2026年九年级数学中考专题复习课 ---逆等线模型中的最值转化课件

专题复习课 ---逆等线模型中的最值转化 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 整体建构 解决几何最值问题，不仅要应用转化思想化繁为简解决问题，也要对其本质深入理解。我们应用了哪些基本依据解决了哪些几何最值问题？ 依据 几何最值 本质 转化 两点之间 线段最短 点到直线 垂线段最短 三角形的 三边关系 点点最值 点线最值 点圆最值 将军饮马 费马点 胡不归 瓜豆原理 （线型） 辅助圆 阿氏圆 瓜豆原理 （圆型） 2 学习目标 1. 通过问题导引，能画图构造图形解决双动点-等线段-单线段最值问题，归纳解题方法； 2. 通过小组合作，类比将军饮马问题，解决双动点-等线段-双线段和最值问题，归纳解题思路； 3. 通过学习测评，能灵活应用所学解决逆等线几何最值问题。 3 任务一 探究双动点-等线段-单线段最值问题，归纳解题方法 问题情境1 如图，在△ABC中，M、N为动点，AM=CN，求MN的最小值。 问题1 观察图形，你能获取哪些信息？ 双动点 等线段 单线段求最值 问题2 如图，将MN平移至CM′的位置，连接AM′，MM′，请你探究点M′的运动轨迹. M′ 解：∵MN平移至CM′， ∴MM′∥CN，MM′=CN， ∴∠CMM′=∠ACB， ∵AM=CN， ∴MM′=AM， ∴∠MAM′=∠MM′A ∵∠CMM′是△AMM′的外角， ∴∠CMM′=∠MAM′+∠AM′M=2∠CAM′， ∴∠ACB=2∠CAM′， 问题3 若∠ACB=2α，AC=m，求MN的最小值（用含α、m的式子表示） D 解：过点C作CD⊥AM′于点D， 当点M′在点D处时，MN最小， 即MN最小值=CM′=msinα 2α α 4 探究问题 问题情境2 改变构图，如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，A、D为动点， AB=CD，求BD的最小值。 问题4 你能说出点A的运动轨迹吗？ 根据直径对直角，点A的运动轨迹是以BC为直径的圆 问题5 从条件出发，请你构造图形，探究点D的运动轨迹。（提示：过点C作∠ACE=∠ABC，在CE上截取线段，构造全等三角形） 解：在CE上截取线段CF=BC，连接DF， F E 在△ABC和△DCF中， ∵AB=CD，∠ABC=∠DCE，BC=CF， ∴△ABC≌△DCF（SAS），∴点D的运动轨迹是以CF为直径的圆。 5 探究问题 问题6 若BC=n，求BD的最小值（用含n的式子表示） F E 解：设线段CF的中点为O，连接OB交AC于点G，当点D在点G处时BD最小， O G 6 归纳生成 逆等线问题在图形上有什么特征？解决单线段最值问题用到了哪些方法？ M′ D F E O G 特征： 双动点 等线段（逆向分布，无端点） 解法 ： 平移 确定点的运动轨迹 垂线段最短求点线最值 构造全等三角形 三角形三边关系求点圆最值 7 ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=∠ACB-∠NCN′ =60°－30°=30°， 当点N′在点D处时，AN′最小， 即MN的值最小， 学习测评 1. 如图，等边△ABC的边长为6，M、N分别是AC、BC上的动点，AM=CN，求MN的最小值。 N′ D 解：平移MN至AN′，连接NN′，CN′，过点A作AD⊥CN′于点D ∵MN平移至AN′， ∴AM=NN′，AM∥NN′， ∴∠BNN′=∠ACB=60°， ∵AM=CN， ∴NN′=CN， ∴∠NN′C=∠NCN′， ∵∠BNN′是△CNN′的外角， ∴∠BNN′=∠NN′C+∠NCN′， ∴∠NCN′=30°， ∴点N′在直线CN′上运动， 8 学习测评 2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴正半轴上，且 A（，0），B（，0），点C为动点，满足∠C=60°，P是边AC上一点，且满足AP=BC，连接BP，当BP取得最小值时，求点P的坐标。 D E O P 解：过点A作∠CAD=∠ABC，在AD上截取AE=AB，连接PE， 9 任务二 探究双动点-等线段-双线段和最值问题，归纳解题思路 问题情境3 如图，在△ABC中，M、N为动点，AM=CN，确定动点的位置，使AN+BM和最小。 问题7 类比将军饮马的解法，说一说你的解题思路是什么？ 将线段AN和BM拼接成首尾相连，转化为将军饮马最值问题 问题8 请你画图构造图形，解决问题。 （提示：从点A处作线构造全等三角形） D E 解：过点A作AD∥BC，在AD上截取AE=AC，连接ME ∵AD∥BC， ∴∠ACN=∠EAM， 在△ACN和△AEM中， ∵AM=CN，∠ACN=∠EAM，AC=AE， ∴△ACN≌△EAM（SAS） ∴AN=EM， ∴AN+BM=BM+EM， ∴当点B、M、E三点共线时，BM+EM最小，即AN+BM和最小。 M 10 问题探究 问题9 你能从点C处画图构造全等三角形探究解决问题吗？ F G 解：作∠BCF=∠BAC，在CF上截取CG=AB，连接GN， 在△ABM和△CGN中， ∵AM=CN，∠NCG=∠BAM，AB=CG， ∴△ABM≌△CGN， ∴BM=GN， ∴AN+BM=AN+NG， ∴当点A、N、G三点共线时，AN+NG最小，即AN+BM和最小。 N 11 ∵∠BAM=∠DCN， ∴△ABM∽△CEN， ∴EN=k·BM， ∴AN+k·BM=AN+NE， ∴当点A、N、E三点共线时，AN+NE和最小，即AN+k·BM和最小。 问题探究 问题情境4 改变条件，在△ABC中，M、N为动点，CN=k·AM，确定动点的位置，使AN+k·BM和的最小。 。 问题10 类比前面的探究过程，请你画图构造图形，解决问题。 D E 解：作∠BCD=∠BAC，在CD上截取CE=k·AB，连接NE， 加权逆等线几何最值问题 12 归纳生成 在解决逆等线（加权）双线段最值问题的一般解题思路是什么？ D E M F G N 思路： ① 确定三角形：找一个由逆等线和定线段组成的三角形； ②构造全等三角形：从另一逆等线的定点引线，构造全等（相似）三角形； ③转化求值：将问题转化为异侧型将军饮马问题。 13 当y=0时， x2-2x-3=0， 解得x1=3，x2=-1， ∴点A（-1，0）， 点B（3，0）， 当x=0时，y=-3， ∴点C（0，-3）， ∴OB=OC=3， ∴∠OCB=45°， ∴∠ECN=45°， 在△OCM和△FCN中， ∵OC=CF，∠OCM=∠FCN，CM=CN， ∴△OCM≌△FCN， ∴CF=OC=3，OM=FN， ∴OM+BN=FN+BN， 学习测评 1. （2025·威海改编）如图，函数y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴与抛物线交于点D，点M在线段BC上，点N在CD上，连接OM，BN， 满足CM=CN，求OM+BN的最小值。 E F 解：过点C作∠ECN=∠OCM，在CE上截取CF=OC，连接NF， 14 学习测评 2. （广东·中考）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，点E为线段BD上一动点（不与B，D重合），点F在边AD上，且BE=DF，求CE+CF的最小值。 M N 15 转 化 转 化 转 化 课堂小结 1. 本节课你学到了哪些知识？学到了哪些数学思想方法？ 逆等线几何最值问题 双动点-等线段-单线段最值问题 双动点-等线段-双线段和最值问题 点到直线垂线段最短 三角形的三边关系 两点之间线段最短 点线最值 点圆最值 点点最值 数 形 结 合 数 学建模 16 对标自评 对标自评 夺星 我的困惑 1.能说出解决几何最值问题的依据； ☆ 2.能画图构造图形解决双动点-等线段-单线段最值问题； ☆ 3.能类比将军饮马问题，解决双动点-等线段-双线段和最值问题； ☆ 4.能归纳出解决逆等线几何最值问题的方法，能说出解题思路； ☆ 5.能灵活应用所学解决逆等线几何最值问题； ☆ 6.能积极参与小组合作与交流； ☆ 7.能归纳出本节课用到的知识和思想方法。 ☆ 17 课后作业 必做题： 学习任务单 实践作业： 请使用GeoGebra构造一个包含两条逆等线段（如动点D、E满足AD=CE）的动态几何图形。通过拖动动点，直观感受线段和的变化，并尝试通过几何变换（如构造全等三角形）将折线路径转化为直线，探究并验证其最小值。 18 $