圆周角定理-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

圆周角定理正文 1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．80° C．50° D．25° 2．如图，将⊙O的圆周12等分，A，B，C是等分点，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．105° C．210° D．150° 3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝30°，AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．3 C．4 D． 4．如图，圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的度数为（　　） A．30° B．50° C．80° D．100° 5．如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝54°，则∠CBA的大小为（　　） A．36° B．39° C．27° D．54° 6．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点D，交BC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠ACB的内部相交于点F；作射线CF，与⊙O相交于点G．若AC＝8，BC＝6，则线段AG的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 8．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长AC与BD交于点E，则∠E的度数为（　　） A．x B．180°﹣x C． D． 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝110°，则∠ABC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝60°，∠ACD＝40°，则∠CAD为（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 11．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上的一点，DB的延长线交⊙O于点E，且CD＝CE． （1）求证：AC＝CD． （2）连接AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数． 12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，连接BC，CD，DA，OC，OD．若OC∥AD，求证：∠BOC＝∠COD． 13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE． （1）求证：BD＝DC． （2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数． 14．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠E＝∠D； （2）若AB＝6，BC﹣AC＝2，求CE的长． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC．OD⊥BC于E，交⊙O于点D． （1）求证：OD∥AC； （2）若BC＝8，DE＝2，求⊙O的半径． 16．如图，BC是⊙O的直径，A是圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D． （1）求证：D是的中点； （2）若AB＝5，AC＝4，求AD的长． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接OD，延长AD交BC的延长线于点E，且DE＝CD． （1）求证：OD∥BE． （2）若AB＝12，AD＝4，求的值． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 19．综合与实践 小乐在学习完绘制五角星后，对五角星的画法和剪法做了深入的研究：如图（1），由于五角星可由10个基本图形ABO组成，其他“n角福星”也有类似特征．受此启发，小乐尝试用一刀剪“n角福星”，具体操作如下： 如图（2），将一张圆心为O的圆形纸片沿直径对折，折痕为AB；如图（3），取圆上合适的一点C，将OC下方的部分沿OC对折，得到OD；再将折叠后的部分继续沿OD对折，得到OE（如图（4））；…，重复此操作，使最后一次折叠的起始边与OA重合，最终得到的扇形如图（5）所示．在半径OG上取一点P，并沿图中虚线PQ剪开，得到纸片OPQ，设∠QPG＝α．例如，当∠BOC＝36°，α＝54°时，纸片展开后的图形便是“5角福星”． （1）设上述折叠操作的次数为m（m＞3），测量得到如表数据： 折叠次数m ∠BOC的度数 α的度数 形状 4 36° 54° 5角福星 5 30° 60° 6角福星 6 ① ② 7角福星 … … … … 根据该表，①②处的内容分别是 　 　 ，　 　 ，m与α的数量关系是 　 　 （用含m的式子表示α）． （2）在图形设计环节，小乐发现，“6角福星”每个顶角均为60°，可以分割成五块或者六块，并拼成一个等边三角形，请完成这个设计（画出一种即可）． （要求：用直尺在图（6）中画出分割线（线段），用数字①②…给分割出的每一块标注，然后借助图（7）将拼接成的等边三角形画好，并对应标注每一块） 20．综合与实践 提出问题 小明和爸爸、姐姐一起来到公园游玩，看到一个如图所示漂亮的圆拱门，爸爸想在自己家的花园围墙上也修一个一样大小的圆拱门． 分析问题 姐姐说需要用测量工具，通过测量，再计算出圆拱门的半径和弧长，才能完成修建． 工具准备 皮尺、铅垂线、水平仪和测角仪．其中皮尺可用来测量长度，铅垂线可以作出与水平线垂直的直线，水平仪可以画出水平线，测角仪可以在一固定位置测量两个可视点的夹角大小． 解决问题 方案1 如图，利用皮尺和水平仪测出了水平线上的弦CD＝a米．在CD中点B的上方挂上铅垂线，铅垂线与圆拱门交于点A，测得AB＝b．姐姐说根据这两个数据可以算出圆拱门的半径． 方案2 小明说他还有更简单的方法：用皮尺、铅垂线测量，然后算出圆拱门的半径． 方案3 测量并计算出圆拱门的弧长． （1）请你写出方案1中求解圆拱门半径R的过程；（结果用字母表示） （2）如果你是小明，请你写出方案2的测量步骤和数据，并利用备用图写出求解过程；（数据用字母表示） （3）补充完成方案3中的测量步骤，并利用测量数据和方案1或2中求出的半径，计算圆拱门的弧长． 圆周角定理正文+答案 1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．80° C．50° D．25° 【解析】∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°． 2．如图，将⊙O的圆周12等分，A，B，C是等分点，则∠ADC的度数为（　　） A．95° B．105° C．210° D．150° 【解析】∵将⊙O的圆周12等分，∴每一份等分圆周的弧的度数为360°÷12＝30°，∵之间有7份等分的圆周，∴的弧的度数为7×30°＝210°，∴． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝30°，AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．3 C．4 D． 【解析】∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝4，∴⊙O的半径是4． 4．如图，圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的度数为（　　） A．30° B．50° C．80° D．100° 【解析】∵∠BAC和∠BOC都对，∴∠BAC∠BOC100°＝50°． 5．如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝54°，则∠CBA的大小为（　　） A．36° B．39° C．27° D．54° 【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠CDB＝54°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝36°． 6．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点D，交BC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠ACB的内部相交于点F；作射线CF，与⊙O相交于点G．若AC＝8，BC＝6，则线段AG的长为（　　） A． B． C． D． 【解析】连接BG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AGB＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB10，由作图得CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG，∴，∴AG＝BG，∵ABAG＝10，∴AG＝5． 7．如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．50° C．40° D．25° 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°， ∠ADC＝∠B＝50°． 8．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长AC与BD交于点E，则∠E的度数为（　　） A．x B．180°﹣x C． D． 【解析】如解图，连接AD、BC，交于点O，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠BCE＝∠ADE＝90°，∵与的度数之和为x，∴∠BAD+∠ABCx，∴∠COD＝∠AOB＝180°x，∴∠E＝360°﹣∠BCE﹣∠ADE﹣∠COD． 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝110°，则∠ABC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 【解析】∵∠AOC＝110°，∴∠ADC∠AOC110°＝55°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝125°． 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝60°，∠ACD＝40°，则∠CAD为（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝60°，∴∠D＝120°， ∵∠ACD＝40°，∵∠CAD＝180°﹣120°﹣40°＝20°． 11．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上的一点，DB的延长线交⊙O于点E，且CD＝CE． （1）求证：AC＝CD． （2）连接AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数． （1）证明：连接BC， ∵CD＝CE， ∴∠CED＝∠D， ∵∠CED＝∠CAB， ∴∠D＝∠CAB， ∴DB＝AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DB＝AB，BC⊥AD， ∴AC＝CD． （2）解：由（1）得∠D＝∠CAB， ∵∠D＝25°， ∴∠ABE＝∠D+∠CAB＝2∠D＝50°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝40°， ∴∠BAE的度数是40°． 12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，连接BC，CD，DA，OC，OD．若OC∥AD，求证：∠BOC＝∠COD． 证明：∵AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，连接BC，CD，DA，OC，OD，OC∥AD， ∴∠BOC＝∠OAD，∠COD＝∠ODA， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠BOC＝∠COD． 13．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE． （1）求证：BD＝DC． （2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数． （1）证明：在△ABC中，AB＝AC， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴， ∴BD＝DC； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠B＝65°， ∵∠EDC＝∠A＝50°， ∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°． 14．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠E＝∠D； （2）若AB＝6，BC﹣AC＝2，求CE的长． （1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， 又∵DC＝CB， ∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D， ∵∠E＝∠B， ∴∠D＝∠E； （2）解：设BC＝x， ∵BC﹣AC＝2， ∴AC＝x﹣2， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣2）2+x2＝62， 解得，（舍去）， ∴， 由（1）得：∠D＝∠E， ∴CD＝CE， ∵DC＝CB， ∴， ∴CE的长为 15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC．OD⊥BC于E，交⊙O于点D． （1）求证：OD∥AC； （2）若BC＝8，DE＝2，求⊙O的半径． （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵OD⊥BC， ∴∠OEB＝∠C＝90°， ∴OD∥AC； （2）解：令⊙O的半径为r， 根据垂径定理可得：BE＝CEBC＝4， 由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2， 解得：r＝5， 所以⊙O的半径为5． 16．如图，BC是⊙O的直径，A是圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D． （1）求证：D是的中点； （2）若AB＝5，AC＝4，求AD的长． （1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴点D是的中点； （2）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∵BC是直径， ∴∠EAF＝∠AED＝∠F＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∵DE＝DF， ∴四边形AEDF是正方形， ∴AE＝AF， ∵， ∴BD＝DC， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE＝CF， ∴AE+AF＝AB﹣BE+AC+CF＝AB+AC＝9， ∴AE＝AF， ∴ADAE． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接OD，延长AD交BC的延长线于点E，且DE＝CD． （1）求证：OD∥BE． （2）若AB＝12，AD＝4，求的值． （1）证明：∵∠DCE是⊙O的内接四边形ABCD的外角， ∴∠DCE＝∠A． ∵DE＝CD， ∴∠DCE＝∠E． ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠A， ∴∠ADO＝∠E ∴OD∥BE； （2）解：∵OD∥BE，AB＝12，AD＝4， ∴， ∴BE＝2OD＝AB＝12，AE＝2AD＝8，DE＝AD＝4． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠EDC＝∠B， ∴△DCE∽△BAE， ∴， 即， 解得， ∴． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵CD＝CB， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，BD＝2BG， ∵∠ACB＝90°，BC＝CD，AC， ∴AB20， ∴⊙O的半径为10， 设OG＝x，则CG＝10﹣x， 由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， 即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴BG8， ∴BD＝16． 19．综合与实践 小乐在学习完绘制五角星后，对五角星的画法和剪法做了深入的研究：如图（1），由于五角星可由10个基本图形ABO组成，其他“n角福星”也有类似特征．受此启发，小乐尝试用一刀剪“n角福星”，具体操作如下： 如图（2），将一张圆心为O的圆形纸片沿直径对折，折痕为AB；如图（3），取圆上合适的一点C，将OC下方的部分沿OC对折，得到OD；再将折叠后的部分继续沿OD对折，得到OE（如图（4））；…，重复此操作，使最后一次折叠的起始边与OA重合，最终得到的扇形如图（5）所示．在半径OG上取一点P，并沿图中虚线PQ剪开，得到纸片OPQ，设∠QPG＝α．例如，当∠BOC＝36°，α＝54°时，纸片展开后的图形便是“5角福星”． （1）设上述折叠操作的次数为m（m＞3），测量得到如表数据： 折叠次数m ∠BOC的度数 α的度数 形状 4 36° 54° 5角福星 5 30° 60° 6角福星 6 ① ② 7角福星 … … … … 根据该表，①②处的内容分别是 　　 ，　　 ，m与α的数量关系是 　　 （用含m的式子表示α）． （2）在图形设计环节，小乐发现，“6角福星”每个顶角均为60°，可以分割成五块或者六块，并拼成一个等边三角形，请完成这个设计（画出一种即可）． （要求：用直尺在图（6）中画出分割线（线段），用数字①②…给分割出的每一块标注，然后借助图（7）将拼接成的等边三角形画好，并对应标注每一块） （1）由题意得，取圆上合适的一点C，将OC下方的部分沿OC对折，折叠m次后，半圆被平分（m+1）份，每份圆心角大小都与∠BOC相等，所以∠BOC＝30°，再根据表格中数据不难发现，∠BOC与α互余，当m＝6时，∠BOC，； 故答案为：，． （2）设计：五等分6角福星： 20．综合与实践 提出问题 小明和爸爸、姐姐一起来到公园游玩，看到一个如图所示漂亮的圆拱门，爸爸想在自己家的花园围墙上也修一个一样大小的圆拱门． 分析问题 姐姐说需要用测量工具，通过测量，再计算出圆拱门的半径和弧长，才能完成修建． 工具准备 皮尺、铅垂线、水平仪和测角仪．其中皮尺可用来测量长度，铅垂线可以作出与水平线垂直的直线，水平仪可以画出水平线，测角仪可以在一固定位置测量两个可视点的夹角大小． 解决问题 方案1 如图，利用皮尺和水平仪测出了水平线上的弦CD＝a米．在CD中点B的上方挂上铅垂线，铅垂线与圆拱门交于点A，测得AB＝b．姐姐说根据这两个数据可以算出圆拱门的半径． 方案2 小明说他还有更简单的方法：用皮尺、铅垂线测量，然后算出圆拱门的半径． 方案3 测量并计算出圆拱门的弧长． （1）请你写出方案1中求解圆拱门半径R的过程；（结果用字母表示） （2）如果你是小明，请你写出方案2的测量步骤和数据，并利用备用图写出求解过程；（数据用字母表示） （3）补充完成方案3中的测量步骤，并利用测量数据和方案1或2中求出的半径，计算圆拱门的弧长． 解：（1）如图1，根据对称性可知，圆心O一定在AB上，连接OC， 在Rt△BOC中，OC＝R，OB＝AB﹣OA＝b﹣R，BCa， 由勾股定理得， OC2＝OB2+BC2，即R2＝（b﹣R）2+（a）2， 解得R； （2）如图2，利用铅垂线，过点C作CD的垂线交圆弧于点A，连接AD，则AD是圆的直径，测量AD的长，即可求出半径； （3）由方案2，测得CD＝2，AD＝4，则半径RAD＝2， ∵sinA， ∴∠A＝30°， ∴∠COD＝2∠A＝60°， ∴圆拱门的弧长为圆周长与长度差， 即2π×24πππ． ( 第 1 页 共 25 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $