上海科技大学附属学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 立足七年级下册核心知识，融合3nm芯片科技情境与“闪亮分割”新定义题型，实现基础巩固与思维提升的分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题18分|等腰三角形判定、全等三角形性质|结合尺规作图痕迹分析角的关系（第3题）| |填空题|12题24分|科学记数法（3nm芯片）、新定义“闪亮分割”|以中科院激光光源突破为背景考查科学记数法（第11题）| |解答题|8题58分|全等证明、动态几何探究|第26题通过分类讨论等腰三角形存在性，培养推理意识与创新思维|

上海科技大学附属学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 2．（3分）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则它的周长是（　　） A．25或20 B．25 C．20 D．15 3．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝（　　） A．30° B．70° C．80° D．100° 4．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，如果∠B＝70°，那么以下结论中，错误的是（　　） A．∠CAD＝20° B．AD⊥BC C．△ABD的面积是△ABC面积的一半 D．△ABD的周长是△ABC周长的一半 5．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，则以下结论错误的是（　　） A．直线AD是线段BC的垂直平分线 B．∠APO+∠DCO＝30° C．△OPC是等边三角形 D．AB＞AO+AP 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2分）比较大小：4　 　 ．（填“＞”或“＜”） 8．（2分）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　 　 ． 9．（2分）已知1.732，5.477，那么　 　 ． 10．（2分）如果和互为相反数，那么xy的立方根是　 　 ． 11．（2分）2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（DUV）激光光源系统，理论上可支撑3nm芯片制造工艺．已知1nm＝0.0000001cm，则3nm用科学记数法表示为　 　 cm． 12．（2分）大于且小于的整数的和是　 　 ． 13．（2分）一个正数a的平方根是2x﹣1与2﹣x，则2﹣a的值是　 　 ． 14．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　 　 ． 15．（2分）如图，MN是△ABC中AC边的垂直平分线，已知△ABC与△BCM的周长分别为22cm和14cm，则CN的长为　 　 cm． 16．（2分）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　 （填番号） 17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 18．（2分）用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 　 　 ．（至少写出两种情况） 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．（6分）计算：． 20．（6分）若x，y是有理数，且满足． （1）求x，y的值； （2）求x+2y的平方根． 21．（6分）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 22．（7分）已知，如图，AD，CE相交于点G，且AD⊥CE． （1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线，垂足为点H，交AE的延长线于点B，交CD于点F；（保留作图痕迹，不写作法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若∠C＝∠ABF，求证：△ABH≌△DFH． 23．（7分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E是BC的中点，BF∥AC交DE的延长线于点F． （1）试说明：△CDE≌△BFE； （2）若CA＝CB，CE＝6，BF＝4，求AD的长． 24．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞EF． 25．（8分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F． （1）补全图形； （2）求证：△BDF是等腰三角形； （3）求证：AB+BD＝2AC． 26．（12分）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 上海科技大学附属学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【解答】解：A、∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， 不能说明△ABC为等边三角形， 故A不符合题意； B、∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， 故B符合题意； C、∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故C不符合题意； D、AB＝AC， △ABC不一定是等边三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 2．（3分）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则它的周长是（　　） A．25或20 B．25 C．20 D．15 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分两种情况： 当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形； 当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 3．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝（　　） A．30° B．70° C．80° D．100° 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝80°，由作法可知，AD是∠BAC的平分线，得到，由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线，得到∠B＝∠FCB＝30°，再由三角形外角定理即可得出结果． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠BCA＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝80°． 由作法可知，AD是∠BAC的平分线， ∴， 由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠B＝∠FCB＝30°， ∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝70°﹣30°＝40°， ∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝40°+40°＝80°． 故选：C． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，如果∠B＝70°，那么以下结论中，错误的是（　　） A．∠CAD＝20° B．AD⊥BC C．△ABD的面积是△ABC面积的一半 D．△ABD的周长是△ABC周长的一半 【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC＝180°＝70°﹣70°＝40°，由等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD∠BAC＝20°，AD⊥BC，由三角形面积公式得到△ABD的面积是△ABC面积的一半，△ABC周长的一半＝AB+BD，△ABD的周长＝AB+BD+AD，得到△ABD的周长不是△ABC周长的一半， 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°＝70°﹣70°＝40°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD平分∠BAC， ∴∠CAD∠BAC＝20°， 故A不符合题意； ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， 故B不符合题意； ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的面积是△ABC面积的一半， 故C不符合题意； ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AB+BD＝AC+CD＝△ABC周长的一半， ∵△ABD的周长＝AB+BD+AD， ∴△ABD的周长不是△ABC周长的一半， 故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 5．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意； B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意； C、如图： ∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF， ∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF， ∵∠B＝∠DFE＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝FC，∠B＝∠C， ∴△DBF≌△FCE（ASA）． 根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意； D、如图： 由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理． 6．（3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，则以下结论错误的是（　　） A．直线AD是线段BC的垂直平分线 B．∠APO+∠DCO＝30° C．△OPC是等边三角形 D．AB＞AO+AP 【分析】由三线合一即可判断A；利用等边对等角得∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，即可判断B；证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；从而判断C；证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AC＝AE+CE＝AO+AP，即可判断D选项． 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC， ∴直线AD是线段BC的垂直平分线，故A正确； 如图所示，连接OB， ∵∠BAC＝120°， ∴BD＝CD，， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故B正确， ∴∠APC+∠DCP＝180°﹣∠ABD＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝150°﹣30°＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝180°﹣120°＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形．故C正确； 如图，在AC上截取AE＝PA，连接PE， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP，故D错误， 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（2分）比较大小：4　＞　 ．（填“＞”或“＜”） 【分析】本题利用平方法比较两个正实数的大小，分别计算两数的平方，通过比较平方的大小得到两数的大小关系，再结合不等式的性质即可得出结果． 【解答】解：∵3＜4， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查实数大小比较，熟练掌握此方法是解题的关键． 8．（2分）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　72°　 ． 【分析】根据全等三角形的对应角相等即可得出结论． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 9．（2分）已知1.732，5.477，那么　54.77　 ． 【分析】先将原式变形为，进而得出答案． 【解答】解：1010×5.477＝54.77． 故答案为：54.77． 【点评】本题主要考查算术平均数，熟练掌握其知识点是解题的关键． 10．（2分）如果和互为相反数，那么xy的立方根是　2　 ． 【分析】根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出x，y的值，进而求出xy的立方根即可． 【解答】解：根据题意，得， ∵，， ∴1﹣2x＝0，y﹣16＝0， ，解得， ∴xy8， ∵8的立方根是2， ∴xy的立方根为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，正确计算是解题的关键． 11．（2分）2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（DUV）激光光源系统，理论上可支撑3nm芯片制造工艺．已知1nm＝0.0000001cm，则3nm用科学记数法表示为　3×10﹣7 cm． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1厘米＝10000000纳米， 3纳米＝0.0000003厘米＝3×10﹣7厘米． 故答案为：3×10﹣7． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（2分）大于且小于的整数的和是　2　 ． 【分析】先找出大于且小于的整数，然后再根据有理数的加法运算法则计算即可． 【解答】解：大于且小于的整数有：﹣1，0，1，2， ∴这些整数的和为：﹣1+0+1+2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了实数的大小比较，有理数的加法，掌握实数的大小比较方法，有理数的加法运算法则是解题的关键． 13．（2分）一个正数a的平方根是2x﹣1与2﹣x，则2﹣a的值是　﹣7　 ． 【分析】根据正数的平方根互为相反数列方程求出x的值，进而求出a的值，再代入代数式计算即可求解． 【解答】解：根据题意，正数a的平方根为2x﹣1和2﹣x． 由于一个正数的两个平方根互为相反数， 因此有：（2x﹣1）+（2﹣x）＝0， 解得：x＝﹣1， 将x＝﹣1代入2x﹣1， 得：2x﹣1＝2（﹣1）﹣1＝﹣3， ∴a的平方根为﹣3和3，即a＝9． ∴2﹣a＝2﹣9＝﹣7． 【点评】题目考查了平方根，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 14．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　60°或120°　 ． 【分析】分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为60°；当顶角为锐角时，可求得顶角为60°；可得出答案． 【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°； 综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°． 故答案为：60°或120°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键． 15．（2分）如图，MN是△ABC中AC边的垂直平分线，已知△ABC与△BCM的周长分别为22cm和14cm，则CN的长为　4　 cm． 【分析】根据中垂线性质得到MA＝MC，AN＝NC，结合三角形周长列式求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：MA＝MC，AN＝NC， ∵△ABC与△BCM的周长分别为22cm和14cm， ∴C△ABC＝AC+BC+AB＝22cm；C△BCM＝CM+BC+BM＝MA+BM+BC＝BC+AB＝14cm， ∴AC＝22﹣14＝8cm， ∴， 故答案为：4． 【点评】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质、三角形周长等知识，根据周长得到线段之间的关系是解决问题的关键． 16．（2分）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　①②④　 （填番号） 【分析】由已知条件，得到线段相等，角相等，可得到三角形全等，利用三角形全等求对应边，对应角相等求得其它结论． 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，A，C，B三点不共线时①正确 A，C，B三点共线时①也成立，由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确 假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误； ∵∠DBC+∠CDB＝60°，∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确， ∴A，C，B共线时①②④正确 ∴正确的有①②④ 【点评】本题考查了等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质．能够用全等求解边相等，角相等． 17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【分析】连接AD，AE，根据三角形的中线定义可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，然后利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2AB•EMAC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2分）用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 　22.5°或18°或36°或45°　 ．（至少写出两种情况） 【分析】根据题意，画出每一种“闪亮分割”下的图形，共分为4类情况，①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD；当这个三角形如图4所示时，且∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC． 【解答】解：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC， 设∠B＝x且为Rt△ABD最小内角，则由题意得∠ACD＝∠CAD＝2x，∠BAD＝90°﹣x， 由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°， 即x+2x+2x+90°﹣x＝180°，解得：x＝22.5°， 则△ABC中最小内角为22.5°； ②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC， 设∠BAD＝y且为Rt△ABD中最小内角，则由题意得∠B＝90°﹣y，∠C＝∠CAD＝2y， 由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°， 即90°﹣y+y+2y+2y＝180°，解得：y＝22.5°， 则△ABC中最小内角为∠C＝2×22.5°＝45°； ③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD， 设∠C＝z且为Rt△ADC中最小内角，则由题意可得∠B＝∠BAD＝2z， 由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°， 即2z+2z+90°+z＝180°，解得：z＝18°， 则△ABC中最小内角为18°； ④当这个三角形如图4所示时，且∠A＝90°， CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC， 设∠ACD＝m且为Rt△ADC中最小内角，则由题意可得∠B＝∠DCB＝2m， 由直角三角形两锐角互余可得∠B+∠BCA＝90°， 即2m+3m＝90°，解得：m＝18°， 则△ABC中最小内角为∠B＝2×18°＝36°． 综上所述，可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是22.5°或18°或36°或45°． 故答案为：22.5°或18°或36°或45°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论做到不漏解是关键． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．（6分）计算：． 【分析】先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算加减． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 20．（6分）若x，y是有理数，且满足． （1）求x，y的值； （2）求x+2y的平方根． 【分析】（1）先根据去括号法则把已知等式的左边化简，从而列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y即可； （2）把（1）中求出的x，y代入x+2y，再求出它的平方根即可． 【解答】解：（1）， ， ， ∵x，y是有理数， ∴， 把y＝3代入3x﹣7y＝9得：x＝10， ∴； （2）由（1）得， ∴x+2y＝10+2×3＝10+6＝16， ∴x+2y的平方根是±4． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 21．（6分）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 【分析】（1）根据算术平方根的定义，绝对值以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据a＜c＜b，确定a、b、c的值，再求出5a+2b﹣c的值，由立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2， ∴a＝±4，b3，3c﹣2＝﹣8， 即a＝±4，b＝3，c＝﹣2； （2）∵a＜c＜b， ∴a＝﹣4，b＝3，c＝﹣2， ∴5a+2b﹣c＝﹣20+6﹣（﹣2）＝﹣20+6+2＝﹣12， ∴5a+2b﹣c的立方根为． 【点评】本题考查算术平方根、立方根以及绝对值，掌握算术平方根、立方根以及绝对值的定义是正确解答的关键． 22．（7分）已知，如图，AD，CE相交于点G，且AD⊥CE． （1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线，垂足为点H，交AE的延长线于点B，交CD于点F；（保留作图痕迹，不写作法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若∠C＝∠ABF，求证：△ABH≌△DFH． 【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可； （2）由（1）得，BF垂直平分AD，得到∠AHB＝∠DHF＝90°，AH＝DH，然后得到CE∥BF，推出∠C＝∠BFD，等量代换得到∠BFD＝∠ABF，即可证明△ABH≌△DFH（AAS）． 【解答】解：（1）如图所示， （2）由条件可知BF垂直平分AD， ∴∠AHB＝∠DHF＝90°，AH＝DH， 由条件可知CE∥BF， ∴∠C＝∠BFD， 由条件可知∠BFD＝∠ABF， ∴△ABH≌△DFH（AAS）． 【点评】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（7分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E是BC的中点，BF∥AC交DE的延长线于点F． （1）试说明：△CDE≌△BFE； （2）若CA＝CB，CE＝6，BF＝4，求AD的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠C＝∠EBF，利用AAS证明△CDE与△BFE全等解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出对应边相等解答即可． 【解答】（1）证明：∵BF∥AC， ∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F， ∵E是边BC的中点， ∴CE＝EB， 在△CDE与△BFE中， ， ∴△CDE≌△BFE（AAS）； （2）解：∵△CDE≌△BFE， ∴BF＝CD＝4， ∵E是边BC的中点， ∴CB＝2CE＝12， ∴CA＝CB＝12， ∴AD＝CA﹣CD＝12﹣4＝8． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用AAS证明△CDE与△BFE全等解答． 24．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F．求证：BF＞EF． 【分析】在AB上截取AM＝AE，连接MF．因为AD平分∠BAC，则∠MAF＝∠EAF．利用SAS证明MAF≌△EAF，则MF＝EF，∠AMF＝∠AEF．推出∠BMF＝∠BEC．因为∠BEC＞∠ABE，则∠BMF＞∠ABE．所以BF＞MF．则BF＞EF． 【解答】解：在AB上截取AM＝AE，连接MF． ∵AD平分∠BAC， ∴∠MAF＝∠EAF． 在△MAF和△EAF中． ， ∴△MAF≌△EAF（SAS）． ∴MF＝EF，∠AMF＝∠AEF． ∴∠BMF＝∠BEC． ∵∠BEC＞∠ABE， ∴∠BMF＞∠ABE． ∴BF＞MF． ∴BF＞EF． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 25．（8分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F． （1）补全图形； （2）求证：△BDF是等腰三角形； （3）求证：AB+BD＝2AC． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的平分线，可得∠CAD＝∠BAD＝22.5°，即得∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，根据点A与点E关于直线BC对称，可得∠AFB＝90°﹣∠BAD＝67.5°，故∠BDF＝∠AFB，从而△BDF是等腰三角形； （3）过D作DK⊥AB于K，证明△ACD≌△AKD（AAS），得AC＝AK，CD＝DK，又AC＝BC，∠ACB＝90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK＝DK，即知BK＝CD，而AB＝AK+BK，有AB＝AC+CD，故AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC． 【解答】（1）解：补全图形如下： （2）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵点A与点E关于直线BC对称， ∴∠EBC＝∠CBA＝45°， ∴∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠BDF＝∠AFB， ∴BF＝BD； ∴△BDF是等腰三角形； （3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图： ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠KAD， ∵DK⊥AB， ∴∠AKD＝90°＝∠ACD， 在△ACD和△AKD中， ， ∴△ACD≌△AKD（AAS）， ∴AC＝AK，CD＝DK， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠KBD＝45°， ∴△KBD是等腰直角三角形， ∴BK＝DK， ∴BK＝CD， ∵AB＝AK+BK， ∴AB＝AC+CD， ∴AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线等知识，解题的关键是掌握对称的性质，能熟练应用全等三角形的判定与性质定理． 26．（12分）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 【分析】（1）①根据OA＝OC，∠ACO＝20°得∠CAO＝∠ACO＝20°，则∠AOC＝140°，进而得∠BOC＝100°，再根据OA＝OB，OA＝OC得OB＝OC，进而得∠OBC＝∠OCB＝40°，然后根据OA＝OB，∠AOB＝120°得∠OBA＝∠OAB＝30°，由此可得∠ABC的度数； ②根据CO平分∠ACB，设∠OCA＝∠OCB＝α，则∠ACB＝2α，根据OA＝OC得∠OAC＝∠OCA＝α，根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝α，则∠CAB＝30°+α，∠CBA＝30°+α，再根据三角形内角和定理得2α+30°+α+30°+α＝180°，则α＝30°，进而得∠ACB＝2α＝60°，∠CAB＝30°+α＝60°，∠CBA＝30°+α＝60°，由此可判定△ABC的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线BC与线段AO交于点D时，设∠OCB＝β，则∠DOC＝∠OCB＝β，∠COB＝β+120°，再根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝β，再根据三角形内角和定理得β+β+120°+β＝180°，则β＝20°，②当直线BC与AO的延长线交于点D时，设∠OCB＝θ，则∠DOC＝∠OCB＝θ，再求出∠BOD＝60°，得∠COB＝θ+60°，根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝θ，再根据三角形内角和定理得θ+θ+θ+60°＝180°，则θ＝40°，综上所述即可得出∠OCB的度数． 【解答】解：（1）①在△OAC中，OA＝OC，∠ACO＝20°， ∴∠CAO＝∠ACO＝20°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠CAO+∠ACO）＝140°， 又∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOC+∠AOB）＝100°， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， 在△BOC中，OB＝OC，∠BOC＝100°， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣∠BOC）＝40°； ②△ABC为等边三角形，理由如下： 如图1所示： ∵CO平分∠ACB， ∴设∠OCA＝∠OCB＝α，则∠ACB＝2α， 在△OAC中，OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝α， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝α， 在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OBA＝∠OAB（180°﹣∠AOB）＝30°， ∴∠CAB＝∠OAB+∠OAC＝30°+α，∠CBA＝∠OBA+∠OBC＝30°+α， 在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴2α+30°+α+30°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠ACB＝2α＝60°，∠CAB＝30°+α＝60°，∠CBA＝30°+α＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）∠OCB的度数为20°或40°，理由如下： ∵直线BC与直线AO相交于点D，且△COD是以DO为腰的等腰三角形， ∴有以下三种情况： ①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示： 设∠OCB＝β， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝β， ∵∠AOB＝120°， ∴∠COB＝∠DOC+∠AOB＝β+120°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝β， ∵∠OCB+∠COB+∠OBC＝180°， ∴β+β+120°+β＝180°， ∴β＝20°， 即∠OCB＝β＝20°， ②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示： 设∠OCB＝θ， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝θ， ∴∠COB＝∠DOC+∠BOD＝θ+60°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝θ， ∵∠OBC+∠OCB+∠COB＝180°， ∴θ+θ+θ+60°＝180°， ∴θ＝40°， ∴∠OCB＝θ＝40°， ③当直线AO与直线CB的延长线相交于点D时，如图3所示： 设∠BOC＝γ， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴∠AOC＝∠OCB， 在△AOC中，∠AOC+∠C+∠BOC＝180°， ∴2∠C+γ＝180°， ∴∠OCB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠DOB＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠DOC＝∠DOB+∠BOC＝60°+γ， ∵DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB， ∴， 解得：γ＝20°， ∴∠OCB80°， 综上所述：∠OCB的度数为20°或40°或80°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $