第五单元 数学广角——鸽巢问题（期中复习课件）六年级数学下学期（人教版）

单元复习课件 小学数学·六年级下册·人教版 第五单元： 数学广角——鸽巢问题 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 数学广角:鸽巢问题 鸽巢原理的基本概念 核心要素 原理本质 鸽巢原理的两种基本模型 模型1：物体数>鸽巢数（基础型） 模型2：物体数= k×鸽巢数 +r（0<r≤n，进阶型） 解题步骤（通用四步法） 鸽巢（抽屉） 物体（分配的对象） 关键词：总有、至少 单元知识框架 知识点1： 鸽巢问题 1 鸽巢原理的基本概念 1、核心要素 （1）鸽巢（抽屉）：存放物体的容器； （2）物体：需要分配的对象； （3）关键词 ①总有：一定存在、肯定有； ②至少：最少、不少于。 2、原理本质：把多于n个的物体放进n个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 知识点梳理 2 鸽巢原理的两种基本模型 1、模型1：物体数>鸽巢数（基础型） （1）结论：把m个物体放进n个鸽巢里（m>n，m、n为正整数），总有一个鸽巢里至少放进2个物体。 （2）解题关键：判断“物体数”和“鸽巢数”，明确谁是物体、谁是鸽巢。 知识点梳理 2、模型2：物体数= k×鸽巢数 +r（0<r≤n，进阶型） （1）通用公式 ①计算：物体数÷鸽巢数=商k……余数r ②结论：总有一个鸽巢里至少放进k+1个物体。 （2）核心逻辑：平均分配后，余数的物体不管怎么放，总有一个鸽巢至少多放1个。 （3）特殊情况：若余数r=0，则至少数=商k。 知识点梳理 3、解题步骤（通用四步法） （1）定鸽巢：分析题意，确定“鸽巢”的数量（如人数、颜色种类、盒子数等）； （2）数物体：确定需要分配的“物体”数量； （3）算商余：用物体数÷鸽巢数，计算出商和余数； （4）得结论：根据公式确定“至少数”，规范表述“总有一个鸽巢里至少有……”。 知识点梳理 【易错点】 （1）混淆“鸽巢”和“物体”：如摸球问题中，误把球的数量当鸽巢，颜色种类当物体。 （2）误解“至少”的含义：认为“至少数”是余数的数量，而非商+ 1（如10个物体放进3个鸽巢，10÷3=3……1，至少数是4而非1）。 （3）物体数未明确时的判定错误：如“保证摸出2个同色球”，未考虑最不利情况（先摸出所有颜色各1个，再摸1个即可）。 知识点梳理 （4）最不利原则应用失误：解决“保证……”类问题时，未先考虑“最倒霉”的情况。 （5）鸽巢数判定失误：如属相问题中，误将人数当鸽巢，忽略12个属相才是鸽巢数。 知识点梳理 【典型例题1】在一次体育课上，10名学生进行投篮练习，他们一共投进了61个球，他们中总有一名学生至少投进了（ ）个球。 先假设10名学生投进的球数尽可能平均，用总投进球数÷学生人数，得到平均每人投进的数量和剩余的球数，剩余的球需要分给其中一名学生，所以至少有一名学生投进的数量是平均数加1。 61÷10＝6（个）……1（个） 6＋1＝7（个） 考点1：基础鸽巢问题 7 重难点题型精讲 【典型例题2】五一劳动节，有51名老人在广场上载歌载舞，欢度节日，那么至少有（ ）名老人生日在同一个月。 一年有12个月，把这12个月看作12个抽屉，把51名老人看作51个整体，51÷12＝4……1，由此利用抽屉原理可知，每个抽屉有4名，还余下1名，不管放哪个抽屉里，一定至少有4＋1＝5名老人相同生日。 5 重难点题型精讲 【练习1】将13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里，至少放进（ ）。 A．3本书 B．4本书 C．5本书 D．11本书 把13本书放进3个抽屉中，13÷3＝4（本）……1（本），即平均每个抽屉放入4本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进4＋1＝5本书。 C 变式巩固练习 【练习2】一年一度的艺术节即将到来，六年级8个班需要准备30幅绘画作品，不管怎样分配，总有1个班至少得上交（ ）幅作品。 把8个班看作8个抽屉，把30幅绘画作品看作30个元素，利用抽屉原来最差情况：要使每个抽屉里的作品最少，只要使每个抽屉里的元素尽量平均分即可。 30÷8＝3（幅）……6（幅） 3＋1＝4（幅） 4 变式巩固练习 【典型例题1】把31个桃子最多放进（ ）个盘子里，才能保证有一个盘子里至少放进6个桃子。 A．3 B．4 C．5 D．6 可以利用公式：（分的物品总数－1）÷（其中一个抽屉里至少有的物品个数－1）＝a……b（a、b均为自然数，且b＜a），则a就是所求的抽屉数。 （31－1）÷（6－1） ＝30÷5 ＝6（个） 考点2：鸽巢问题的进阶 D 重难点题型精讲 【典型例题2】把一堆书放进12个抽屉里，怎么放总有一个抽屉里至少有5本书，那么这堆书最少有（ ）本书。 鸽巢原理公式：物体个数÷鸽巣个数＝商……余数，只要有余数，那么至少个数＝商＋1。那么本题中的鸽巢个数是12，至少个数是5，逆用公式可得到商是4。当余数最小即为1时，物体个数是最少的。 12×(5-1)+1 =12×4+1 =49（本） 49 重难点题型精讲 【练习1】实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 一定有一个人至少拿4个，那么其他人至少少拿1个，也就是每人拿3个；当每个人拿3个时，10个人刚好拿完30个球，不存在一定有一个人需要多拿，则人数应该比10个人少。 当篮球队有10名队员时，30÷10＝ 3（个），此时每个队员拿3个可一次抱走； 当篮球队有9名队员时，30÷ 9＝3（个）……3（个），此时需要有队员拿3＋1＝4（个）可一次抱走。 9 变式巩固练习 【练习2】桌上放有同样的30支铅笔和30块橡皮。来了一群学生，每人从这60个文具中拿一个或两个，至少有5人拿到的文具完全相同，这群学生至少有（ ）人。 每人拿走1个或者2个，则只有1支铅笔，1块橡皮，2支铅笔，2块橡皮，1支铅笔和1块橡皮5种不同的情况；根据鸽巢原理，假设每种情况都有4个人，只要再多1个人则保证至少有5人拿到的文具完全相同。 5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（人） 21 变式巩固练习 【典型例题1】鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出（ ）条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。 考虑最倒霉的情况，捞出5种鱼，每种鱼都是2条，再捞一条，无论什么品种，都可保证有3条鱼的品种相同。 5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（条） 考点3：最不利原则 11 重难点题型精讲 【典型例题2】有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出（ ）个，才能保证有6个小球是同色的。 根据题意，袋子里有红、黄、白三种颜色的小球各10个，运气最差的情况为每种颜色的小球各摸出5个，再摸出一个任意颜色的球就能保证有6个小球是同色的。 5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 16 重难点题型精讲 【练习1】明明玩投骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的点数至少有2次是相同的，明明至少应该掷（ ）次。 A．5 B．6 C．7 D．8 骰子有6个面，每个面的点数不同，能掷出6种结果；假设运气最差的情况，先掷出的6次都是不同的点数，此时再掷出1次，就会出现2个相同的点数，所以至少要掷出6＋1＝7次。 C 变式巩固练习 【练习2】黑色袋子中装有同一型号的4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色不同的铅笔，至少要摸出（ ）支铅笔。 把红铅笔、黄铅笔和蓝铅笔看作是三个抽屉，4＋6＋5＝15；15只铅笔看做是15个元素，根据抽屉原理，考虑最差情况：摸出11支铅笔中，6支黄铅笔和5支蓝铅笔，那么再任意摸出一支就是红铅笔。 6＋5＋1 ＝11＋1 ＝12（支） 12 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $