尺规作图-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

尺规作图正文 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A．DB＝DE B．AB＝AE C．DA＝DC D．∠DAC＝∠DAB 2．尺规作图：∠ABC的角平分线，如图1，图2所示、具体步骤如下： 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP．射线BP即为所求． 下列正确的是（　　） A．a≥0，bDE的长 B．a，b均无限制 C．a＞0，bDE的长 D．a有最小限制，b无限制 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，根据尺规作图的痕迹，则∠ADE的度数是（　　） A．52° B．62° C．59° D．57° 4．如图，仔细观察尺规作图的痕迹，若∠BCA＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 5．已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线PO交AB于点E，交AC于点D，若BC＝5，AC＝8，则△BDC的周长为（　　） A．9 B．10 C．13 D．18 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB上，连接DE．则下列结论错误的是（　　） A．AM＝AN B．CD＝BD C．∠CAD＝∠BAD D．DE的最小值是DC的长 8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD⊥BC． （1）求作：∠BAC的角平分线AE，交BC于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求∠EAD的度数． 9．如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点． （1）按要求画图，保留作图痕迹； ①作射线PA，作直线PB； ②延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC． （2）若（1）中的线段AB＝2cm，求出线段BD的长度． 10．在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，点E是CB边上任意一点，连接CD和AE，当∠BAE＝∠ACD时，BD与BE长度之和为AB长度．为验证此规律的正确性，小睿的思路是通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与证明： （1）在AB上方作∠BAE＝∠ACD，射线AE交BC于点E．（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求证：BD+BE＝AB． 11．如图，在三角板ABC中，D是BC上一点，现要求过点D割出一块小的三角板CDE，使∠ABC＝∠CDE， （1）尺规作出∠CDE．（不写作法，保留作图痕迹，要写结论） （2）判断AB与DE是否平行，如果是，请说明理由． 12．如图，已知四边形ABCD，其中AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）作AC的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）． 13．已知：在△ABC中，D为AC边上一点，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB于点M，交BC于点N，连接DM，DN．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若BM＝BN，求证：EM＝FN． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D． （1）用尺规作图作出AB的垂线CP，交AB于点E，交BD于点O； （2）求证：BE＝CD． 15．如图，在四边形ABCD中，BA∥CD，且，连接对角线BD，已知BD⊥CB． （1）实践与操作：利用尺规作线段CD的垂直平分线，交CD于点E，交CB于点F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接BE，判断四边形BEDA的形状，并说明理由． 16．下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O及⊙O外一点P． 求作：直线PA和直线PB，使得PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B． 作法：如图， ①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q； ②以点Q为圆心，OQ的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B； ③作直线PA和直线PB． 所以直线PA和PB就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP是⊙Q的直径， ∴∠OAP＝∠OBP＝①　 　（②　 　）（填推理的依据）． ∴PA⊥OA，PB⊥OB． ∵OA，OB为⊙O的半径， ∴PA，PB是⊙O的切线（③　 　）（填推理的依据）． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）； （2）求证：AB＝AE． 18．如图，AC为矩形ABCD的对角线． （1）作AC的垂直平分线，垂足为O，且与BC、AD相交于点E、F； （2）连接OB，AB＝3，BC＝4，求OB的长． 19．如图，在平行四边形ABCD中，点F在AD上． （1）尺规作图：过点A作BC的垂线交BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若DF＝BE，连接CF，求证：四边形AECF是矩形． 20．尺规作图问题： 已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点． 小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦…我明白了． （1）证明：小聪的作法是正确的． （2）指出小明作法中存在的问题． 21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O． （1）尺规作图：过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形AEFD是矩形； （3）连接OE，若AD＝8，EC＝3，求OE的长度． 22．如图，在菱形ABCD中，P是BC的中点，请用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画出AD的中点； （2）在图②中的对角线AC上取两个点E、F，使AE＝CF． 23．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作BD的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，判断四边形BEDF的形状并证明； （2）在（1）所作的图形中，若BC＝4，DC＝3，求EF的长． 24．如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交BD于点O，交AD，BC于点E，F． （1）填空：直线MN是BD的　 　 ； （2）求证：AE＝CF． 25．综合与实践 在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务． 作法：如图1． ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴　 　 ．（依据） 同理，得PA＝PC ∴PA＝PB＝PC ∴△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形． 任务： （1）上述过程中，横线上的结论为 　 　 ，括号中的依据为 　 　 ． （2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数． （3）如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线） 尺规作图正文+答案 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A．DB＝DE B．AB＝AE C．DA＝DC D．∠DAC＝∠DAB 【解析】根据尺规作图的痕迹可知，DE垂直平分AC，∴DA＝DC． 2．尺规作图：∠ABC的角平分线，如图1，图2所示、具体步骤如下： 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP．射线BP即为所求． 下列正确的是（　　） A．a≥0，bDE的长 B．a，b均无限制 C．a＞0，bDE的长 D．a有最小限制，b无限制 【解析】根据角平分线的画法可知：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于，否则没有交点． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，根据尺规作图的痕迹，则∠ADE的度数是（　　） A．52° B．62° C．59° D．57° 【解析】设DE交AB于点F，由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴，∠AFD＝90°，∵∠C＝90°，∠B＝28°，∴∠BAC＝62°，∴∠BAD＝31°，∴∠ADE＝180°﹣∠AFD﹣∠BAD＝59°． 4．如图，仔细观察尺规作图的痕迹，若∠BCA＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【解析】由图形可知：AD∥BC，AB平分∠DAC，∵∠BCA＝50°，∴∠DAC＝180°﹣∠BCA＝130°，∵AB平分∠DAC，∴，∵BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAD＝65°． 5．已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解析】由作图可知，作图正确的有②③． 6．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线PO交AB于点E，交AC于点D，若BC＝5，AC＝8，则△BDC的周长为（　　） A．9 B．10 C．13 D．18 【解析】由作法得DE垂直平分AB，∴BD＝AD，∴△BDC的周长为BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝8+5＝13． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB上，连接DE．则下列结论错误的是（　　） A．AM＝AN B．CD＝BD C．∠CAD＝∠BAD D．DE的最小值是DC的长 【解析】由作图过程可知，AM＝AN，射线AP为∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，故A，C选项正确，不符合题意；过点D作DF⊥AB于点F，∵射线AP为∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴CD＝DF．∵当DE与DF重合时，DE取得最小值，∴DE的最小值是DC的长，故D选项正确，不符合题意；在Rt△BDF中，BD＞DF，∴BD＞CD，故B选项不正确，符合题意． 8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD⊥BC． （1）求作：∠BAC的角平分线AE，交BC于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求∠EAD的度数． 解：（1）∠BAC的角平分线AE，如图即为所求； （2）在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠BDA＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°． 9．如图所示，已知线段AB，点P是线段AB外一点． （1）按要求画图，保留作图痕迹； ①作射线PA，作直线PB； ②延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，再反向延长AC至点D，使得AD＝AC． （2）若（1）中的线段AB＝2cm，求出线段BD的长度． 解：（1）射线PA，直线PB、线段AC、AD为所作； （2）∵AC＝2AB＝2×2＝4cm， ∴AD＝AC＝4cm， ∴BD＝AD+AB＝4+2＝6（cm）． 10．在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边△ABC中，点D是AB边上任意一点，点E是CB边上任意一点，连接CD和AE，当∠BAE＝∠ACD时，BD与BE长度之和为AB长度．为验证此规律的正确性，小睿的思路是通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与证明： （1）在AB上方作∠BAE＝∠ACD，射线AE交BC于点E．（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求证：BD+BE＝AB． （1）解：根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图，如图所示，即为所求； （2）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB，∠CAB＝∠B＝60°， 在△ACD和△BAE中， ， ∴△ACD≌△BAE（ASA）， ∴AD＝BE， ∴BD+BE＝BD+AD＝AB． 11．如图，在三角板ABC中，D是BC上一点，现要求过点D割出一块小的三角板CDE，使∠ABC＝∠CDE， （1）尺规作出∠CDE．（不写作法，保留作图痕迹，要写结论） （2）判断AB与DE是否平行，如果是，请说明理由． 解：（1）如图，∠CDE即为所求． （2）AB与DE平行，理由是同位角相等，两直线平行． 12．如图，已知四边形ABCD，其中AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）作AC的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）． 解：（1）证明：在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA（AAS）； （2）分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线，如图，EF即为所求． 13．已知：在△ABC中，D为AC边上一点，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB于点M，交BC于点N，连接DM，DN．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若BM＝BN，求证：EM＝FN． （1）解：图形如图所示： （2）证明：∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵MN垂直平分线段BD， ∴MB＝MD， ∴∠MBD＝∠MDB＝∠CBD， ∴DM∥BN， 同法可证BM∥DN， ∴四边形BMDN是平行四边形， ∵MB＝MD， ∴四边形BMDN是菱形， ∵DM＝DN， ∵DE⊥AB，DF⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL）， ∴EM＝FN． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D． （1）用尺规作图作出AB的垂线CP，交AB于点E，交BD于点O； （2）求证：BE＝CD． （1）解：过直线外一点作已知直线的垂线的方法，即可求解，如图： （2）证明：∵CE、BD是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠EBC＝∠DCB， 在△EBC和△DCB中， ， ∴△EBC≌△DCB（AAS）， ∴BE＝CD． 15．如图，在四边形ABCD中，BA∥CD，且，连接对角线BD，已知BD⊥CB． （1）实践与操作：利用尺规作线段CD的垂直平分线，交CD于点E，交CB于点F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接BE，判断四边形BEDA的形状，并说明理由． 解：（1）如图所示，直线EF即为所求． （2）四边形BEDA是菱形．理由： 由（1）可知点E为CD中点， ∵BD⊥CB， ∴∠CBD＝90°， ∵∠CBD＝90°，BE为CD边上中线， ∴BE＝DECD， ∵AB＝ADCD， ∴DE＝BE＝AB＝AD， ∵AB＝DE，AB∥CD， ∴四边形BEDA是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴平行四边形BEDA是菱形． 16．下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O及⊙O外一点P． 求作：直线PA和直线PB，使得PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B． 作法：如图， ①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q； ②以点Q为圆心，OQ的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B； ③作直线PA和直线PB． 所以直线PA和PB就是所求作的直线． 根据小石设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵OP是⊙Q的直径， ∴∠OAP＝∠OBP＝①　90°　 （②　直径所对的圆周角是直角　 ）（填推理的依据）． ∴PA⊥OA，PB⊥OB． ∵OA，OB为⊙O的半径， ∴PA，PB是⊙O的切线（③　经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线　 ）（填推理的依据）． （1）解：如图所示． （2）证明：连接OA，OB． ∵OP是⊙Q的直径， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）． ∴PA⊥OA，PB⊥OB． ∵OA，OB为⊙O的半径， ∴PA，PB是⊙O的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：①90°；②直径所对的圆周角是直角；③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形． （1）用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）； （2）求证：AB＝AE． 【解析】（1）图形如图所示： （2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB， ∴AB＝BE． 18．如图，AC为矩形ABCD的对角线． （1）作AC的垂直平分线，垂足为O，且与BC、AD相交于点E、F； （2）连接OB，AB＝3，BC＝4，求OB的长． 【解析】（1）线段垂直平分线的作法作图，如图所示，直线EF即为所求； （2）由条件可知∠ABC＝90°， ∴， ∵直线EF垂直平分线段AC， ∴AO＝CO， ∴． 19．如图，在平行四边形ABCD中，点F在AD上． （1）尺规作图：过点A作BC的垂线交BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若DF＝BE，连接CF，求证：四边形AECF是矩形． （1）解：如图所示； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵DF＝BE， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 20．尺规作图问题： 已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点． 小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦…我明白了． （1）证明：小聪的作法是正确的． （2）指出小明作法中存在的问题． （1）证明：由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵点P为AC与BQ的交点， ∴点P为AC的中点． （2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示． 21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O． （1）尺规作图：过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形AEFD是矩形； （3）连接OE，若AD＝8，EC＝3，求OE的长度． （1）解：如图，AE即为所求． 以点C为圆心，BE的长为半径画弧，交BC的延长线于点F，连接DF， 则CF即为所求． （2）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴BE+CE＝CF+CE＝EF＝AD， ∴四边形AEFD为平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形． （3）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为AC的中点，CD＝AD＝8． ∵∠AEC＝90°， ∴OE． ∵四边形AEFD是矩形， ∴∠EFD＝90°，AE＝DF，EF＝AD＝8， ∴CF＝EF﹣CE＝5， ∴DF， ∴AE． 在Rt△ACE中，由勾股定理得，AC， ∴OE． 22．如图，在菱形ABCD中，P是BC的中点，请用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画出AD的中点； （2）在图②中的对角线AC上取两个点E、F，使AE＝CF． 解：如图所示. 23．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线． （1）用尺规完成以下作图：作BD的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，判断四边形BEDF的形状并证明； （2）在（1）所作的图形中，若BC＝4，DC＝3，求EF的长． 解（1）图形如图所示． 结论：四边形BEDF是菱形． 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（ASA）， ∴DE＝BF， ∵EF垂直平分线段BD， ∴EB＝ED，FB＝DF， ∴BE＝ED＝DF＝FB， ∴四边形BEDF是菱形； （2）∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4， ∴BD5， ∴OB＝OD， 设BF＝DF＝x，则有x2＝（4﹣x）2+32， ∴x， ∴OF， ∵△EOD≌△FOB， ∴OE＝OF， ∴EF． 24．如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交BD于点O，交AD，BC于点E，F． （1）填空：直线MN是BD的　垂直平分线　 ； （2）求证：AE＝CF． 【解答】（1）解：由作图方法可得直线MN是BD的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线； （2）证明：由条件可知AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF， ∵MN是BD的垂直平分线， ∴OE＝OF， ∴△EOD≌△FOB（AAS）， ∴BF＝DE， ∴AD﹣DE＝BC﹣CF， ∴AE＝CF． 25．综合与实践 在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务． 作法：如图1． ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB ．（依据） 同理，得PA＝PC ∴PA＝PB＝PC ∴△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形． 任务： （1）上述过程中，横线上的结论为 PA＝PB ，括号中的依据为 　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等　 ． （2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数． （3）如图3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线） 解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB（垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， 同理，得PA＝PC， ∴PA＝PB＝PC， ∴△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形． 故答案为：PA＝PB，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）答案不唯一，如图2，连接BD，DE，则BD，DE即为所求． ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴． ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴∠DBC＝180°﹣72°×2＝36°， ∴△BDC是顶角为36°的等腰三角形． ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠DBC＝36°， ∴BD＝BE， ∴△BDE是顶角为36°的等腰三角形． ∵， ∴∠AED＝180°﹣∠BED＝108°， ∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠A＝36°， ∴∠ADE＝∠A， ∴AE＝DE， ∴△AED是顶角为108°的等腰三角形； （3）如图，作AB，AC的垂直平分线，交BC于点D，E，连接AD，AE．裁剪线为AD和AE． 学科网（北京）股份有限公司 $