贵州遵义清华中学2025-2026学年第二学期第一次素养测试高二数学试题

遵义清华中学2025-2026学年第二学期第一次素养测试 高二数学 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，且，则（ ） A. B. 7 C. 3 D. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 56 D. 84 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，下列表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往、、三个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ） A. 114 B. 150 C. 108 D. 54 8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 可由函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 10. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. 为互斥事件 C. D. 相互独立 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有________种不同的排法. 13. 若，则____________. 14. 某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？ （2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率； ②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望. 18. 已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，证明：以为直径的圆必经过原点. 19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． （2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 遵义清华中学2025-2026学年第二学期第一次素养测试 高二数学 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】80 【14题答案】 【答案】##0.375 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：因为平面，四边形为矩形， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 所以，所以，所以． （2）． 【17题答案】 【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人； （2）①；② X 0 1 2 3 ，数学期望：. 【18题答案】 【答案】（1） （2）如下图所示： ①当直线的斜率不存在时， 直线与圆相切，直线方程为或. （I）联立与，可得， 以为直径的圆的方程为； （II）联立与，可得， 以为直径的圆的方程为. 综合（I），（II）可知，两圆过定点. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立与， 消去得， 设， 由韦达定理知 ， 由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，即， 从而，显然以为直径的圆经过原点. 综合①②可知，以为直径的圆必经过原点. 【19题答案】 【答案】（1）① 0 1 2 3 ； ② （2） ； 当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $