方程（组）与函数的实际应用-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

方程（组）与函数的实际应用正文 1．电子体重秤原理是利用力传感器，在置物平台上放上重物后使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，R与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120）． （1）求k，b的值； （2）如图所示，当可变电阻R为95欧时，对应所测人的质量m为多少千克？ 2．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144m3，每立方米收费3.15元，用水量在144～240m3，前144m3按3.15元/m3，144～240m3之间按4.05元/m3收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （m3） 价格 （元/m3） 居民生活用水 第一阶梯 0～144（含） 3.15 第二阶梯 144～240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 （1）设某户居民的年用水量为x m3，请按阶梯分类求用水年费用y（元）关于年用水量x（m3）的函数解析式． （2）若小米家2024年全年用水量为120m3，则小米家应缴2024年水费多少元？ （3）若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 3．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰x套（x＞35），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，若这批剪纸装饰全部售完时商家获得的利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②直接写出商家能获得的最大利润． 4．综合与实践 综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动． 【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电． 【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如表所示： 充电时段 该时段的充电收费标准（元/度） 货车 商务车 0时﹣6时 0.6 0.6 6时﹣12时 1.2 1.0 12时﹣18时 1.8 1.6 18时﹣24时 1.6 1.4 【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务： 任务一：如果在0时﹣6时开始充电，有两种充电方案： 方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车； 比较两种充电方案那种更省钱？ 任务二：设x为电车开始充电的时刻， 商务车充电的费用记作w1元，货车充电的费用记作w2元． ①当x为5时至6时中的某一个时刻（5≤x≤6），直接写出商务车充电的费用w1与充电的时刻x之间的函数关系式 　 　 ； ②当x为7时至8时中的某一个时刻（7≤x≤8），直接写出货车充电的费用w2与充电的时刻x之间的函数关系式 　 　 ； ③根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议． 5．2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动．很多人都制定了燃脂运动计划，但是如果心率过高，会对身体健康不利，导致恶心、头晕、胸闷，糖尿病患者则会使血糖急剧降低，而且减脂效果也不好，心率低对身体没有危害，但是锻炼效果不好． 项目主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数，某校项目组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的　一次　 函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 60%～70% 提升耐力 70%～80% 18周岁的小王想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围？ 40周岁的小张想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在什么范围？ 6．甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A，B两地间的距离为20千米，他们前进的路程为分别为S甲和s乙（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，解答下列问题： （1）乙比甲晚出发　 　 小时； （2）求S乙与t的函数表达式； （3）求乙追上甲时距A地多远． 7．某超市销售一种成本为每千克20元的商品，已知这种商品的月销售是y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y＝﹣10x+500． （1）当这种商品的销售单价x定为多少时，每月可获得最大利润？ （2）如果这种商品的销售单价x不超过32元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于2000元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本＝商品每千克的成本×月销售量） 8．启正校外小店销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6且x是整数），当天销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过9元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围． 9．如图①是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝1.25m，OB＝5m，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为y＝﹣0.25x2+bx+c． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口A的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m，则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米？ 10．在行驶中的汽车，制动后由于惯性，还会继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为”制动距离”．某汽车安全研究小组为测试某型号小型汽车的制动性能，对该型号小型汽车进行了大量重复测试实验，下表是一组具有代表性的测试数据． 制动时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 制动距离（m） 0 1.2 2.8 4.8 7.2 10.0 13.2 16.8 20.8 25.2 30.0 35.2 40.8 为更好研究该型号小型汽车制动时车速x与制动距离y之间的关系，研究小组将上表数据在平面直角坐标系中描出，并用平滑曲线连接起来（如图），通过观察发现，这条曲线像是抛物线的一部分．于是，研究小组就用二次函数来近似表示y与x的关系． （1）请你帮助研究小组求出y关于x的二次函数解析式； （2）某段高速公路对小型汽车限速为120km/h，有一辆该型号小型汽车在该段高速公路上发生了交通事故，研究小组现场测得该车制动距离为60m，那么交通事故发生时该车是否在超速行驶？请说明理由． 11．通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度y（单位：μg/mL）与时间x（单位：h）满足某种函数关系． 假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度y与时间x近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），如表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x的几组对应值： x（h） 0 1 2 3 4 5 … y（μg/mL） 0 7 12 15 16 15 … （1）求这位患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x满足的函数关系； （2）这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为t小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为24μg/mL． ①当t＝3时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于7μg/mL时，它对治疗疾病有疗效．若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出t的取值范围． 12．综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 方程（组）与函数的实际应用答案 1．电子体重秤原理是利用力传感器，在置物平台上放上重物后使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，R与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120）． （1）求k，b的值； （2）如图所示，当可变电阻R为95欧时，对应所测人的质量m为多少千克？ 解：（1）把（120，0），（0，240）代入R＝km+b得， ， 解得； （2）由（1）可知R＝﹣2m+240， 当R＝95时，则有﹣2m+240＝95， 解得m＝72.5， 答：当可变电阻R为95欧时，对应所测人的质量m为72.5千克． 2．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144m3，每立方米收费3.15元，用水量在144～240m3，前144m3按3.15元/m3，144～240m3之间按4.05元/m3收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （m3） 价格 （元/m3） 居民生活用水 第一阶梯 0～144（含） 3.15 第二阶梯 144～240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 （1）设某户居民的年用水量为x m3，请按阶梯分类求用水年费用y（元）关于年用水量x（m3）的函数解析式． （2）若小米家2024年全年用水量为120m3，则小米家应缴2024年水费多少元？ （3）若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 解：（1）当0≤x≤144时，y＝3.15x， 当144＜x≤240时，y＝3.15×144+4.05（x﹣144）＝4.05x﹣129.6， 当x＞240时，3.15×144+4.05×（240﹣144）+6.75（x﹣240）＝6.75x﹣777.6， ∴用水年费用y（元）关于年用水量x（m3）的函数解析式为y． （2）当x＝120时，y＝3.15×120＝378． 答：小米家应缴2024年水费378元． （3）当x＝144时，y＝3.15×144＝453.6， 当x＝240时，y＝4.05×240﹣129.6＝842.4， ∵453.6＜814.05＜842.4， ∴144＜x＜240， ∴4.05x﹣129.6＝814.05， ∴x＝233． 答：小乐家2024年全年用水量为233m3． 3．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰x套（x＞35），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，若这批剪纸装饰全部售完时商家获得的利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②直接写出商家能获得的最大利润． 解：（1）设甲种剪纸购进时的单价为a元，乙种剪纸购进时的单价为b元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种剪纸购进时的单价为50元，乙种剪纸购进时的单价为40元． （2）y＝50x+40（60﹣x）＝10x+2400， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+2400． （3）①w＝（65﹣50）x+（50﹣40）（60﹣x）＝5x+600， ∴w与x之间的函数关系式为w＝5x+600． ②根据题意，得y≤2800，即10x+2400≤2800， 解得x≤40， ∵x＞35， ∴35＜x≤40， ∵5＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝40时w值最大，w最大＝5×40+600＝800． 答：商家能获得的最大利润是800元． 4．综合与实践 综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动． 【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电． 【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如表所示： 充电时段 该时段的充电收费标准（元/度） 货车 商务车 0时﹣6时 0.6 0.6 6时﹣12时 1.2 1.0 12时﹣18时 1.8 1.6 18时﹣24时 1.6 1.4 【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务： 任务一：如果在0时﹣6时开始充电，有两种充电方案： 方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车； 比较两种充电方案那种更省钱？ 任务二：设x为电车开始充电的时刻， 商务车充电的费用记作w1元，货车充电的费用记作w2元． ①当x为5时至6时中的某一个时刻（5≤x≤6），直接写出商务车充电的费用w1与充电的时刻x之间的函数关系式 　w1＝12x+3　 ； ②当x为7时至8时中的某一个时刻（7≤x≤8），直接写出货车充电的费用w2与充电的时刻x之间的函数关系式 　w2＝18x+162　 ； ③根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议． 解：任务一： 充电动商务车所需时间为：2.5（小时），充电动货车需要时间为：7（小时）， 方案A所需费用：0.6×75+0.6×（6﹣2.5）×30+1.2×（7﹣3.5）×30＝234（元）； 方案B所需费用：0.6×30×6+1.2×30×1+1.0×75＝219（元）． ∵234＞219， ∴方案B更省钱； 任务二： ①5≤x≤6时，w1＝0.6×30（6﹣x）+1.0×30[2.5﹣（6﹣x）]＝12x+3， 故答案为：w1＝12x+3； ②7≤x≤8时，w2＝1.2×30×（12﹣x）+30×1.8[7﹣（12﹣x）]＝18x+162， 故答案为：w2＝18x+162； ③∵w1＝12x+3，w2＝18x+162，12＞0，18＞0， ∴w均随x的增大而增大， ∴开始时间越晚，费用越高． 优化建议为：尽早充电，先充货车电（合理即可）．∵在相同时段内，除了0时﹣6时，其他时段内货车充电费用均大于商务车充电费用，∴应优先固定货车充电时间在更低费率的时间段． 5．2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动．很多人都制定了燃脂运动计划，但是如果心率过高，会对身体健康不利，导致恶心、头晕、胸闷，糖尿病患者则会使血糖急剧降低，而且减脂效果也不好，心率低对身体没有危害，但是锻炼效果不好． 项目主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数，某校项目组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的　一次　 函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 60%～70% 提升耐力 70%～80% 18周岁的小王想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围？ 40周岁的小张想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在什么范围？ 解：（1）根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 由题意可得：， ∴， ∴y＝﹣x+220； （2）当x＝18时，y＝﹣18+220＝202， 202×60%＝121.2（次/分）， 202×70%＝141.4（次/分）， ∴小王的运动心率应该控制在121.2次/分至141.4次/分； 当x＝40时，y＝﹣40+220＝180， 180×70%＝126（次/分），180×80%＝144（次/分）， ∴小张的运动心率应该控制在126次/分至144次/分． 6．甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A，B两地间的距离为20千米，他们前进的路程为分别为S甲和s乙（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，解答下列问题： （1）乙比甲晚出发 　1　 小时； （2）求S乙与t的函数表达式； （3）求乙追上甲时距A地多远． 解：（1）由图可知：乙比甲晚出发1小时， 故答案为：1； （2）设乙的表达式为s＝kt+b（k≠0）， ∵当t＝1时，s＝0；当t＝2时，s＝20， 则， 解得， ∴乙的表达式为：s＝20t﹣20（1≤t≤2）； （3）设甲的表达式为：s＝mt， ∵当t＝4时，s＝20， ∴20＝4m， ∴m＝5， ∴甲的表达式为：s＝5t（0≤t≤4）， 联立s＝5t和s＝20t﹣20得20t﹣20＝5t， 解得， 此时， ∴乙追上甲时距A地千米． 7．某超市销售一种成本为每千克20元的商品，已知这种商品的月销售是y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y＝﹣10x+500． （1）当这种商品的销售单价x定为多少时，每月可获得最大利润？ （2）如果这种商品的销售单价x不超过32元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于2000元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本＝商品每千克的成本×月销售量） 解：（1）设利润为w，则由题意得w＝（x﹣20）•y ＝（x﹣20）•（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000， ， 答：这种商品的销售单价x定为35元时，每月可获得最大利润； （2）解：由题意得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000， 解得x1＝30，x2＝40， ∵a＝﹣10＜0， ∴抛物线开口向下， ∴30≤x≤40时，w≥2000， ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2000， 设成本为P元，由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000， ∵a＝﹣200＜0， ∴P随x的增大而减小， ∴当x＝32时，P最小＝3600， 答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于2000元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是3600元． 8．启正校外小店销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨1元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6且x是整数），当天销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过9元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围． 解：（1）由题意得，y＝（x﹣5）[100﹣（x﹣6）×10] ＝（x﹣5）（160﹣10x） ＝﹣10x2+210x﹣800； （2）由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800， ∴y＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5， ∵﹣10＜0， ∴当x＜10.5时，y随x的增大而增大， ∵每件文具的售价不超过9元，且x是整数， ∴当x＝9时，y有最大值，为﹣10×（9﹣10.5）2+302.5＝280（元）， 答：每件文具售价为9元，最大利润280元； （3）要使当天销售利润不低于240元，即y≥240， 令﹣10x2+210x﹣800＝240，整理得x2﹣21x+104＝0， 解得：x1＝8，x2＝13， ∵﹣10＜0， ∴当天销售单价所在的范围是8≤x≤13． 9．如图①是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝1.25m，OB＝5m，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为y＝﹣0.25x2+bx+c． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口A的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m，则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米？ 解：（1）由题意可知，A（0，1.25），B（5，0）， ∵y＝﹣0.25x2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣0.25x2+x+1.25＝﹣0.25（x﹣2）2+2.25， ∴羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度为2.25m； （2）设调整后抛物线的表达式为y＝﹣0.25（x﹣2）2+k， ∵发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m， ∴x＝5+0.6＝5.6时，y＝0， ∴0＝﹣0.25×（5.6﹣2）2+k， 解得k＝3.24， ∴y＝﹣0.25（x﹣2）2+3.24． 当x＝0时，y＝﹣0.25×（0﹣2）2+3.24＝2.24， ∴发球机的弹射出口高度OA应调整为2.24m． 10．在行驶中的汽车，制动后由于惯性，还会继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为”制动距离”．某汽车安全研究小组为测试某型号小型汽车的制动性能，对该型号小型汽车进行了大量重复测试实验，下表是一组具有代表性的测试数据． 制动时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 制动距离（m） 0 1.2 2.8 4.8 7.2 10.0 13.2 16.8 20.8 25.2 30.0 35.2 40.8 为更好研究该型号小型汽车制动时车速x与制动距离y之间的关系，研究小组将上表数据在平面直角坐标系中描出，并用平滑曲线连接起来（如图），通过观察发现，这条曲线像是抛物线的一部分．于是，研究小组就用二次函数来近似表示y与x的关系． （1）请你帮助研究小组求出y关于x的二次函数解析式； （2）某段高速公路对小型汽车限速为120km/h，有一辆该型号小型汽车在该段高速公路上发生了交通事故，研究小组现场测得该车制动距离为60m，那么交通事故发生时该车是否在超速行驶？请说明理由． 解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 把（0，0），（50，10），（100，30）代入 y＝ax2+bx+c，得： ， 解得 ， ∴； （2）交通事故发生时该车是在超速行驶． 理由：根据题意得， 即x2+50x﹣30000＝0， 解得， 解得x1＝150，x2＝﹣200 （舍去）． ∵150＞120， 所以交通事故发生时该车是在超速行驶． 11．通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度y（单位：μg/mL）与时间x（单位：h）满足某种函数关系． 假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度y与时间x近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），如表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x的几组对应值： x（h） 0 1 2 3 4 5 … y（μg/mL） 0 7 12 15 16 15 … （1）求这位患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x满足的函数关系； （2）这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为t小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为24μg/mL． ①当t＝3时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于7μg/mL时，它对治疗疾病有疗效．若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出t的取值范围． 解：（1）∵二次函数经过点（3，15），（5，15）， ∴二次函数的顶点坐标为（4，16）， ∴y＝a（x﹣4）2+16， ∵二次函数经过点（0，0）， ∴0＝a（0﹣4）2+16， 解得：a＝﹣1， ∴这位患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x满足的函数关系为：y＝﹣（x﹣4）2+16； （2）∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为t小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同， ∴第二次服用该药后的血药浓度y与时间x满足的函数关系为：y＝﹣（x﹣4﹣t）2+16； 设血药总浓度为w， w＝﹣（x﹣4）2+16+[﹣（x﹣4﹣t）2+16]， ①该患者存在中毒风险，理由如下： 当t＝3时， w＝﹣（x﹣4）2+16+[﹣（x﹣4﹣3）2+16] ＝﹣2x2+22x﹣33 ＝﹣2（x2﹣11x）﹣33 ＝﹣2（x）2， ∴血药浓度最大值为， ∵24， ∴该患者存在中毒风险； ②∵当t＝3时，该患者存在中毒风险， ∴当t＝4时，w＝﹣（x﹣4）2+16+[﹣（x﹣4﹣4）2+16] ＝﹣2x2+24x﹣48 ＝﹣2（x2﹣12x+36）+24 ＝﹣2（x﹣6）2+24， ∴血药浓度最大值为24， ∴t＞4时，血药浓度最大值将小于24，患者不会中毒， ∵这位患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间x满足的函数关系为：y＝﹣（x﹣4）2+16，该药的血药浓度不低于7μg/mL时，它对治疗疾病有疗效． ∴当y＝7时，﹣（x﹣4）2+16＝7， 解得：x1＝1，x2＝7， ∴第一次服用药物后药效保持时间为：1≤t≤7， 综上：该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，t的取值范围为：4＜t≤7． 12．综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点， ∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，， 解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； （3）设该平台的高度为k cm，由题意，设新的函数解析式为：， ∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（120，51）， ∴把 （128，51）代入，得：， 解得：k＝6； 故设该平台的高度为6cm． ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $