19.1.2多边形的外角及正多边形（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

19.1.2 多边形的外角 及正多边形 第十九章 四边形 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 知识回顾 (n为不小于3的整数) 多边形的内角和定理： n 边形的内角和等于 (n-2)•180° 规律总结： ① 从 n 边形一个顶点出发，可作 条对角线，这些对角线把 n 边形分成 个三角形. (n-3) (n-2) ② n 边形一共可以作 条对角线. ③ 多边形的边数增加 1， 内角和就增加 180°. 探究新知 2 1 在多边形的 叫做 . 每个顶点处 取多边形的一个外角， 它们的和 C A B D 3 4 如： ∠1+∠2+∠3+∠4 四边形ABCD的外角和是 思考：多边形的外角和又有怎样的规律呢？ 上面研究了多边形的内角和. 多边形的外角和 探究新知 3 2 三角形的外角和是多少度? 你是怎样探究出来的？ A B C 探究 1 1 整体思路： 1.先求3个外角+3个内角的和 2.再减去三角形的内角和 ∴ 三角形的外角和是： 又∵ 三角形的内角和是： 证明： ∴ 3个外角与3个内角的和是： ∵ 三角形的每个外角与它相邻的内角互补 3×180°-180° 180° 3×180° =360° 探究新知 那么你能研究出四边形的外角和吗？ 探究 2 整体思路： 1.先求4个外角+4个内角的和 2.再减去四边形的内角和 ∴ 四边形的外角和是： 又∵ 四边形的内角和是： 证明： ∴ 4个外角与4个内角的和是： ∵ 四边形形的每个外角与它相邻的内角互补 4×180° (4-2)×180° 4×180° =360° 2 1 C A B D 3 4 -(4-2)×180° 探究新知 A1 A3 A2 An A4 A5 探究 3 2 1 3 4 5 整体思路： 1.先求n个外角+n个内角的和 2.再减去n边形的内角和 你能求出n边形的外角和是多少度吗？ ∴ n边形的外角和是： 又∵ n边形的内角和是： 证明： ∴ n个外角与n个内角的和是： ∵ n边形的每个外角与它相邻的内角互补 n×180° (n-2)×180° n×180° =360° -(n-2)×180° 归纳总结 一个外角相加而得到的， (n为不小于3的整数) 多边形的外角和定理： n边形的外角和等于 360° 注意： ② 多边形的外角和 都等于360°， ① 多边形的外角和是 而不是所有外角相加的和. 取每一个顶点处的 与边数无关， 是一个定值. 观察思考 认真观察下面一组图形，它们有什么共同特点？ 特点： 它们的各个内角都相等 它们的各条边都相等 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 这样的多边形叫做 . 正多边形 各个内角都相等， 多边形中， 如果各条边都相等， 对应练习 (1) 各条边都相等的多边形是正多边形. 正多边形的特点： 2.各个内角都相等 1.各条边都相等 二者缺一不可 菱形 长方形 下列图形是不是正多边形？ 由上面的结论判定下列说法正确吗？ (2) 各个角都相等的多边形是正多边形. × × × × 归纳总结 每个内角的度数 正四边形 正五边形 正六边形 正n边形 正三角形 正多边形 内角和 每个外角的度数 … (n-2) ·180° (6-2)×180° (5-2)×180° (4-2)×180° 180° =360° =540° =720° 180°÷3 =60° 360°÷4 =90° 540°÷5 =108° 720°÷6 =120° (n-2) ·180° n 360°÷3 =120° 360°÷4 =90° 360°÷5 =72° 360°÷6 =60° 360° n … … … 归纳总结 ① 正 n 边形的每一个内角 (n-2) ·180° n ② 正 n 边形的每一个外角 360° n 且都等于 都相等， 都相等， 且都等于 对应练习 1、求正十二边形的每个内角和每个外角的度数？ 解： 正十二边形的每个内角的度数为 (12-2)×180° =150° 每个外角的度数为 360° 12 =30° 12 对应练习 2、一个多边形，每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形，它的内角和是多少？ 解： ∵ 多边形的外角和是360°， 360°÷45° ∴ 多边形的边数为 =8 ∴ 这个多边形的内角和为 (8-2)×180° =1080° 且每一个外角都等于45° 规律总结： 正多边形的边数= 360° ÷ 一个外角的度数 对应练习 3、若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）. A.6 B.12 C.16 D.18 B 4、如图，小华从点A出发，沿直线前进 10 m后左转 24°，再沿直线前进 10 m，又向左 24°，······，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是 米. 24° 24° 150 对应练习 5、一个正多边形每一个内角比每一个外角的 3 倍还大 20°，求这个正多边形的内角和. 解： 设多边形的边数为 n. (n-2) ·180° n 360° n 3× +20° 根据题意，得 解得 n=9 ∴ 这个多边形内角和为 = （9-2) ·180° = 1260° 则其每个内角的度数为 (3x +20°）. 方法2： 设这个多边形的每一个外角的度数为 x ， 根据题意，得 (3x +20°）+x =180° 解得 x=40° 360°÷40° ∴ 多边形的边数为 =9 ∴ 这个多边形内角和为 （9-2) ·180° = 1260° 思考： 三角形 三角形的各边长确定后， 三角形的形状就确定了. 具有稳定性： 四边形 即 四边形的各边长确定后， 具有不稳定性： 四边形的形状不能确定 在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，如上图，活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开，也可以收拢. 你能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？ 对应练习 1、在房屋建设过程中，四边形的木质门框容易变形，是因为 ；在实际生活中，木匠师傅通常都是采用在木质门框上斜钉木条的方式来防止门框变形，这样做的道理是 . 四边形具有不稳定性 三角形具有稳定性 对应练习 2、有一张五边形的桌面，现在锯掉它的一个角，剩下的桌面是一个几边形？它的内角和是多少？ ① 不过顶点， 内角和为720°. 增加一条边 剩下的桌面是六边形， ② 过一个顶点， 内角和为 540°. 边数不变 剩下的桌面是五边形， ③ 过两个顶点， 内角和为360°. 减少一条边 剩下的桌面是四边形， 一个多边形(除三角形外)截去一个角后，新多边形与原多边形相比，边数可能增加一，可能不变，也可能减少一. 知识拓展： 对应练习 变式 2：一个多边形过顶点减去一个角后，所得多边形的内 角和为 720°，原多边形的边数为 . 一个多边形(除三角形外)截去一个角后，新多边形与原多边形相比，边数可能增加一，可能不变，也可能减少一. 知识拓展： 变式 1：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是 2880°，则原多边形的边数是多少？ 对应练习 所得的余数就是多加的角. 即多边形的内角和为180°的整数倍， 多边形中的“多角问题” 3、小明在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出来的结果为2004°，那么这个内角的度数是多少度？这个多边形是几边形. 解： ∵ 2004°÷180°= 24° ∴ 这个角是 24°， 多边形的边数为11+2=13. ∴ 这个内角是24°，该多边形是十三边形. 分析： n边形的内角和为(n-2)·180°， 用2004°除以180°， 11 · · · · · · 对应练习 所得的余数与去掉的一个内角互补. 即多边形的内角和为180°的整数倍， 多边形中的“缺角问题” 变式：如果一个多边形，除了一个内角外，其余各内角之和等于1205°，那么这个内角的度数及多边形的边数是多少？ 解： ∵ 1205°÷180°= ∴ 去掉的内角为 多边形的边数为 6+1+2=9. ∴ 这个内角是55°，多边形的边数是9. 分析： n边形的内角和为(n-2)·180°， 用1205°除以180°， 6 · · · · · ·125° 180°-125° =55° 对应练习 总结 4、如图，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数. 解： 2 G 1 A B C D E F H ∵ ∠1=∠B+∠C ∠2=∠D+∠E ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F =∠A+∠1+∠2+∠F =(4-2)×180° 再根据多边形的内角和去解决问题. 利用外角的性质， 把分散的角集中到多边形中， =360° 感谢聆听! $