第6章 03-专项6 点圆、线圆最值模型-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

专项6点圆、线圆最值模型 (2025.23) 模型1点圆距离最值 问题已知平面内一定点A和⊙0上一动点P,⊙0的半径为r,OA=d,求A,P两点之间距离的最值 情况 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外 图示 0 A(P -0 最小值 当点P在OA的延长线上（即 当，点P与，点A重合时，AP取得 当，点P在OA上（即点P 点P,处)时，AP取得最小 最小值0 处)时，AP取得最小值d-r 值r-d P 10 最大值 当，点P在AO的延长线上（即 当，点P在AO的延长线上（即 当，点P在AO的延长线上 ,点P2处)时，AP取得最大 点P2处)时，AP取得最大 (即点P,处)时，AP取得最 值r+d 值r+d 大值r+d 例1如图，正方形ABCD的边长为4，点P是以AB为直径的半圆O上一点，则CP的最小值 为 B 例1题图 第1题图 凸通关训练 1如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC的中点，以D为圆心，BD长为半径作⊙D,E是⊙D上一 点，若AB=12,BC=10,则AE的最小值为 最大值为 模型2点圆角度最值(2025.23) 类型圆上一动点、圆心与圆外一定点连线的夹角 圆上两动点与圆外一定点的连线的夹角 图示 P是⊙0上的动，点，A是⊙0外的定点 P,Q是⊙0上的动点，A是⊙0外的定，点 结论当AP与⊙O相切时，∠PAO最大 当AP,AQ都与⊙0相切时，∠PAQ最大 106 例2如图，⊙0的半径为2，点A在圆外，且0A=4,P是⊙0上的动点，则∠PA0的 度数最大为 。,此时AP的长为 模型3线圆距离最值 已知⊙0与直线1，M是⊙0上一动点，⊙0的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,求，点M到 问题 直线I的距离的最值 情况 直线1与⊙0相离 直线1与⊙0相切 直线1与⊙0相交 0. 0 图示 M 0. P(切点) 0, M 0 M M 过点0作直线1的垂线，交⊙0 P(M) 当点M为直线1与⊙0的 最小值 于，点M,当，点M运动到点M的 连接OP,当，点M与点P重合 交点（即点M1和M'处）》 位置时，点M到直线I的距离取 时，点M到直线l的距离取得最 时，点M到直线1的距离 得最小值d-r 小值0 取得最小值0 【技巧点拨】若N是直线I上的动，点，则MW也在此处取得最小值，此时点N的位置为点O到 直线【的垂线的垂足 M 0 0 最大值 D 过点0作直线1的垂线， 过，点0作直线1的垂线，其反向 连接P0并延长，交⊙0于点 其反向延长线交⊙0于点 延长线交⊙0于点M2,当点MM2,当点M运动到点M2的位 M2,当，点M运动到点M, 运动到点M,的位置时，点M到 置时，点M到直线I的距离取得 的位置时，点M到直线1 直线l的距离取得最大值d+r 最大值2r 的距离取得最大值d+r 例3如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为√3，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线 PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 D 例3题图 第2题图 通关训练 2(2025邯郸丛台区校级模拟)如图，直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相切，圆心O在边AB 上，若∠C=90°，AC=6,BC=8,P,Q分别是BC与半圆O上的动点，则PQ的最大值和最小值之积 是 () 31 B. 663 C. 127 D. 115 16 16 16 107考点即时练 1.D2.乙 3.(1)A;(2)证明略. 4.(1)B;(2)①4：3：2；8：②32：(3)55 5.解：AD=DB,OC是半径， .OC⊥AB. 连接0A,则0A=0C=5. .0D=3,.AD=W0A-0D=4, ∴.AB=2AD=8 6.(1)90°：64°：64°：(2)64°：32 7.30°或150°8.2 第33节与圆有关的位置关系 ①<②=③<④相切⑤=⑥1⑦>⑧垂直 ⑨半径⑩一个①垂直②半径B一个④PB 5∠B0雪7D角平分8180：0 00E 2 @0F(②①@的答案可调换)2垂直平分32 40B50C(②④巧的答案可调换) 考点即时练 1.(1)圆上：圆外：圆内：相交：(2)相切：相离 2.(1)4:(2)2:(3)2或4 3.证明：(1)连接0C,如解图1. .·OA=OB,C为AB的中点，.OC⊥AB. 又.OC是⊙0的半径. .直线AB是⊙0的切线. B 解图1 解图2 (2)过点O作OD⊥AB于点D,如解图2. .0A=0B=13,AB=24. h0=4=1200=V0m-A0=5. ⊙0的直径为10，.⊙0的半径r为5， .OD=r,∴.AB是⊙0的切线 4.D5.50°或130°6.(1)12：(2)120°7.A8.24° 专项6点圆、线圆最值模型 例125-2【解析】如解图，连接0P,0C,0C交半圆0 于点P.“0B=2AB=2,在Rt△0BC中，0C= √0B+BC=25.CP≥0C-0P,.CP≥25-2，当点P 与点P'重合时，CP取得最小值2√5-2 B D 1.8;18【解析】当A,E,D三点在一条直线上时，线段AE 的长取得最值.BC=10,D是边BC的中点，.BD=5. ∠ABC=90°，.AD=√AB+BD=13.当点A,E在BC的 同侧时，AE有最小值，最小值为AD-DE=13-5=8:当点 A,E在BC的异侧时，AE有最大值，最大值为AD+DE=13 +5=18. 例230：2√3【解析】分析可知，当AP与⊙0相切时. ∠PA0的度数最大，如解图，连接OP.此时∠AP0=90° OP-2.0A=4.sim LPAO=0A=AP=VOP-OP 2W5,∴.∠PA0=30. D 例33【解析】如解图，连接CQ,CP,过点C作CH LAB 于点H.PQ是⊙C的切线，∴.CQ⊥PQ,PQ= √Cp-CQ=√CP2-3,当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最 小值.：△ABC为等边三角形，∴.∠B=60°，.CH=BC· sinB=2√5，.PQ的最小值为/(2√3)2-3=3. 2.B【解析】如解图，设半圆O与Rt△ABC的边AC相切于 点D,连接OD,过点O作OF⊥BC于点F,交半圆O于点 E.∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=VAC+BC=10. 直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相切于点D, AO OD 1 0DLAC,0D=1,△AD0∽△ACB,ABB8A0 0s35 5 BO =:OF⊥BC,△BOF∽△BMC,BA OF 7 亿=3O上=21.当点P与点F重合，点Q与点E重合 时，0有最小值，最小值为1-？，根据圆外的点到圆 17 上的点距离最大时，需经过圆心，当点P与点B重合， 且点Q也在线段AB上时，PQ取得最大值35+1=39 4 , PQ的最大值和最小值之积为39×_663 4416 E C F P B 专项7隐形圆（辅助圆）模型 例12√I3-2【解析】如解图，连接CE..P是直线AB 上的一个动点，AE=2,AE=EF=2,点F在以点E为 圆心，AE为半径的圆上运动，.当点F在线段EC上时，FC 取得最小值在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,.CD=AB= 11