精品解析：安徽滁州市2025-2026学年高三下学期学情评估数学试卷

安微省滁州市2025-2026学年高三（下）学情评估 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知矩形，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 5. 过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，下面结论中不正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 存在点，使为等边三角形 C. 过点三点的正方体截面一定是平行四边形 D. 有且仅有一条直线与垂直 8. 已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A. B. 9 C. 7 D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的第85百分位数为85 10. 如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（ ） A. B. 对任意的， C. 数列的前项和为 D. 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交的左、右两支于两点.若是和的等比中项，且，则的离心率为______. 14. 已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. “甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 （1）完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； （2）已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 设为数列的前n项和，且，. （1）证明：数列是等差数列； （2）已知指数函数的图象过点，，求数列的前n项和. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，且底面，为棱上一点，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线C的顶点为原点,焦点F在x轴的正半轴,F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点,. （1）求抛物线方程和N点坐标； （2）已知A、B是抛物线C上的两个动点,且点A在第一象限,点B在第四象限,直线分别过点A、B且与抛物线C相切,P为的交点.设C、D为直线与直线的交点,求面积的最小值. 19. 已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． （1）求函数的单调区间； （2）设，研究函数的零点个数； （3）若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安微省滁州市2025-2026学年高三（下）学情评估 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由集合，则满足，解得， 所以，可得， 因为，所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 所以. 3. 已知矩形，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的各边的边长，再利用余弦定理即可. 【详解】在矩形，，为中点，为靠近的三等分点，则， 如图所示， 则，，， 在中，利用余弦定理可得，， . 故选：C. 4. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 5. 过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，结合渐近线的方程为，由点到直线的距离可得，，再由三角形的面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，不妨取渐近线的方程为， 则，又，故， 因为，的面积为6， 所以，解得 所以的渐近线的斜率为. 6. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的周期性和奇函数性质，依次求值即得． 【详解】因为 是奇函数，所以 ，所以， 又因为 的周期为 2，所以 ． 当时，， 故. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，下面结论中不正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 存在点，使为等边三角形 C. 过点三点的正方体截面一定是平行四边形 D. 有且仅有一条直线与垂直 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据锥体体积公式进行求解；B选项，设，，需满足与的夹角等于，建立空间直角坐标系，由夹角公式得，令，结合零点存在性定理可得B正确；C选项，画出截面图形，得到C正确；D选项，举出例子，得到不止一条直线与垂直. 【详解】A选项，点在线段上，故点到直线的距离， 故， 又点在线段上，故点到平面的距离， 故四面体的体积为，故A正确； B选项，假设存在点，使为等边三角形，故， 由勾股定理可得， 所以，故只需与的夹角等于即可， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，，则， 故， 则， 整理可得，两边平方得， 即，令， 显然在上单调递增， 其中，， 故由零点存在性定理可得，使得， 所以假设成立，故存在点，使为等边三角形，B正确； C选项，在平面中，过点作， 分别交于点，连接， 由于平面平面，故，故四边形为平行四边形， 当分别在线段和运动时，均满足四边形为平行四边形， 故过点三点的正方体截面一定是平行四边形，C正确； D选项，当分别与重合时，⊥， 又为等边三角形，所以当为的中点，与重合时，⊥， 故不止一条直线与垂直，D错误. 8. 已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A. B. 9 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． ， 又，， ． 点关于轴的对称点为， ， 所以，， 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. a的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的第85百分位数为85 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，落在组的学生最多，估计众数；C选项，求出成绩低于60分的频率，从而计算出C正确；D选项，先得到这组数据的第85百分位数落在，设第85百分位数为，从而得到方程，求出答案. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，显然落在组的学生最多，估计这组数据的众数为，B正确； C选项，成绩低于60分的频率为， 故估计成绩低于60分的有人，C正确； D选项，因为，， 故这组数据的第85百分位数落在，设第85百分位数为， 则，解得，估计这组数据的第85百分位数为，D错误. 故选：ABC 10. 如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（ ） A. B. 对任意的， C. 数列的前项和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线求解即可；选项B：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线得到，根据与的关系求出，进一步判断即可；选项C：由B求出，进而求出，结合裂项相消法求和即可；选项D：由解析式代入求解即可. 【详解】选项A：由题意易知，，则，即，解得，故A正确. 选项B：易知，即， 则，即，则， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 因为，故B错误. 选项C：，则， 所以数列的前项和为，故C正确. 选项D：，故D正确. 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接．对于A选项：由内切圆的性质求解；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质得解；对于C：设内切圆的半径为，，化简可得，通过计算得解；对于D选项：利用重心的性质及角平分线定理及余弦定理求出，通过计算得到的范围. 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为， 延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、， ，，可知， ，所以内心的横坐标为，故A正确； 对于B选项：与的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有， 其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，所以，故C错误； 对于D选项：轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则， 在中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】21 【解析】 【分析】对两边求导，再利用赋值法，令，可得，原式中令，可求得，即可求解. 【详解】对两边求导可得： ， 令，可得， 即， 又，令，可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交的左、右两支于两点.若是和的等比中项，且，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设利用双曲线的定义以及等比中项的性质解出，再利用余弦定理建立关于的等式解出即可. 【详解】由题意如图所示： 设，因为是和的等比中项，所以， 由图可知，根据双曲线的定义， 对左支上的点有：， 对右支上的点有：， 因为，所以， 由，则，即， 由，所以，因为，所以， 所以， ，又双曲线的焦距为， 所以在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以， 即， 化简得： ，所以， 所以双曲线的离心率为， 故答案为： 14. 已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__． 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件，由，结合基本不等式求解即可． 【详解】解：因为，是正实数，且满足， 则 ， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为2． 故答案为：2． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. “甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 （1）完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； （2）已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表补充如下 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 0 1 2 3 有关 （2）的分布列如下：【解析】 【分析】（1）补充列联表，根据的计算公式判断是否与性别有关即可； （2）依题意，得，利用古典概型的概率公式求出概率得到分布列，再利用数学期望的计算公式求出期望即可. 【小问1详解】 列联表补充如下 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 又， 故可判断该市市民对本次龙舟赛喜爱程度是与性别有关. 【小问2详解】 依题意，得， ，， ，， 则的分布列如下： 0 1 2 3 则. 16. 设为数列的前n项和，且，. （1）证明：数列是等差数列； （2）已知指数函数的图象过点，，求数列的前n项和. 【答案】（1） ①中，令得， 又，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 又，故，， 所以为首项为2，公差为1的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系及等差数列的定义可得； （2）求出指数函数解析式，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设，且， 将代入，得，解得，故， ， 则， 则， 上面两式相减可得 ， 所以. 17. 已知四棱锥的底面为菱形，且底面，为棱上一点，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取中点为，取中点为，连接，连接，连接交于点，连接， 因为点为中点，点为中点，所以， 因为为的中点，所以为的中点， 又因为为的中点， 所以，又平面平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，取中点为，连接，连接，连接交于点，利用中位线性质，得到为的中点，再结合中位线性质，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以的中点为原点，以为轴，为轴，过且垂直底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而利用向量法，直接求解面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以的中点为原点，以为轴，为轴， 过且垂直底面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，则，菱形中，，所以， 则， 又， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 设平面的法向量为， 则，即， 取得， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】 18. 已知抛物线C的顶点为原点,焦点F在x轴的正半轴,F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点,. （1）求抛物线方程和N点坐标； （2）已知A、B是抛物线C上的两个动点,且点A在第一象限,点B在第四象限,直线分别过点A、B且与抛物线C相切,P为的交点.设C、D为直线与直线的交点,求面积的最小值. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的标准方程为,利用点到直线距离公式可求出,再利用焦半径公式可求出N点坐标； （2）设出两点,还有方程为方程为,求出交点,还有,坐标,进而得出和,后用函数导数解决. 【小问1详解】 设抛物线的标准方程为,则. 由于 F到直线的距离为， 即，解得. 所以抛物线方程为. 又,且, 则. 故抛物线的方程为,. 【小问2详解】 设, 显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 直线， 同理可得：直线方程为, 联立方程组，解得，即, 将代入方程,可以求得的坐标分别为, 则. 可得. 设, 由知, 当且仅当时，等号成立, 可得. 设,则. 当时,；当时,, 可知在区间上单调递减,在区间上单调递增. 则时,取最小值. 所以当,即时,面积取最小值. 19. 已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． （1）求函数的单调区间； （2）设，研究函数的零点个数； （3）若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】（1）单调递减区间为：，单调递增区间为：. （2）无零点. （3）面积. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导找零点，划分区间判符号，确定单调减区间，再确定单调增区间. （2）提取公因式转化函数，求导找单调性与最小值，判断最小值恒正，推出函数恒正，故无零点. （3）先求切线方程得截距坐标，由等腰直角得边长相等，分类讨论去绝对值，构造函数求零点，算出坐标求面积. 【小问1详解】 定义域：，函数求导得. 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述, 单调递减区间为：，单调递增区间为：. 【小问2详解】 由题可知， 所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数. ，令得. ，，单调递减； ，，单调递增. 所以函数有极小值同时也为最小值. 故恒成立，所以无零点. 【小问3详解】 函数求导得. 所以，切线：. 化简得. 所以由题可知分别令可得，. 为等腰直角三角形，且，故. 即， 因为，所以化简得. 若 即 . 代入：左边 ,右边 . 此时 都与原点重合,不能构成三角形,舍去. 若两边约去 ,得： 令 ,则 ,方程变为：. 情况1: ,即 , 设 , 时, , , 单调递增. 因为 ,故唯一解 即 ,此时 ,. 等腰直角三角形面积. 情况2: ,即 , 设 , 单调递增; , , 单调递减。 函数 有极大值同时也为最大值 . 所以 恒成立,方程无解. 综上,方程只有唯一解 , , ,面积 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $