精品解析：安徽省滁州市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量监测数学试题

2025年滁州市高三第二次教学质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的实部与虚部之积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数所有零点之和为（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 10. 已知函数，，，则（ ） A. 和的图象有且只有一条公切线 B. 若恒成立，则整数的最大值为 C. 若、均大于，则 D. 关于的方程在区间内有解 11. 已知两点在曲线上，为坐标原点，则（ ） A. 关于原点对称 B. 若圆与有公共点，则 C. 存在轴上方的两点，使得 D. 若点在第一象限，则存在唯一直线，使得点到轴和到直线的距离之积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则______． 13. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为______． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为．若，，且的图象关于直线对称，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． （1）求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； （2）为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 18. 在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列． （1）求； （2）若， （ⅰ）求数列的通项公式及前项和； （ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有． 19. 已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为． （1）求的方程； （2）若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值； （ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年滁州市高三第二次教学质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而可得进行集合间的运算. 【详解】解不等式的解集为， 所以， 又，则， 则. 故选：B. 2. 已知复数满足，则的实部与虚部之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算进行化简，即可得解. 【详解】由， 则， 其实部为，虚部为， 故实部与虚部之积为， 故选：A. 3. 已知为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】由题意得. 故选：B. 4. 函数所有零点之和为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】分类求出函数的零点后可得正确的选项. 【详解】由或可得或或或， 故函数的零点之和为， 故选：C. 5. 已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式与求和公式可得解. 【详解】设数列的公比为， 则， 又，则，即， 又， 即，解得， 又，则， 所以，， 故选：C. 6. 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以. 故选：A 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可得出的单调性，可得出、、的大小关系，利用作差法可得出与的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】令，该函数的定义域为，， 由可得或，由可得， 且当时，，当时，. 所以，函数的单调递减区间为、，增区间为， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的增区间为、，减区间为， 因为，则， 因为，即， 接下来比较与的大小， 作差得， 所以，，因此，. 故选：D. 8. 如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线垂直证明线面垂线，进而证明面面垂直，结合三角形相似可得距离. 【详解】 如图所示， 取中点，中点，连接，，，， 由是等边三角形，是等腰直角三角形，， 则，，， 又，， ，，平面， 所以平面， 所以平面平面，平面平面，平面平面， 又平面，且平面，平面平面， 所以， 又平面平面，且平面平面，平面平面， 所以， 则作出平面如图所示， 设， 则， 所以， 又，， 则， 由， 所以，，， 设过点作与，分别交于点，， 则即为两平面间距离， ， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出事件结合和事件的关系可得D，根据独立事件的定义即可判断C，利用条件概率公式计算即可判断A，B. 【详解】随机事件A，B满足，，， 又， 所以，故D正确； 又， 所以不相互独立，故C不正确； ，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，，，则（ ） A. 和的图象有且只有一条公切线 B. 若恒成立，则整数的最大值为 C. 若、均大于，则 D. 关于的方程在区间内有解 【答案】BC 【解析】 【分析】设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，利用导数的几何意义可得出关于、的方程，解方程组可判断A选项；利用导数求出函数最小值的取值范围，可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用导数分析函数、在上的函数值符号，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线， 设直线切函数于点，切函数于点， 因为，则，所以，， 切线方程为，即， 因为，则，所以，， 切线方程为，即， 所以，，消去可得，解得或， 所以，和的图象有且只有两条公切线，A错； 对于B选项，若，则， 因为函数，其中，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得，即，可得， 且当时，，当时，， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以，， 由题意可得，故整数的最大值为，B对； 对于C选项， ， 因为、，则，，所以，， 所以，， 所以，，C对； 对于D选项，当时，，则， 所以，函数在上单调递增，则， ，则对任意的恒成立， 所以，在单调递减，则， 当时，对任意的，， 所以，关于的方程在区间内无解，D错. 故选：BC. 11. 已知两点在曲线上，为坐标原点，则（ ） A. 关于原点对称 B. 若圆与有公共点，则 C. 存在轴上方的两点，使得 D. 若点在第一象限，则存在唯一直线，使得点到轴和到直线的距离之积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只需证曲线上任意一点关于原点的对称也在曲线上即可.对于B，写出各个象限的曲线方程，与圆联立方程组，消所得方程有解.对于C，利用曲线关于轴对称，不妨设两点关于轴对称，从而找到的范围.对于D，不妨设直线方程为，只需要找到与点坐标无关的即可. 【详解】对于A项，设曲线上任意一点为，则关于原点的对称也在曲线上，所以关于原点对称，故A项正确. 对于B项，不妨设，则曲线，要使圆与有公共点，则，得，因为有解，且，当且仅当时等号成立，所以，其他象限同理可证，故B项不正确. 对于C项，不妨设曲线上任意一点为，则关于轴的对称也在曲线上，所以曲线关于轴对称，此时的张角可取到最大或最小，对于，，设过两点，与曲线相切的直线斜率为，同理可得，此时， 所以，因为，所以存在轴上方的两点，使得，故C正确. 对于D项，设曲线上任意一点为，则点到轴的距离，设直线为，点到直线的距离，又因为，代入得，当时，为定值，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：通过曲线可以判断出曲线关于原点和轴对称对称，那么在研究曲线的时候就可以只研究第一象限的曲线是否满足条件，从而推断出整体是否满足条件. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则______． 【答案】0.3 【解析】 【分析】根据正态密度曲线关于对称，结合概率和为1即可得到答案. 【详解】因为体重近似服从正态分布， 所以正态密度曲线关于对称， 所以， 则， 所以， 故答案为：0.3. 13. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，结合椭圆的性质和余弦定理以及二倍角的余弦公式计算出，再由离心率的公式计算可得. 【详解】由题意设， 由椭圆定义， 所以， 设， 对应用余弦定理可得，可得， 对应用余弦定理可得，可得， 又，代入并化简可得， 所以，， 所以离心率. 故答案为：. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为．若，，且的图象关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数运算可得，结合可得，利用等差数列的求和公式可求. 【详解】因为的图象关于直线对称，故， 故（为常数）， 令，则，故， 故， 而，故， 所以，所以， 所以，故 ， 在中令，则， 故 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． （1）求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； （2）为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据月用电量在内的用户数量及频率求得，再求出月用电量在区间内用户数量，进而得月用电量不低于用户数量，求出其频率即可； （2）根据分层抽样方法，求出月用电量在区间，，的居民用户数，再根据古典概率求解方法求出概率即可. 【小问1详解】 ， 月用电量在区间内的居民用户有户， 所以月用电量不低于的居民用户有户， 其频率为． 【小问2详解】 月用电量在区间，，的居民用户各有户， 按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户， 从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接交于点，连接． 在菱形中，， 因为，为的中点，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以． 在菱形中，因为，故， 又，，所以，所以． 又因为点和点分别为和的中点，所以， 所以，又因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，可得平面，从而，由勾股定理可得，结合中位线可得，故可证平面； （2）利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，在平面中，过作，垂足为， 则，而，故， 以所在直线分别为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设平面的法向量为， 由，可得令， 可得平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 故平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论其符号后可得单调性； （2）由（1）可得的最小值，令，求出的最大值后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为，， 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 若，当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 令，易知，由题意知，， 由（1）知， 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 18. 在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列． （1）求； （2）若， （ⅰ）求数列的通项公式及前项和； （ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有． 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）．； （ⅱ），，显然． ， 所以，，…，， 累加得，得证． 【解析】 【分析】（1）方法1：由及，利用等差数列基本量的运算求解即可； 方法2：先求出，然后利用化简得，将已知条件代入求解即可. （2）（ⅰ）与相减得，，利用累乘法得，即可； （ⅱ）由（ⅰ）得，进而求得，累加法结合即可证明. 【小问1详解】 方法1：，，， 由或， 于是或，所以或． 方法2：显然，则， 于是，所以， 相减得，即， 所以，，又，，解得或. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，即， 所以，相减整理得，， 所以，，…，，累乘得，， 也满足上式，所以． 所以． （ⅱ）略 19. 已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为． （1）求的方程； （2）若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值； （ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意计算出，，然后解出方程； （2）（ⅰ）由题意设直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示计算即可； （ⅱ）方法1：设点的横坐标为，由直线的方程和直线的方程结合中点坐标公式求出点的坐标为．代入双曲线方程得出，通过计算求得点的坐标； 方法2：设点的坐标为，令代入双曲线方程解得，再结合计算得．又由（ⅰ）知计算即可求出点的坐标. 【小问1详解】 由题意知，，解得，， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知．显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，． 由得． 由，，得且，，． 所以 ． 故直线和的斜率之和为定值4． （ⅱ）方法1：设点的横坐标为， 由（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为， 于是，， 所以， 所以点的坐标为． 在方程中，令，得， 所以， 所以， 可得， 所以或，又因为， 所以，所以点的坐标为． 方法2：设点的坐标为， 在方程中，令，得，所以， 所以，解得． 又，且为线段的中点，所以， 又由（ⅰ）知或（舍去）． 所以点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $