模块一 易错题讲练(范围：第6-9章 期中备考必刷练 38个题型 共76题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版数学八年级下册期中考前必刷练精讲练【易错题重难点题型】 模块一 易错题题型讲练『期中备考必刷练』 ［苏科版（新教材）八年级下册第6-9章］ 题型序列 题型名称 易错题型一 根据数据填写频数、频率统计表 易错题型二 频数分布直方图 易错题型三 由样本所在的频率区间估计总体的数量 易错题型四 用样本的频数估计总体的频数 易错题型五 判断几个事件概率的大小关系 易错题型六 由频率估计概率 易错题型七 用频率估计概率的综合应用 易错题型八 利用平行四边形的判定与性质求解 易错题型九 平行四边形性质和判定的应用 易错题型十 矩形与折叠问题 易错题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 易错题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 易错题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 易错题型十四 根据菱形的性质与判定求角度 易错题型十五 根据菱形的性质与判定求线段长 易错题型十六 根据菱形的性质与判定求面积 易错题型十七 正方形折叠问题 易错题型十八 根据正方形的性质与判定证明 易错题型十九 根据正方形的性质与判定求角度 易错题型二十 根据正方形的性质与判定求线段长 易错题型二十一 根据正方形的性质与判定求面积 易错题型二十二 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 易错题型二十三 （特殊）平行四边形的动点问题 易错题型二十四 四边形中的线段最值问题 易错题型二十五 与三角形中位线有关的求解问题 易错题型二十六 与三角形中位线有关的证明 易错题型二十七 等腰梯形的性质定理 易错题型二十八 等腰梯形的判定定理 易错题型二十九 已知因式分解的结果求参数 易错题型三十 提公因式法分解因式 易错题型三十一 平方差公式分解因式 易错题型三十二 完全平方公式分解因式 易错题型三十三 综合运用公式法分解因式 易错题型三十四 综合提公因式和公式法分解因式 易错题型三十五 因式分解在有理数简算中的应用 易错题型三十六 十字相乘法 易错题型三十七 分组分解法 易错题型三十八 因式分解的应用 易错题型一 根据数据填写频数、频率统计表 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中______，______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； (3)如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）七（1）班数学小组做转盘试验：有一个可以自由转动的圆形转盘，被分成了8个面积相等的扇形区域，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色（每种颜色至少占1个扇形区域）．转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数/次 300 600 900 1200 1800 2400 转到黄色区域的频数 114 225 333 450 675 900 转到黄色区域的频率 0.37 0.375 0.375 (1)表中___________，___________，___________； (2)已知转动多次后，蓝色区域频数稳定在0.25，且红色区域的扇形个数是绿色区域扇形个数的2倍，请你估计转盘上黄色区域的扇形个数为___________； (3)若要在不改变转盘扇形个数的前提下，通过重新分配颜色，使得指针指向每种颜色的可能性相同，请写出一种可行的方案． 易错题型二 频数分布直方图 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）4月22日，垦利区九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如下统计图．甲同学计算出前两组的频数和是18，乙同学计算出第一组的人数是抽取总人数的4%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15．结合统计图回答下列问题： (1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？ (2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？ (3)请把频数分布直方图补充完整． 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）为了了解某校九年级男生的身高情况，该校从九年级随机找来名男生进行了身高测量，根据测量结果（测量结果均为整数，单位：列出如下频数分布表： 分组 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 合计 频数 3 4           4 2      (1)填写频数分布表中未完成的部分； (2)组距是多少？组数是多少？ (3)估计该校九年级男生身高在以上（不包含的约占百分之几？ (4)画出频数分布直方图． 易错题型三 由样本所在的频率区间估计总体的数量 5．（24-25八年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 6．（24-25八年级下·安徽六安·期末）数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答下列问题： 组别 评价得分 频数 频率 A组 30 B组 90 C组 D组 60    (1)本次问卷评价调查共抽取______名同学参加； (2)补全频数分布直方图； (3)若全校共人，试估计评价得分不低于80分的人数． 易错题型四 用样本的频数估计总体的频数 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，某校计划开展阳光体育锻炼活动．准备开设以下四种球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项．调查结果绘制成图，请你结合图中信息解答下列问题： (1)本次调查的学生人数是__________人； (2)求本次调查的学生中选择B（乒乓球）的人数，并把条形统计图补充完整； (3)若该学校共有2000名学生，请根据样本估计全校选择C（篮球）的人数． 8．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）我校为丰富校园体育活动，成立了足球（A）、篮球（B）、排球（C）、匹克球（D）、羽毛球（E）共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一项），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 全校学生对社团喜爱情况条形统计图   全校学生对社团喜爱情况扇形统计图 (1)参与本次问卷的学生共有______人；在扇形统计图中的值是______； (2)求扇形统计图中E所对应的圆心角的度数； (3)补全条形统计图； (4)如果该校共有800名学生，根据调查结果请你估计喜欢打匹克球的学生有多少人？ 易错题型五 判断几个事件概率的大小关系 9．（2026八年级下·江苏·专题练习）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（    ） A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于 C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于 易错题型六 由频率估计概率 11．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 12．（25-26八年级下·广东佛山·月考）一个不透明的口袋中装有个红球，为了估计红球的个数，向口袋中加入2个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 易错题型七 用频率估计概率的综合应用 13．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 易错题型八 利用平行四边形的判定与性质求解 15．（24-25八年级下·贵州·期中）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 16．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 易错题型九 平行四边形性质和判定的应用 17．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 18．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 易错题型十 矩形与折叠问题 19．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 20．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 易错题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 易错题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 23．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 24．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，菱形的对角线交于点．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为___________． 易错题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 25．（2026·安徽·模拟预测）如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 26．（24-25八年级下·山东济宁·月考）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____。 易错题型十四 根据菱形的性质与判定求角度 27．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 易错题型十五 根据菱形的性质与判定求线段长 29．（25-26八年级下·陕西商洛·月考）如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 30．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 易错题型十六 根据菱形的性质与判定求面积 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 32．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 易错题型十七 正方形折叠问题 33．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 34．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 易错题型十八 根据正方形的性质与判定证明 35．（23-24八年级下·贵州贵阳·月考）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 36．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 易错题型十九 根据正方形的性质与判定求角度 37．（24-25八年级下·湖北武汉·自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则__________．    38．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    易错题型二十 根据正方形的性质与判定求线段长 39．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 40．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 易错题型二十一 根据正方形的性质与判定求面积 41．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 42．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 易错题型二十二 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 43．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 44．（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 易错题型二十三 （特殊）平行四边形的动点问题 45．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 46．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值； (2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ． 易错题型二十四 四边形中的线段最值问题 47．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 48．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 易错题型二十五 与三角形中位线有关的求解问题 49．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点E，延长至点F，使，连接．试确定线段与的关系，并说明理由． 50．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 易错题型二十六 与三角形中位线有关的证明 51．（2026·云南·模拟预测）如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 52．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 易错题型二十七 等腰梯形的性质定理 53．（24-25八年级下·山东济宁·周测）如图，某花木场有一块等腰梯形的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 54．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 易错题型二十八 等腰梯形的判定定理 55．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 56．（24-25八年级下·上海青浦·期末）在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 易错题型二十九 已知因式分解的结果求参数 57．（25-26八年级下·四川南充·期末）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 58．（25-26八年级下·上海·课后作业）如果，那么____，_____． 易错题型三十 提公因式法分解因式 59．（25-26八年级下·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 60．（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 易错题型三十一 平方差公式分解因式 61．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 62．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 易错题型三十二 完全平方公式分解因式 63．（25-26八年级下·山东德州·月考）分解因式： （1）______； （2）_______． 64．（25-26八年级下·浙江杭州·开学考试）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 易错题型三十三 综合运用公式法分解因式 65．（24-25八年级下·山东济南·期中）因式分解． (1)； (2)． 66．（25-26八年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 易错题型三十四 综合提公因式和公式法分解因式 67．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）分解因式 (1) (2) 68．（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1)； (2)． 易错题型三十五 因式分解在有理数简算中的应用 69．（25-26八年级下·山东临沂·期末）______． 70．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)__________；__________；__________． (2)①；    ②． 易错题型三十六 十字相乘法 71．（25-26八年级下·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 72．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 易错题型三十七 分组分解法 73．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）“提公因式法”是分解因式的一种常用方法，例如：①，②，为了拓展同学们的思维，老师要求对多项式：进行分解因式．爱动脑筋的小明思考了一会儿发现，虽然这个多项式的四项没有公因式，但对这个多项式先进行简单的分组后，问题就可以得到解决． 即： 请仿照以上方法，完成下列任务： (1)分解因式：； (2)若的三边分别为：，，，且，请判断的形状，并说明理由． 74．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． (1)分解因式：； (2)已知：，．求的值； (3)若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 易错题型三十八 因式分解的应用 75．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． (1)分别求出点A、B、C的坐标； (2)如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； (3)在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 76．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在一个足够长，宽为的纸带上剪出一些长方形纸片A，B，C，…其面积分别记为，，，…图中的虚线为裁剪线． (1)化简；（结果按x的降幂排列） (2)若，将多项式进行因式分解，并直接写出长方形C落在边l上的边长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版数学八年级下册期中考前必刷练精讲练【易错题重难点题型】 模块一 易错题题型讲练『期中备考必刷练』 ［苏科版（新教材）八年级下册第6-9章］ 题型序列 题型名称 易错题型一 根据数据填写频数、频率统计表 易错题型二 频数分布直方图 易错题型三 由样本所在的频率区间估计总体的数量 易错题型四 用样本的频数估计总体的频数 易错题型五 判断几个事件概率的大小关系 易错题型六 由频率估计概率 易错题型七 用频率估计概率的综合应用 易错题型八 利用平行四边形的判定与性质求解 易错题型九 平行四边形性质和判定的应用 易错题型十 矩形与折叠问题 易错题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 易错题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 易错题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 易错题型十四 根据菱形的性质与判定求角度 易错题型十五 根据菱形的性质与判定求线段长 易错题型十六 根据菱形的性质与判定求面积 易错题型十七 正方形折叠问题 易错题型十八 根据正方形的性质与判定证明 易错题型十九 根据正方形的性质与判定求角度 易错题型二十 根据正方形的性质与判定求线段长 易错题型二十一 根据正方形的性质与判定求面积 易错题型二十二 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 易错题型二十三 （特殊）平行四边形的动点问题 易错题型二十四 四边形中的线段最值问题 易错题型二十五 与三角形中位线有关的求解问题 易错题型二十六 与三角形中位线有关的证明 易错题型二十七 等腰梯形的性质定理 易错题型二十八 等腰梯形的判定定理 易错题型二十九 已知因式分解的结果求参数 易错题型三十 提公因式法分解因式 易错题型三十一 平方差公式分解因式 易错题型三十二 完全平方公式分解因式 易错题型三十三 综合运用公式法分解因式 易错题型三十四 综合提公因式和公式法分解因式 易错题型三十五 因式分解在有理数简算中的应用 易错题型三十六 十字相乘法 易错题型三十七 分组分解法 易错题型三十八 因式分解的应用 易错题型一 根据数据填写频数、频率统计表 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中______，______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； (3)如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)， (2)； (3)该厂估计要生产5000顶头盔 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）七（1）班数学小组做转盘试验：有一个可以自由转动的圆形转盘，被分成了8个面积相等的扇形区域，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色（每种颜色至少占1个扇形区域）．转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数/次 300 600 900 1200 1800 2400 转到黄色区域的频数 114 225 333 450 675 900 转到黄色区域的频率 0.37 0.375 0.375 (1)表中___________，___________，___________； (2)已知转动多次后，蓝色区域频数稳定在0.25，且红色区域的扇形个数是绿色区域扇形个数的2倍，请你估计转盘上黄色区域的扇形个数为___________； (3)若要在不改变转盘扇形个数的前提下，通过重新分配颜色，使得指针指向每种颜色的可能性相同，请写出一种可行的方案． 【答案】(1)0.38，0.375，0.375 (2)3 (3)将1个黄色区域改为绿色区域．能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查了频数与频率，熟知频数与频率之间的计算关系是解题的关键． （1）利用频数和样本容量求得频率； （2）根据频率估算黄色区域的扇形个数即可； （3）通过（2）中得到每个颜色的扇形个数数量，再调整即可． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：0.38，0.375，0.375； （2）解：转盘上黄色区域的扇形个数为个， 故答案为：； （3）解：蓝色区域为个， 设绿色区域扇形个数为个，则红色区域扇形个数为个， 则可得， 解得， 即绿色区域扇形个数为1个，则红色区域扇形个数为2个， 故要使得指针指向每种颜色的可能性相同，只需将1个黄色区域改为绿色区域． 易错题型二 频数分布直方图 3．（25-26八年级下·北京·课后作业）4月22日，垦利区九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如下统计图．甲同学计算出前两组的频数和是18，乙同学计算出第一组的人数是抽取总人数的4%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15．结合统计图回答下列问题： (1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？ (2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？ (3)请把频数分布直方图补充完整． 【答案】(1)人 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用频数总数频率，可得抽取的总人数； （2）首先计算出前四个小组的人数，再用总数减去前四个小组的人数可得后两个小组的人数和，再计算出优秀率即可； （3）利用（2）中的数据即可得到第三，四组的人数，进而把频数分布直方图补充完整． 【详解】（1）解：∵前两组的频数和是，第一组的人数是抽取总人数的， ∴抽取的总人数(人)； （2）∵第二、三、四组的频数比为：：，第二小组的频数为， ∴第三、四组的频数分别为：，， ∴第五、六小组的频数和为：， ∴这次测试成绩的优秀率是：； （3）频数分布直方图： 4．（25-26八年级下·北京·课后作业）为了了解某校九年级男生的身高情况，该校从九年级随机找来名男生进行了身高测量，根据测量结果（测量结果均为整数，单位：列出如下频数分布表： 分组 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 合计 频数 3 4           4 2      (1)填写频数分布表中未完成的部分； (2)组距是多少？组数是多少？ (3)估计该校九年级男生身高在以上（不包含的约占百分之几？ (4)画出频数分布直方图． 【答案】(1)12 (2)组距是，组数是7 (3) (4)见解析 【分析】（1） 用总频数减去其余各组频数，得到组的频数； （2） 每组上限减下限得组距，数出分组数量得组数； （3） 求和以上各组频数，除以总频数计算百分比； （4）以分组为横轴、频数为纵轴，绘制等宽长方形构成直方图． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：组距，组数为． 答：组距是，组数是． （3）解：以上频数和：， ． 答：该校九年级男生身高在以上的约占． （4）频数分布直方图如图所示： 易错题型三 由样本所在的频率区间估计总体的数量 5．（24-25八年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，； (2)； (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【详解】（1）解： ， ． 答案为：，； （2）∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3） 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 6．（24-25八年级下·安徽六安·期末）数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答下列问题： 组别 评价得分 频数 频率 A组 30 B组 90 C组 D组 60    (1)本次问卷评价调查共抽取______名同学参加； (2)补全频数分布直方图； (3)若全校共人，试估计评价得分不低于80分的人数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)名 【分析】（1）用A组的频数除以其频率即可得到参与调查的人数； （2）根据（1）所求求出C组的人数，进而补全统计图即可； （3）用乘以样本中得分不低于80分的频率即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意得，本次问卷评价调查共抽取名同学参加， 故答案为：； （2）解：由（1）得C组的人数为名， 补全统计图如下：    （3）解：名， ∴估计评价得分不低于80分的人数为名． 易错题型四 用样本的频数估计总体的频数 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，某校计划开展阳光体育锻炼活动．准备开设以下四种球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项．调查结果绘制成图，请你结合图中信息解答下列问题： (1)本次调查的学生人数是__________人； (2)求本次调查的学生中选择B（乒乓球）的人数，并把条形统计图补充完整； (3)若该学校共有2000名学生，请根据样本估计全校选择C（篮球）的人数． 【答案】(1)100 (2)30，条形统计图见解析 (3)520 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，掌握数形结合的思想是正确解答的关键． （1）由D（足球）的数据和占比求总数即可； （2）求出样本中选择乒乓球的人数，即可补全条形统计图； （3）由样本频数估计总体频数即可． 【详解】（1）解：（人）， 本次调查的学生人数是100人， 故答案为：100； （2）解：选择B（乒乓球）的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：估计全校选择C（篮球）的人数为（人）， 所以，全校选择C（篮球）的人数为520人． 8．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）我校为丰富校园体育活动，成立了足球（A）、篮球（B）、排球（C）、匹克球（D）、羽毛球（E）共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一项），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 全校学生对社团喜爱情况条形统计图   全校学生对社团喜爱情况扇形统计图 (1)参与本次问卷的学生共有______人；在扇形统计图中的值是______； (2)求扇形统计图中E所对应的圆心角的度数； (3)补全条形统计图； (4)如果该校共有800名学生，根据调查结果请你估计喜欢打匹克球的学生有多少人？ 【答案】(1)60；20； (2)； (3)24； (4)120． 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）D社团所的人数除以对应的百分比，即可得参与本次问卷的学生人数；求B 社团的百分比即可得m； （2）求出百分比再乘即可； （3）求出C社团的人数，补全条形统计图即可； （4）用800乘对应的百分比即可． 【详解】（1）解：参与本次问卷的学生共有（人）； B 社团所占的百分比为：，则； （2）解：E社团所对应的圆心角为：； （3）解：C社团的人数为：（人）， 则条形统计图如下： （4）解：（人）， 答：喜欢打匹克球的学生有120人． 易错题型五 判断几个事件概率的大小关系 9．（2026八年级下·江苏·专题练习）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（    ） A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于 C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．两个小球的标号之和等于是不可能事件，不合题意； B．两个小球的标号之和大于是必然事件，不合题意； C．两个小球的标号之和等于是随机事件，符合题意； D．两个小球的标号之和大于是不可能事件，不合题意； 故选：C． 易错题型六 由频率估计概率 11．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 12．（25-26八年级下·广东佛山·月考）一个不透明的口袋中装有个红球，为了估计红球的个数，向口袋中加入2个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握概率计算公式是解题关键． 根据频率稳定在附近，可知摸到红球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】∵总球数为，红球数为，摸到红球的概率为， ∴， 解得， 即， ∴， 即， ∴， 经检验，符合题意， 故选：A． 易错题型七 用频率估计概率的综合应用 13．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 【答案】(1)； (2)这个运动员投篮命中率的概率是； (3)36分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮24次命中次，然后用12乘以3即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：这个运动员投篮命中率的概率是； （3）解：这个运动员3分球投篮24次大约命中（次）， ∴这个运动员3分球投篮24次的得分大约为（分）． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)0.905 (2) (3)估计还要移植8000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率的综合应用： （1）根据成活率等于成活数除以移植棵数，进行计算即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式求数量即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.905； （2）由题意，估计该种苹果树苗成活的概率是； 故答案为：； （3）； 答：估计还要移植8000棵这种苹果树苗． 易错题型八 利用平行四边形的判定与性质求解 15．（24-25八年级下·贵州·期中）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 16．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】4或6 【分析】设秒时，直线将四边形截出一个平行四边形，，根据平行四边形的性质，可得或，列方程并解方程即可求出t值． 【详解】解：设t秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：， ∵直线将四边形截出一个平行四边形，， ∴或， ∴ 或 解得或， 即4或后直线将四边形截出一个平行四边形． 易错题型九 平行四边形性质和判定的应用 17．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 18．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 易错题型十 矩形与折叠问题 19．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 20．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图．在矩形中，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且与交于F，则下列结论①②③④若，则，正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，逐一分析各个结论的正确性，再结合选项选择正确答案即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵矩形沿翻折， ∴， ∴， ∴，故①正确； 结论②中未给出任何关于角度的特殊条件，无法通过已知条件推导出， ∴②不一定成立，无特殊条件支持，故②错误； ∵矩形沿翻折， ∴， ∴，， 在矩形中，，， ∴，， 在和中， ， ∴，故③正确； 设，则， 由③可知，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④． 易错题型十一 根据矩形的性质与判定求角度 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 22．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． 证明平行四边形是矩形，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． 易错题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长 23．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 24．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，菱形的对角线交于点．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求得，易证四边形为矩形，可得，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，此时的值最小，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 易错题型十三 根据矩形的性质与判定求面积 25．（2026·安徽·模拟预测）如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示：   ，， 四边形、、、是平行四边形， 四边形是菱形 ，，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形的面积为：． 26．（24-25八年级下·山东济宁·月考）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____。 【答案】 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 易错题型十四 根据菱形的性质与判定求角度 27．（25-26八年级下·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 28．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 易错题型十五 根据菱形的性质与判定求线段长 29．（25-26八年级下·陕西商洛·月考）如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 【答案】 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出，即可判定四边形 是菱形，根据菱形的性质求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知， ，， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即点 O 到的距离为． 30．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】根据菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 易错题型十六 根据菱形的性质与判定求面积 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 32．（25-26八年级下·四川成都·月考）如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，由题意可知，则四边形为菱形，根据菱形的性质与勾股定理可求得，由此即可求得四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ， 四边形的面积为：． 故答案为：24． 易错题型十七 正方形折叠问题 33．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 34．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 易错题型十八 根据正方形的性质与判定证明 35．（23-24八年级下·贵州贵阳·月考）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 如图①先根据题意得到四边形是正方形，连接，利用勾股定理求出的长，如图②根据，证明三角形为等边三角形即可得到答案． 【详解】解：如图①∵，， ∴四边形是正方形， 连接，则， ∴， 如图②，，连接， ∵ ∴为等边三角形， ∴． 故选A． 36．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 易错题型十九 根据正方形的性质与判定求角度 37．（24-25八年级下·湖北武汉·自主招生）如图，长方形纸片，以点A所在直线为折痕折叠，使点落在边上，折痕与边交于，将纸片展开，再一次折叠，以点所在直线为折痕，使点A落在边上，折痕与边交于，则__________．    【答案】 【分析】先根据折叠的性质得到，继而得出，再由折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，    ∵以点所在直线为折痕，折叠纸片，使点落在上的点，折痕与交于点， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 由再一次折叠，得 ． ， ． 故答案为：． 38．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______．    【答案】 180 5 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5．    易错题型二十 根据正方形的性质与判定求线段长 39．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，则 ∴四边形是正方形， ∴在上，且 如图所示， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形，，，则重合， ∴ 40．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 易错题型二十一 根据正方形的性质与判定求面积 41．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，证明四边形是正方形，根据面积求出边长，进而求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∵， ∴矩形是正方形， ∵四边形的面积是36， ∴， ∴， ∴原来的正方形的面积是， 故选：A． 42．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，以为边作正方形，可得，设，用含x的式子表示出的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作正方形，在上取，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， 即， 解得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 易错题型二十二 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 43．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）证，得出即可； （2）证，分别列出，，，，再用正方形面积减去即可； （3）先确定四边形是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）根据题意，得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ；；， ∴， 综上，； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是轴对称图形， ①当四边形是矩形时，如图， 只需即可， 则此时只需即可， ∴， 解得； ②当四边形是菱形时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是． 44．（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 易错题型二十三 （特殊）平行四边形的动点问题 45．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 46．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值； (2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）如图， 连接， 作于，然后证明 ，可得由此即可解决问题； （3）①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，运用勾股定理求出x值即可； ②如图中， 当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图2， 连接， 作于， 则，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ， ∴与的函数关系式； （3）解：①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大， 在中，， ∴的最大值， ②如图中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ∵， ， ； 故答案为：；； （4）解：如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，即， 故答案为：． 易错题型二十四 四边形中的线段最值问题 47．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为2． 48．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 易错题型二十五 与三角形中位线有关的求解问题 49．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点E，延长至点F，使，连接．试确定线段与的关系，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，，进而可得，再证明是的中位线，则可得，． 【详解】解：，，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴ 又∵， ∴是的中位线， ∴，． 50．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，由此可判定B正确，不符合题意；进而得到是的中位线，是的中位线，利用中位线性质以及平行线性质，可得，，由此判定A、C正确，不符合题意；由已知条件，无法判定，故D错误，符合题意． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，故B正确， E是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，故A正确， ， ，故C正确，不符合题意， 由已知条件，不能得到，故不能判定，故D错误，符合题意． 易错题型二十六 与三角形中位线有关的证明 51．（2026·云南·模拟预测）如图所示，矩形的对角线与相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，平行线与之间的距离为8，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过，，证明四边形是平行四边形，再利用四边形是矩形，得出，即可求证； （2）证明是直角三角形，得出．再利用，得出，求出，再利用中位线的性质得即可求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设平行线与之间的距离为h，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的周长为． 52．（24-25八年级下·江苏扬州·周测）如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形，理由见解析 【分析】（）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形 理由：∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形． 理由：由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 易错题型二十七 等腰梯形的性质定理 53．（24-25八年级下·山东济宁·周测）如图，某花木场有一块等腰梯形的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰梯形的性质可得，再利用三角形中位线定理求出四边形各边的长度，进而求得周长． 【详解】解：连接 ， 四边形是等腰梯形 分别是的中点 在中，是中位线，则 同理可得，， 篱笆的总长度为． 54．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 易错题型二十八 等腰梯形的判定定理 55．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． （）先根据梯形的性质得出边和角的关系，再结合已知条件找到全等的条件（）证明． （）求的度数，可利用（）中全等三角形的性质，将角进行转化，再结合梯形中角的关系求解． 【详解】（1）证明：∵在梯形中，，， ∴ ∵在和中，， ， ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 56．（24-25八年级下·上海青浦·期末）在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，故A正确，不符合题意； B、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴四边形为等腰梯形或矩形，故B错误，符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； D、如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 易错题型二十九 已知因式分解的结果求参数 57．（25-26八年级下·四川南充·期末）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键．因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 58．（25-26八年级下·上海·课后作业）如果，那么____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式，完全平方公式，将等式右边利用平方差公式，完全平方公式展开得到，然后与左边比较系数，即可求出和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：右边：， 左边：， 比较系数可得：，， 故答案为：，． 易错题型三十 提公因式法分解因式 59．（25-26八年级下·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 60．（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解： 【答案】 【分析】整理后提取公因式即可． 【详解】解： ． 易错题型三十一 平方差公式分解因式 61．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式的形式为，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式． 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 62．（25-26八年级下·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)2704 【分析】本题考查了新定义“可乐数”以及平方差公式的运用． （1）根据“可乐数”的定义解答即可； （2）根据解答即可； （3）由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”，若偶数是“可乐数”，根据 与的奇偶性相同，可得是偶数，则一定是4的倍数，且，所有的“可乐数”从小到大排列为：，进而得到当时，所有“可乐数”可以表示为，当时，分别是第个“可乐数”，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴12，15是“可乐数”， ∵18不能表示为两个正整数的平方差， ∴18不是“可乐数”； 即“可乐数”的有①②； （2）解：证明：∵， ∴ 即能表示为两个正整数和的平方差， ∴当正整数时，是“可乐数”． （3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”， 若偶数是“可乐数”，则存在正整数，使得， ∴， ∵与的奇偶性相同， ∴是偶数， 因为是偶数，且与的奇偶性相同， 所以与均为偶数，故一定是4的倍数 所有的“可乐数”从小到大排列为：， 当时，所有“可乐数”可以表示为， 当时，分别是第个“可乐数”， ∵， ∴第2026个“可乐数”为． 易错题型三十二 完全平方公式分解因式 63．（25-26八年级下·山东德州·月考）分解因式： （1）______； （2）_______． 【答案】 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则 ． 64．（25-26八年级下·浙江杭州·开学考试）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若且，则面积为_____． 【答案】 【分析】先用配方法对变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入，求出a，再由勾股定理的判定定理得出为直角三角形，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ 解得， ∵， ∴， 解得或（舍去） ∵， ∴， ∴是以1和为直角边的直角三角形， ∴的面积为：． 易错题型三十三 综合运用公式法分解因式 65．（24-25八年级下·山东济南·期中）因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 66．（25-26八年级下·全国·课后作业）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 易错题型三十四 综合提公因式和公式法分解因式 67．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先凑出公因式，然后提取公因式，最后运用平方差公式分解即可； （2）先把原式化成完全平方公式的形式，然后运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： . （2）解： ． 68．（24-25八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式3，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （2）直接根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 易错题型三十五 因式分解在有理数简算中的应用 69．（25-26八年级下·山东临沂·期末）______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 70．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)__________；__________；__________． (2)①；    ②． 【答案】(1)6；18；54 (2)①② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，因式分解，通过观察，分析、归纳，发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解决问题的关键． （1）直接计算每个表达式的值，遵循有理数运算顺序：先乘方后乘除，最后加减； （2）①通过提取公因式进行因式分解，化简表达式；②通过提取公因式进行因式分解，化简表达式． 【详解】（1）解： ； ； ． （2）解：① ； ② ． 易错题型三十六 十字相乘法 71．（25-26八年级下·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 72．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 易错题型三十七 分组分解法 73．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）“提公因式法”是分解因式的一种常用方法，例如：①，②，为了拓展同学们的思维，老师要求对多项式：进行分解因式．爱动脑筋的小明思考了一会儿发现，虽然这个多项式的四项没有公因式，但对这个多项式先进行简单的分组后，问题就可以得到解决． 即： 请仿照以上方法，完成下列任务： (1)分解因式：； (2)若的三边分别为：，，，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题主要考查了分解因式，等腰三角形的定义，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）把原式分组得到，再利用提公因式（数）法把两项都分解因式，进而提取公因式分解因式即可； （2）把已给条件式分组得到，再利用提公因式法和平方差公式分解因式得到，进而得到，据此可得结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵， ∴， ， 即：， 是等腰三角形． 74．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“弘毅”数学小组在对多项式进行因式分解时发现，其前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．具体过程为： ． 通过查阅相关资料得知，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，受此启发，请你尝试解决以下问题． (1)分解因式：； (2)已知：，．求的值； (3)若的三边a，b，c满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，平方差公式，完全平方公式，等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． （1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可． （2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可． （3）根据，推导出，进而可得，则，由此可判断． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 当，时， 原式． （3）解：为等边三角形． 理由如下： ， ， ． ，b，c是的三边， ∴ ， 是等边三角形． 易错题型三十八 因式分解的应用 75．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第一象限，，，点A坐标为，点C的横坐标为n，且． (1)分别求出点A、B、C的坐标； (2)如图2，点D为边中点，以点D为顶点的直角两边分别交边于E，交边于F，求证：； (3)在坐标平面内有点G（不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标． 【答案】(1)点，点，点 (2)见解析 (3)，， 【分析】（1）将变形为，根据非负性，等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点D作于点P，作于点Q，得到四边形是矩形，根据等腰三角形的性质，得到，证明，证明即可； （3）根据题意，分类求解，注意等腰直角三角形的性质，中点坐标公式的应用． 【详解】（1）解：将变形为， ， 解得， ∴点； 过点C作轴于点N，作轴于点M， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， 轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴四边形是正方形， ∴， ∵点C的横坐标为n， ∴． ∴， ∴，， ∴点，点． （2）证明：过点D作于点P，作于点Q， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，点D为边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 过点B作于点B，且满足，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 过点作于点H，过点作于点R， 同（1）法可得： ， 故； 延长到点，使得， ∵，， ∴， 此时是以为直角边的等腰直角三角形， 设点， ∵点，点， ∴， 解得， 故； 综上所述，符合要求的点G有三个，分别是，，． 76．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在一个足够长，宽为的纸带上剪出一些长方形纸片A，B，C，…其面积分别记为，，，…图中的虚线为裁剪线． (1)化简；（结果按x的降幂排列） (2)若，将多项式进行因式分解，并直接写出长方形C落在边l上的边长． 【答案】(1) (2)，长方形C落在边l上的边长为x 【分析】（1）根据图形分别表示出，，再代入，求解即可； （2）先将进行因式分解，然后结合图形，判断即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：，， ∴； （2）解：， ∴长方形C落在边l上的边长为x． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $