件，此时，D错误. 9．【答案】AC 【分析】利用等比数列性质求得，然后结合求得，再求出公比后可得通项公式及前项和，然后判断各选项． 【详解】选项A，由等比数列性质得，由，解得或， 若，则，不合题意， 若，则，满足题意，A正确； 选项B，由选项A得，， 等比数列的通项公式应为形式，因此不是等比数列，B错； 选项C，由选项B得，，C正确； 选项D，由上知，， ，所以数列是公差为的等差数列，D错． 10．【答案】AD 【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D. 【详解】对于A，，为奇函数，故A正确. 对于B，， ， ，不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C， ，，不是的周期，故C错误， 对于D，， 令，即，解得或， 当时，，， 当时，，，故函数极值为. 的值域为，故D正确. 11．【答案】ACD 【分析】选项A，焦三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项C，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论.选项D，利用选项C的逆命题，验证内心满足该命题的条件，即可得到等式. 【详解】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积， 得 ，即， 又因为，所以，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，代入 ，得 ，B错误； 对于选项C：，设 ，满足 ， 设，，则 ， 代入 ，化简得 。 设，同理得 ，且 ，故 ，C正确； 对于选项D：首先考虑选项C的逆命题即若点在第一象限且满足 ，则点在双曲线上. 下面证明这个命题，设，则， 化简得，所以点在双曲线上，该命题成立. 又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以， 根据上述命题，在双曲线上，所以，所以. 12. 【答案】32 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】展开的通项公式为，, 取，则的展开式中的系数是． 13．【答案】 【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可. 【详解】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 故答案为： 14、【答案】. 【分析】作出辅助线，表达出，利用正弦定理表达出，从而得到，构造，，利用辅助角公式求出，从而求出的取值范围. 【详解】连接，则，， 由勾股定理得：， 因为，所以， 在中，，故 在中，， 由正弦定理得：， 即， 故， 故 ， 令，， 则， 当时，，故， 所以. 故答案为：. 15、【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【详解】（1）由，得，而，则，.................2分 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则，.............5分 所以的解析式为...............................................................................6分 （2）由（1）得，，而，解得，........................8分 由，解得， ........................10分 由余弦定理得， ........................12分 由正弦定理，得． ........................13分 16．【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)元 【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）根据已知得该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值为，结合二次函数的性质求范围. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ....................3分 ， ..... ..................6分 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. ........................7分 （2）由题意，甲乙买车的总数量可能值为， .......................8分 ， .......................9分 ， .......................10分 ， .......................11分 该省对甲､乙两人买车数量期望值为， ....12分 所以两人补贴总金额期望值为，， .......................13分 由在上单调递增，则， .......................14分 所以. .......................15分 17．【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知及椭圆参数关系列方程，解出即可求解； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据题设可得，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 故椭圆方程为. .......................5分 （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时点关于轴的对称点即为点，显然满足题意； .......................6分 当直线斜率存在时，设直线的方程为，点，点， .......................7分 联立，整理得， 则， .......................8分 而直线的斜率为，直线的斜率为， .......................10分 由题意有，即，则， 整理得， 故，解得， .......................13分 则直线的方程为． .......................14分 综上所述，直线的方程为或． ...........15分 18、【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）结合（1）可知点必定在平面的平行平面内，取点，使得，连接，先证明平面平面，可得点的轨迹为线段（不包括点）组成，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）设为平面绕直线AC向上旋转至平面的旋转角，利用空间向量表示出平面AKC与平面SEB所成角的余弦值，进而求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为等腰直角三角形，， 所以，，由，得， 则为的中点，又F为BC的中点，所以，， 又，则，因为平面， 所以平面，又平面， 所以. . ......................4分 （2）由（1）知，平面，而， 则点必定在平面的平行平面内，取点，使得， 连接，因为，则， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， .......................5分 因此点的轨迹为线段（不包括点）组成， .......................6分 因为，，，，则， 所以，则，而， 以为原点，以所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中为平面绕直线AC向上旋转至平面的旋转角， .......................7分 则， 因为，所以，则，即， ...............8分 则，所以，则， 所以，则， .......................9分 则点的轨迹长度为. .......................10分 （3）由（2）及题意知，， 且平面绕直线AC向上旋转至平面时，则， 而，则， 而， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， .......................11分 设平面的一个法向量为， 则，取，得， .......................12分 设平面AKC与平面SEB所成角为， 则 ， .......................13分 令，，则， ...............14分 因为函数在上单调递减，则， 即，则，所以，......16分 则平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围为. ......17分 19．【答案】(1)，； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可； （ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）． .......................1分 设与的切点为， 则，解得， .......................2分 所以． .......................3分 由与相切，同理得， 所以． .......................4分 （2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点， 由（1）知，，， .......................5分 在上单调递减，在上单调递增； .......................6分 ，， 在上单调递减，在上单调递增， .......................7分 又，且； ，且， .......................8分 作出函数和的图象， 由图象知的取值范围为． .......................10分 （ii）不妨设， 由（i）知，， 显然，且， .......................11分 所以， .......................12分 同理，． 要证，只需证， .......................13分 只需证． .......................14分 又，只需证． .......................15分 令函数，则， 所以函数在（0，1）上单调递增， 由得，所以显然成立， .......................16分 综上，． ......................17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $