专题05 期中真题百练通关（72题6大压轴题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题05 期中真题百练通关（72题6大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 多结论与角度计算 题型4 一元一次不等式（组）综合应用 题型2 翻折问题 题型5 平行线有关综合题 题型3 多解问题 题型6 三角形有关综合题 题型1 多结论问题与角度计算（共7小题） 1．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)下列说法中，正确的有（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1 2．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：    ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 3．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，则的度数为________． 4．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 5．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为___________．(用含的代数式表示) 6．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则________． 7．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 题型2 翻折问题（共7小题） 8．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．(22-23七下·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)如图，中，点E在上，先将沿着翻折，使，交于点D，又将沿着翻折，此时C点恰好落在上，则原三角形中__________． 10．(23-24七下·上海黄浦区·期中)如图1，已知长方形纸带，，，°，点分别在边上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置．将纸带再折叠一次，使折痕经过点F， 且点落在线段上 ，这时的折痕和的夹角是 ____________ °．    11．(23-24七下·上海松江区·期中)如图1是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图1中∠DEF＝20°，请你求出图3中∠CFE＝___________ 12．(23-24七下·上海浦东新区·期中)2．下图①是长方形纸带，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．图①中，则图③中用含有的式子表示为______．    13．(23-24七下·上海杨浦区·期中)如图，一张长方形，，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，再将折叠成如图所示，若，则________．    14．(23-24七下·上海崇明区部分学校联考（五四制）·期中)如图，在中，，，点D在上，将沿直线翻折后，点C落在点E处，联结，如果DE//AB，那么的度数是__________度． 题型3 多解问题（共12小题） 15．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，已知，如果的一边与的一边互相平行，且的另一边与的另一边互相垂直，那么的度数为________． 16．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 17．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 18．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 19．(23-24七下·上海闵行区·期中)将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时，______度． 20．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 21．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 22．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与的一条边平行，若，则的度数为______°．（结果用含的代数式表示） 23．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，有一张三角形纸片，，，D是边上一定点，过点D将纸片的一角折叠，使点C落在BC的下方处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，___________． 24．(24-25七下·上海闵行区莘光学校·期中)如图，在中，，，点D为边中点，点E为射线上一动点，将沿折叠，点A落在点处，当与平行时，的度数为___________．    25．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图，在中，，，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿A→C运动，然后以的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当_____时，的面积等于？ 26．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)6．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 题型4 一元一次不等式（组）综合应用（共10小题） 27．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 28．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 29．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 30．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 31．(24-25七下·上海西初级中学·期中)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱； (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 32．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 33．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 34．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 35．(24-25七下·上海民一中学·期中)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 36．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； (2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 题型5 平行线有关综合题（共23小题） 37．(23-24七下·上海黄浦区·期中)将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 38．(23-24七下·上海松江区·期中)8．如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 39．探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 40．(23-24七下·上海闵行区·期中)闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． 41．(23-24七下·上海杨浦区·期中)已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 42．(23-24七下·上海虹口区·期中)已知， 直线， 点A、B在直线m上(点B在点A右侧) ， 点C在直线n上，且． 直线n上有一点 D， 连接，的平分线与的平分线相交于点 P． (1)如图， 当点D在点C的右侧， 且时，求的度数； 解：过点 P作， 因为 (已知) ，(所作)， 所以( )， 因为平分(已知)， 所以(角的平分线的意义)， 因为(已知)， 所以 (等式性质)， (下面补充完整解题过程) (2)如果 ，请直接写出的度数． 43．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)（1）问题发现：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，若，，则的度数为_____________； （2）拓展探究：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，则之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 结论：_____________________________． 理由：如图②，过点E作， （                              ）， ， ∴（                                      ）， （                            ）， ， _______________________． 44．(24-25七下·上海浦东新区·期中)根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 45．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 46．(24-25七下·上海闵行区莘光学校·期中)问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)若，则直接写出的大小． (2)数学探究：如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线． 完成如下问题： ①若，直接写出的度数． ②求证：． 拓展运用：有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点，如图3，图4．若，．直接写出，满足的数量关系． 47．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，． (1)问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数． 分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______． (2)类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由． (3)请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由． 48．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 49．(24-25七下·上海普陀区·期中)图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． (1)如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； (2)如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 50．(23-24七下·上海闵行区·期中)已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 51．(23-24七下·上海曹杨二中附属江桥实验中学·期中)已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 52．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 53．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 54．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 55．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 56．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 57．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 58．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 59．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若三角板如图1摆放时，则∠α=　　 °，∠β=　　 °． (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； (3)将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 题型6 三角形有关综合题（共7小题） 60．(22-23七下·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 61．(24-25七下·上海西初级中学·期中)【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 62．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 63．(24-25七下·上海杨浦区·期中)叠积木是童年时常见的一种益智游戏，能够锻炼我们的手眼协调能力和耐力，如图1，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们叠起来，我们称这是一个长方体积木组合．显然，一个长方体积木组合可以看作几个长方体积木组合叠在一起，比如图2中的组合可以看作是上面三块长方体积木组合叠在一起的组合叠在下面两块积木的组合之上．对于这样的长方体积木组合，我们进一步给出以下预备知识： 1.一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2．一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 探究问题： (1)取5块长度为10厘米的相同积木，四边对齐叠放． ①如图1，沿平行于积木长边的方向推动最上面的积木（即积木①）而不触碰其它积木，在不倾倒的前提下，如图2，积木①可延伸的最远长度是________厘米． ②如图2，保持积木②和积木①的相对位置不变，按图2中手指方向推动积木①②的组合，那么积木①②组合的最远延伸长度是________厘米． ③在第（2）小题的基础上，保持积木①、②、③的相对位置不变，按图3中手指方向推动积木①②③的组合，求积木①②③的组合的最远延伸长度． (2)如果取n块长度为10厘米的相同积木，按照上述的堆叠方式，设上方的块积木的组合可以延伸的最大长度为y厘米，用含n的代数式表示y． 64．(24-25七下·上海闵行区莘光学校·期中)中，，点分别是边的点，点是直线上一动点，连接，设． (1)如图1，若点在线段上，且，则___________； (2)当点在线段上运动时，依题意补全图2，用等式表示与的数量关系（用含的式子表示），并证明； (3)当点在线段的延长线上运动时，请直接用等式表示与的数量关系（用含α的式子表示）． 65．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 66．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 67．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 68．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 69．【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（）． ∵， ∴． ∵（）， ∴（）． ∴（） ∵， ∴． ∴（）° 【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数． 【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系． 70．课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示） 71．已知，平分交射线于点E，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是射线上一点，过点F作交射线于点G，点N是上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P为延长线上一点，平分交于点M，若平分，，，求的度数． 72．如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（72题6大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 多结论与角度计算 题型4 一元一次不等式（组）综合应用 题型2 翻折问题 题型5 平行线有关综合题 题型3 多解问题 题型6 三角形有关综合题 题型1 多结论问题与角度计算（共7小题） 1．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)下列说法中，正确的有（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1 【答案】B 【详解】解：同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，垂直是相交的特殊情况，故①说法错误； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②说法正确； 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故③说法正确； 同角或等角的补角相等，故④说法正确， 故正确的说法有3个． 故选：B． 2．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：    ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 【答案】②③④ 【详解】解：由折叠性质得， ， ， ，则， 是的一个外角， ， 设，则， 当时，， 题中并未明确的度数，故①错误； ， ， 由折叠性质可知，则，故②正确； 由折叠性质得， 由①的证明过程可知，， 设，则， ， ， ，解得，即，故③正确； 由①知， 是的一个外角， ，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 3．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接． ∵平分，交于，平分，交于， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 【答案】 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 5．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为___________．(用含的代数式表示) 【答案】 【详解】解：∵平分， ∴． 设，则， ∵平分， ∴， 设， ∴， 过作，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 6．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则________． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图所示： ，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，整理得：， ， ， 在中，， ， ， 即， ， 解得：， ． 故答案为：． 7．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 【答案】/36度 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， 是“优美三角形”， ， ，即， ． 故答案为：． 题型2 翻折问题（共7小题） 8．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：B． 9．(22-23七下·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)如图，中，点E在上，先将沿着翻折，使，交于点D，又将沿着翻折，此时C点恰好落在上，则原三角形中__________． 【答案】80 【详解】解：如图， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴原三角形的， 故答案为：80． 10．(23-24七下·上海黄浦区·期中)如图1，已知长方形纸带，，，°，点分别在边上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置．将纸带再折叠一次，使折痕经过点F， 且点落在线段上 ，这时的折痕和的夹角是 ____________ °．    【答案】 【详解】解：如图，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，    由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 11．(23-24七下·上海松江区·期中)如图1是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图1中∠DEF＝20°，请你求出图3中∠CFE＝___________ 【答案】120° 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴图1中，， ， ∴， 如图2所示，由折叠可知： ， 如图3所示，由折叠可得： ， ∴图3中，， ∴图3中，； 故答案为：120°． 12．(23-24七下·上海浦东新区·期中)2．下图①是长方形纸带，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．图①中，则图③中用含有的式子表示为______．    【答案】 【详解】解： ，， ， 在四边形中，， ， ， 再沿折叠成图③， 在图③中，， ， 故答案为：． 13．(23-24七下·上海杨浦区·期中)如图，一张长方形，，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，再将折叠成如图所示，若，则________．    【答案】 【详解】解：将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置， ∴，， ∵由翻折而成，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．(23-24七下·上海崇明区部分学校联考（五四制）·期中)如图，在中，，，点D在上，将沿直线翻折后，点C落在点E处，联结，如果DE//AB，那么的度数是__________度． 【答案】40 【详解】∵∠B=40°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-40°-30°=110°， 根据翻折的性质可知，∠E=∠C，∠CAD=∠EAD， ∴∠E=30°， ∵AB//DE， ∴∠E=∠BAE=30°， ∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=110°-30°=80°， ∴∠CAD=∠EAD=∠EAC=40°， 故答案为：40 题型3 多解问题（共12小题） 15．(24-25七下·上海松江区·期中)如图，已知，如果的一边与的一边互相平行，且的另一边与的另一边互相垂直，那么的度数为________． 【答案】或 【详解】解：①如图： 由题意得：， ∴， ∵， ∴； ②如图： 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：或． 16．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 【答案】或或 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 17．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 【答案】或 【详解】解：当直角为特征角时，一个锐角的度数为，符合题意； 当锐角为特征角时，则：， ∴， ∴； 故答案为：或． 18．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行于原三角形的一边，如果旋转角小于，那么______°． 【答案】62、70、110、118 【详解】解：令绕点A逆时针旋转后的对应三角形为（其中点B对应点为M，点C对应点为N）， 当时， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， 在中，∵，， ∴， 由旋转可知：， ∵， ∴， ∴旋转角α为； 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角α为， 综上所述，旋转角或或或． 故答案为：或或或． 19．(23-24七下·上海闵行区·期中)将一副三角板按如图所示重叠放置，其中和的两个角的顶点重合在一起，若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时，______度． 【答案】75或105 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论： ①如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴； ②如下图，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：75或105． 20．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 【答案】或 【详解】解：由已知可得，，， 分以下两种情况讨论： 当与相交于点E时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与相交于点F时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 21．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 【答案】或 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 22．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与的一条边平行，若，则的度数为______°．（结果用含的代数式表示） 【答案】或 【详解】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 23．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，有一张三角形纸片，，，D是边上一定点，过点D将纸片的一角折叠，使点C落在BC的下方处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，___________． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，， 由折叠性质得：，， ∴； ②当时，设交于点F，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴； 故答案为：或． 24．(24-25七下·上海闵行区莘光学校·期中)如图，在中，，，点D为边中点，点E为射线上一动点，将沿折叠，点A落在点处，当与平行时，的度数为___________．    【答案】或 【详解】解：设与交于点， 在中，，， ， ， ， 将沿折叠，点A落在点处， ， ， ， ；    在中，，， ， ， ， 将沿折叠，点A落在点处， ， ． 故答案为：或． 25．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图，在中，，，，点E是的中点，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿A→C运动，然后以的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当_____时，的面积等于？ 【答案】，，； 【详解】解：由题意可得， ∵点E是的中点，， ∴， 当点P在上运动时， ，即， ， ∵， ∴， ∵，的面积等于， ∴， 解得：， 当点P在上运动时， ，即：， ， ∴， ∵，的面积等于， ∴， 解得：， 当点P在上运动时， ，即：， ， ∴， ∵，的面积等于， ∴， 解得：， 故答案为：，，． 26．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)6．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 【答案】或或或 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 题型4 一元一次不等式（组）综合应用（共10小题） 27．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； (2)至少购进5台A型智能机器人． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 28．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 29．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 30．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵， ∴2a-2b=2（a-b）=4， ∴a-b=2． ， ∴a+4b=7， 解方程组：， 得：； （2） ∴ （3） 由得 由得 ∴解集为 ∵三个整数解 ∴整数解为－1，0，1 ∴ ∴． 31．(24-25七下·上海西初级中学·期中)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱； (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 【答案】(1)采购每株A，B两种花卉各3元，5元； (2)最少采购A种花卉为8000株． 【详解】（1）解：设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元． 根据题意得， 解得， 答：采购每株A，B两种花卉各3元，5元； （2）解：设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株． 根据题意得， 解得 答：最少采购A种花卉为8000株． 32．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 33．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； （2）解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 34．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 (2)；②26或30 【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； （2）解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 35．(24-25七下·上海民一中学·期中)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 36．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； (2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 【答案】(1)购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元 (2)三种购买方案，购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元 【详解】（1）设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元， 依题意，得：   ，解得： 答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元． （2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车辆， 依题意，得：， 解得：，因为m为整数，所有， 所以，该公司有三种购车方案， 方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车； 方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车； 方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车． 该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则 ， 因为，，w随m的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为330， 答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元． 题型5 平行线有关综合题（共23小题） 37．(23-24七下·上海黄浦区·期中)将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【详解】（1）①∵， ∴ ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ∴ 故答案为：． （2）． 理由如下： ∵，， ∴． ∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （3）①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． ③当时， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ⑤当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴∠， ∴ ∴． 故答案为：． 38．(23-24七下·上海松江区·期中)8．如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示， 当时，， ∴， ∵， ∴； 如图所示， 当时，， ∵， ∴； 综上，当的度数为或时，， 故答案为：或． 39．探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【详解】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 40．(23-24七下·上海闵行区·期中)闵行区今年实施了滨水步道的升级改造，某河道两岸安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A、灯B每秒分别转动、，且a，b满足．已知，且．    (1)求a，b的值； (2)如果两灯同时转动，在灯A射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点C，且，求的度数； (3)如果灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光线会互相平行？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)15秒或82.5秒 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，； （2）解：如图，过点作，     ， ， 设两灯转动时间为秒，则，， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①如图，     ， ， ， ， ， 在灯射线到达之前，由题意得：， 解得：； ②如图，       ， ， ， ， ， 在灯射线到达之后，由题意得：， 解得：． 综上所述，灯转动15秒或秒时，两灯的光束互相平行． 41．(23-24七下·上海杨浦区·期中)已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 由（1）可得：， ； （3）解：由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 42．(23-24七下·上海虹口区·期中)已知， 直线， 点A、B在直线m上(点B在点A右侧) ， 点C在直线n上，且． 直线n上有一点 D， 连接，的平分线与的平分线相交于点 P． (1)如图， 当点D在点C的右侧， 且时，求的度数； 解：过点 P作， 因为 (已知) ，(所作)， 所以( )， 因为平分(已知)， 所以(角的平分线的意义)， 因为(已知)， 所以 (等式性质)， (下面补充完整解题过程) (2)如果 ，请直接写出的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两直线互相平行，，，过程见解析； (2)的度数为或 【详解】（1）解：过点作 因为(已知)， (所作)， 所以(平行于同一直线的两直线互相平行)， 因为平分(已知)， 所以(角的平分线的意义)， 因为(已知)， 所以(等式性质)， 因为 所以 所以 因为，平分 所以 因为， 所以 所以， 故答案为：平行于同一直线的两直线互相平行，． （2）解：如图， 由（1）知， ∵直线 如图， ∵ 在中， 的平分线与的平分线相交于点， 在中，， ， 得， 综上，的度数为或 43．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)（1）问题发现：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，若，，则的度数为_____________； （2）拓展探究：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，则之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 结论：_____________________________． 理由：如图②，过点E作， （                              ）， ， ∴（                                      ）， （                            ）， ， _______________________． 【答案】（1）；（2）；两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 【详解】解：（1）如图，过E作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图②，过点E作， （ 两直线平行，内错角相等）， ， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． 44．(24-25七下·上海浦东新区·期中)根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【答案】任务一：图见解析，；任务二：；任务三：需要秒 【详解】任务一：画图如下： ∵， ∴； 任务二：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵， ∴； 任务三：设需要； 当时，， ∴， 解得：； 答：需要秒． 45．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题知，， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题知，， ， 又， ， 即， ∴， 故的度数为； （3）解：如图， 由题知，，， 又， ， ． 故答案为：． 46．(24-25七下·上海闵行区莘光学校·期中)问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)若，则直接写出的大小． (2)数学探究：如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线． 完成如下问题： ①若，直接写出的度数． ②求证：． 拓展运用：有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点，如图3，图4．若，．直接写出，满足的数量关系． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析；拓展运用：图3：；图4：． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴； （2）①解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， ∴； 扩展运用： 在图3中，解：由题意可得：，，， ∴，， ∵在中：， ∴， ∴， 又∵在中：， ∴， ∴， ∴； 在图4中，解：由题意可得：，， 在中，，即：， 在中，，即：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 47．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，． (1)问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数． 分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______． (2)类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由． (3)请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）由题可得，， ； 故答案为：，； （2），理由： 证明：如图， 过作，则， ，， ， ， ； （3），理由： 证明：如图， 过作，则， ， ， ， ． 48．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵桌角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴画出球经过的路径如下：    所以球会进入球袋． 49．(24-25七下·上海普陀区·期中)图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． (1)如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； (2)如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，过点B作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点A作，过点作交于点， ， ， ，平分， ， ， ， ， 角平分线与垂直， ， ， ． 50．(23-24七下·上海闵行区·期中)已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 【答案】(1)①；② (2)①见详解；② 【详解】（1）解：①如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2）①证明：如下图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 51．(23-24七下·上海曹杨二中附属江桥实验中学·期中)已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 【答案】(1) (2)秒或秒或 【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1， 过作，则， ，， ， ， 故答案为：； （2）①设射线旋转的时间为秒； 第一次平行时，如图2， 则，， ，， ， 即， 解得：秒； ②第二次平行时，如图3，则，， ，， ， 即， 解得：秒； ③第三次平行时，如图4，则，， ，， ， 即， 解得：秒； 故答案为：15秒或63秒或135． 52．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 53．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)15 (3)垂直，理由见解析 【详解】（1）解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； （2）解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； （3）解：垂直，理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ． 54．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 【答案】(1)①；②10秒或15秒 (2)6或9或42或45 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， ∴（秒）； 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴（秒）， 综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行； （2）解：设旋转时间为秒，由题意得，，， 当时， 则， ∵， ∴ 解得：； 当时， ∴， ∵ ∴， 解得：； 当时， 则， ∵， ∴， 解得：； 当时， 则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行． 55．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 56．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 57．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 58．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 59．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若三角板如图1摆放时，则∠α=　　 °，∠β=　　 °． (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； (3)将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 【答案】(1)15， 150 ； (2)45， 150 ； (3)综上所述，t的值为2或5或6或8或11． 【详解】（1）解∶如图1中，过点E作EJPQ， ∵， PQEJ， ∴EJMN， ∴，∠JEA=∠BAC=45°， ∴， ∵∠DEF=60°， ∴， ∵∠DFE=30°，， ∴， 故答案为∶ 15， 150 ； （2）解：如图2中， 利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ． ∵PQMN， ∴∠QEA=∠BAC=45° ， ∴∠AEP=180°-45°=135°， ∵∠CBA=45°， ∴∠CBM=180°-45°= 135*， ∵HE， HB分别平分∠AEP，∠CBM， ∴∠PEH=∠PEA=67.5°，∠MBH=∠FBM=67.5°， ∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°； （3）解：①当ACDF时，如图1， 易得此时BCED ， ∵ACDF，易知E，F，A三点共线，∠DFE= ∠FAC=30°， ∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2； ②当ACDE时，如图2， 易得此时BCDF．过点A作AHBC，则AH BCDF， ∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°， ∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°． ∴15t=120， ∴t=8， 当ACEF时，情况不存在； ④当BCDF时，同②； ⑤当BCED时，同①； ⑥当BCEF时，如图3， 此∠MAB=90°，即15t= 90，解得t=6； ⑦当ABDF时，如图4， ∵ABDF ∴∠BAF=∠DFE=30°， ∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5； ⑧当ABED时， ∵ABED， ∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°， ∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°， ∴15t=165， 解得t=11； ⑨当ABEF时，此情况不存在． 综上所述，t的值为2或5或6或8或11． 题型6 三角形有关综合题（共7小题） 60．(22-23七下·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：利用（1）的结论可得， ， 故答案为：； （3）解：利用（1）的结论可得， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， 又， ， ； （4）解：利用（1）的结论可得， 利用（3）的结论可得，即， ， ， 故答案为：． 61．(24-25七下·上海西初级中学·期中)【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），是的“三分线”， ， ． （2） ． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ； （3）． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ． 62．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 63．(24-25七下·上海杨浦区·期中)叠积木是童年时常见的一种益智游戏，能够锻炼我们的手眼协调能力和耐力，如图1，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们叠起来，我们称这是一个长方体积木组合．显然，一个长方体积木组合可以看作几个长方体积木组合叠在一起，比如图2中的组合可以看作是上面三块长方体积木组合叠在一起的组合叠在下面两块积木的组合之上．对于这样的长方体积木组合，我们进一步给出以下预备知识： 1．(24-25七下·上海杨浦区·期中)一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2．(24-25七下·上海杨浦区·期中)一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3．(24-25七下·上海杨浦区·期中)两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 探究问题： (1)取5块长度为10厘米的相同积木，四边对齐叠放． ①如图1，沿平行于积木长边的方向推动最上面的积木（即积木①）而不触碰其它积木，在不倾倒的前提下，如图2，积木①可延伸的最远长度是________厘米． ②如图2，保持积木②和积木①的相对位置不变，按图2中手指方向推动积木①②的组合，那么积木①②组合的最远延伸长度是________厘米． ③在第（2）小题的基础上，保持积木①、②、③的相对位置不变，按图3中手指方向推动积木①②③的组合，求积木①②③的组合的最远延伸长度． (2)如果取n块长度为10厘米的相同积木，按照上述的堆叠方式，设上方的块积木的组合可以延伸的最大长度为y厘米，用含n的代数式表示y． 【答案】(1)①5；②7.5；③ (2) 【详解】（1）设积木的长厘米， ①设积木①的重心偏离积木②的重心的距离为，则厘米， 故答案为：5； ②设积木②的重心偏离积木③的重心的距离为， 则， ∴厘米， ∴积木①②组合的最远延伸长度是厘米， 故答案为：7.5； ③设积木③的重心偏离积木④的重心的距离为， 则， ∴厘米， ∴积木①②③组合的最远延伸长度是厘米 （2）解：由（1）可知： ． 64．(24-25七下·上海闵行区莘光学校·期中)中，，点分别是边的点，点是直线上一动点，连接，设． (1)如图1，若点在线段上，且，则___________； (2)当点在线段上运动时，依题意补全图2，用等式表示与的数量关系（用含的式子表示），并证明； (3)当点在线段的延长线上运动时，请直接用等式表示与的数量关系（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或． 【详解】（1）解：；理由如下； 连接，如图1所示 ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 故答案为：； （2）补全图形如图2所示； ，证明如下： 连接PC，如图3所示： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； ∴； （3）分三种情况： ①如图4所示： 连接， 由三角形的外角性质得： ， ∴， 即； ②如图5所示： 连接， 由三角形的外角性质得： ， ∴， 即； ③如图6所示：在同一条直线上，连接， 由三角形的外角性质得： ， ∴； 综上所述：如果点在线段的延长线上运动， 与之间的数量关系是或或． 65．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 【答案】(1)四边形的外角和是360度，过程见解析 (2)四边形的外角和是360度，过程见解析 (3)多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如见解析 【详解】（1）解：四边形的外角和是360度，过程如下： 如图：连接 ∵， ∴四边形的内角为： ． （2）解：四边形的外角和是360度，过程如下： ∵，， ∴ ． （3）解：结论1：多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如下： 结论1：如图： 将n边形分成n个三角形，则n边形的内角和为； 结论2：n边形的每个顶点由外角与相邻内角是邻补角，则n边形的外角和为： ． 66．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 【答案】(1) (2) (3)当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 【详解】（1）解：∵在中，，， ∵的邻三分线交于点， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵在中，是的邻三分线，是的邻三分线 ∴ ∵ ∴ ∴ （3）分为两种种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ； 综上所述，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 67．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D， ∴∠EAD=∠B， ∴，故①正确； ∴∠AGK=∠CKG， ∵∠CKG=∠CGK， ∴∠AGK=∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵， ∴， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使，就要使且， ∴就要GD=GC， 但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC， ∴故③错误； 设∠AGM=α，∠MGK=β， ∴∠AGK=α+β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK=∠AGK=α+β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM=∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK， ∴37°+α=β+α+β， ∴β=18.5°， ∴∠MGK=18.5°，故④错误， 故选：C． 68．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 69．【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点E作． ∴（）． ∵， ∴． ∵（）， ∴（）． ∴（） ∵， ∴． ∴（）° 【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数． 【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系． 【详解】解：【阅读理解】如图②，过点E作． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（∠DCE） ∵， ∴． ∴（100）°． 故答案是：两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；100． 【问题迁移】如图，过点P作PQ//DE． ∴∠EPQ＝∠DEP＝40°． ∵DE//FG， ∴PQ//FG． ∴∠FPQ＝∠GFP＝30°． ∴∠EPF＝∠EPQ＋∠FPQ＝70°． 【拓展应用】当点P在线段DG上，过点P作PQ//DE， ∴∠EPQ=∠DEP=， ∵DE//FG ∴PQ//FG ∴∠FPQ=∠GFP= ∴∠EPF=∠EPQ+∠QPF=； 当点P在线段DG的延长线上时， ∴∠FHE=∠DEP=， ∵∠EPF=∠FHE-∠PFA， ∴∠EPF=． ∴∠EPF＝或∠EPF＝． 70．课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图2，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【详解】（1）解：， ，（两直线平行，内错角相等）； 故答案为：； （2）解：过C作， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①过E作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； ②过E作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， 71．已知，平分交射线于点E，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是射线上一点，过点F作交射线于点G，点N是上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P为延长线上一点，平分交于点M，若平分，，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的度数为． 72．如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)直线与的位置关系是垂直．理由见解析 (2)当时，使得． (3)或 【详解】（1）解：直线与的位置关系是垂直．理由如下： 如图所示，与交于点O，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， 当时，根据由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与的位置关系是垂直． （2）解：如图，延长交于点G，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上分析可知：时，使得． （3）解：由题意可知，， ①如图：当， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即当旋转时，中有两个角相等．    ②当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即当旋转时，中有两个角相等；    综上所述：中有两个内角相等，此时旋转角的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $