专题04 平行线与三角形中的压轴新考法与几何模型8大题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 平行线与三角形中的压轴新考法与几何模型 题型1 多结论选择题 题型5 命题与证明 题型2 翻折问题 题型6 生活情境与跨学科问题 题型3 新定义与阅读理解 题型7 平行线拐点模型 题型4三角板中的角度计算 题型8 双角平分线模型 题型1 多结论选择题（共2小题） 1．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 翻折问题（共18小题） 3．(24-25七下·上海奉贤区·期中)如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 4．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，已知三角形纸片中，，，点点分别在边，边上，将沿翻折，使点落在外的点处．若，则________ 5．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是___________． 6．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为_______． 7．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 8．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图所示，将长方形纸片折一下，折痕为，再折，使、与叠合，折痕分别为、，则的度数为_______． 9．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·月考)如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么___________． 10．(24-25七下·上海松江区民乐中学·月考)如图，在ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠B＝_________度． 11．(25-26七下·上海蒙山中学·)如图1，已知长方形纸带，，，°，点分别在边上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置．将纸带再折叠一次，使折痕经过点F， 且点落在线段上 ，这时的折痕和的夹角是 ____________ °．    12．(25-26七下·上海闵行区浦江第一中学·)如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 13．如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______度．    14．如图，把的一角折叠，若，则的度数为 ______ ．    15．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 16．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与的一条边平行，若，则的度数为______°．（结果用含的代数式表示） 17．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，有一张三角形纸片，，，D是边上一定点，过点D将纸片的一角折叠，使点C落在BC的下方处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，___________． 18．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 19．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 20．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：    ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 题型3 新定义与阅读理解（共6小题） 21．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)1．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 22．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 23．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 24．(24-25七下·上海西初级中学·期中)【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 25．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 26．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 题型4三角板中的角度计算（共11小题） 27．(25-26·上海中学东校·)如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______． 28．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 29．(25-26七下·上海实验学校西校·)将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 30．如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 31．解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 32．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 33．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 34．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，． (1)问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数． 分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______． (2)类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由． (3)请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由． 35．(25-26七下·上海闵行区浦江第一中学·)在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 36．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 37．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若三角板如图1摆放时，则∠α=　　 °，∠β=　　 °． (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； (3)将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 题型5 命题与证明（共2小题） 38．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)如图，有以下三个几何关系，（1）（2）（3），请你在其中任选两个作为条件，第三个作为结论，出一道题并证明其正确性． 已知：____________ 求证：____________ 证明： 39．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)（1）问题发现：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，若，，则的度数为_____________； （2）拓展探究：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，则之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 结论：_____________________________． 理由：如图②，过点E作， （                              ）， ， ∴（                                      ）， （                            ）， ， _______________________． 题型6 生活情境与跨学科问题（共8小题） 40．(25-26·上海中学东校·)如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是_____． 41．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 42．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 43．(24-25七下·上海普陀区·期中)图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． (1)如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； (2)如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 44．(24-25七下·上海浦东新区·期中)根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 45．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 46．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 47．(25-26七下·上海实验学校西校·)综合与实践 【问题背景】 光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体，镜子与之间的角为．他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． 【初步探究】 （1）如图2，当，______°，______°，______°，此时入射光线与反射光线是平行的； 【深入探究】 （2）如图3，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小； 【拓展应用】 （3）如图4，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小明发现当和满足一定数量关系时，．设，，求此时x和y之间满足的数量关系． 题型7 平行线拐点模型（共10小题） 48．(24-25七下·上海普陀区·期中)8．如图， ，点， ， ，分别在两条平行线之间，，，若， ，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 49．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 50．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·月考)如图，若，则、、的关系是______．    51．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为___________．(用含的代数式表示) 52．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为___________． 53．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则________． 54．(24-25七下·上海奉贤区·期中)在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 55．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 56．(25-26七下·上海蒙山中学·)问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 57．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 题型8双角平分线模型（共6小题） 58．如图，已知∠A＝n°，若P1点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，P2点是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分线的交点，P3点是∠P2BC和外角∠P2CE的交点…依此类推，则∠Pn＝（　　） A． B． C． D． 59．(24-25七下·上海民一中学·期中)如图，点E是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点E作，交于点M，交于点N，若，则线段的长度为 __． 60．(25-26·上海中学东校·)如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则______． 61．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 62．(24-25七下·上海奉贤区·期中)2．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 63．已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行线与三角形中的压轴新考法与几何模型 题型1 多结论选择题 题型5 命题与证明 题型2 翻折问题 题型6 生活情境与跨学科问题 题型3 新定义与阅读理解 题型7 平行线拐点模型 题型4三角板中的角度计算 题型8 双角平分线模型 题型1 多结论选择题（共2小题） 1．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 2．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 题型2 翻折问题（共18小题） 3．(24-25七下·上海奉贤区·期中)如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 4．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，已知三角形纸片中，，，点点分别在边，边上，将沿翻折，使点落在外的点处．若，则________ 【答案】 【详解】解；∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是___________． 【答案】10 【详解】解：∵沿折叠点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：10． 6．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为_______． 【答案】 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知长方形纸带，，，将纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，，再沿折叠，______． 【答案】 【详解】解：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图所示，将长方形纸片折一下，折痕为，再折，使、与叠合，折痕分别为、，则的度数为_______． 【答案】 【详解】由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 故答案为：． 9．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·月考)如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么___________． 【答案】 【详解】解：设，则， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(24-25七下·上海松江区民乐中学·月考)如图，在ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠B＝_________度． 【答案】36 【详解】∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 令∠B=∠C=x， 由折叠的性质可得∠D=∠B=x， ∵AE=ED， ∴∠EAD=∠D=x， ∵AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE=90°−， ∵∠AEF+∠AEB=180°，∠AFE+∠EFD=180°， ∴∠AEB+∠EFD=90°+， ∵∠AEB=∠AED， ∴∠AED=90°+， ∴∠FED=x， 在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D=180°， 即x+（90°+）+x=180°， 解得x=36°， ∴∠B=36°． 故答案为：36． 11．(25-26七下·上海蒙山中学·)如图1，已知长方形纸带，，，°，点分别在边上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置．将纸带再折叠一次，使折痕经过点F， 且点落在线段上 ，这时的折痕和的夹角是 ____________ °．    【答案】 【详解】解：如图，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，    由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(25-26七下·上海闵行区浦江第一中学·)如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 【答案】112 【详解】解：由折叠可得﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ 13．如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______度．    【答案】50 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：50． 14．如图，把的一角折叠，若，则的度数为 ______ ．    【答案】65° 【详解】如图，∵△ABC的一角折叠，∴∠3=∠5，∠4=∠6，而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6=360°，∴2∠3+2∠4+∠1+∠2=360°． ∵∠1+∠2=130°，∴∠3+∠4=115°，∴∠A=180°﹣∠3﹣∠4=65°． 故答案为65°．    15．(24-25七下·上海杨浦区·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，将沿直线翻折得到，如果与的一边互相平行，那么________． 【答案】或 【详解】解：当时， ∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴ ∴． 当时， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵ ∴ 故答案为：或． 16．(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，在中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与的一条边平行，若，则的度数为______°．（结果用含的代数式表示） 【答案】或 【详解】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 17．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图，有一张三角形纸片，，，D是边上一定点，过点D将纸片的一角折叠，使点C落在BC的下方处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，___________． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，， 由折叠性质得：，， ∴； ②当时，设交于点F，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴； 故答案为：或． 18．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)如图，直角三角形中，，，，为边上一点，为直线上一点，将图形沿翻折，得到点的对应点（位于上方），如果有一边平行于边，那么___________°． 【答案】或或 【详解】解：当，点在线段上时，如图： ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，如图 同理可求； 当，点在线段上时，过点作交于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当，点在线段延长线上时，过点作交延长线于点， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴由折叠可得； 当时，如图： ∴， ∴有一边平行于边，那么或或． 19．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 【答案】或或或 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 20．(24-25七下·上海西初级中学·期中)如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：    ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 【答案】②③④ 【详解】解：由折叠性质得， ， ， ，则， 是的一个外角， ， 设，则， 当时，， 题中并未明确的度数，故①错误； ， ， 由折叠性质可知，则，故②正确； 由折叠性质得， 由①的证明过程可知，， 设，则， ， ， ，解得，即，故③正确； 由①知， 是的一个外角， ，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 题型3 新定义与阅读理解（共6小题） 21．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)1．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 【答案】 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， 是“优美三角形”， ， ，即， ． 故答案为：． 22．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)当三角形中一个内角β是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为________． 【答案】或或 【详解】解：当为的时，即； 当一个角为的时，即； 当角外的另两个内角满足一个角是另外一个内角的时，， ； 综上，“友好角”的度数为或或． 故答案为：或或 23．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 【答案】或 【详解】解：当直角为特征角时，一个锐角的度数为，符合题意； 当锐角为特征角时，则：， ∴， ∴； 故答案为：或． 24．(24-25七下·上海西初级中学·期中)【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），是的“三分线”， ， ． （2） ． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ； （3）． ． 分别是邻三分线和邻三分线， ， ， ． ． 25．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 【答案】(1) (2) (3)当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 【详解】（1）解：∵在中，，， ∵的邻三分线交于点， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵在中，是的邻三分线，是的邻三分线 ∴ ∵ ∴ ∴ （3）分为两种种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ； 综上所述，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 26．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)阅读下列材料，并完成探究 材料一：化归思想是一种重要的数学思想方法．其内涵是在研究和解决数学问题时，采用一定手段将问题进行变换转化，归结到已经能够解决或比较容易解决的问题中去，从而使原问题得到解决．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以便利用已有的知识和经验来解决．例如在学习二元一次方程组方程的解法时，可通过消元法转化为一元一次方程来求解．又如推导平行四边形的面积公式时，可通过割补法将平行四边形转化为长方形来求面积． 材料二：多边形：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形．组成多边形的线段至少有3条，比如三角形是最简单的多边形．凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．与凸多边形相对的是凹多边形，即存在至少一条边所在直线，使得多边形的其他各边不都在这条直线的同旁．如下左图为凸四边形，下右图为凹四边形．（注意：本题以下讨论的多边形均为凸多边形） 材料三：多边形的边：组成多边形的每一条线段就是多边形的边．有几条边，就可以叫做几边形，如五条边组成的多边形是五边形，在研究多边形的一般结论时都用n边形来表示．多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点，叫做多边形的顶点．多边形的内角：多边形相邻两边所组成的角，称为多边形的内角．多边形的对角线：连接多边形两个不相邻顶点的线段．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角．在每一个顶点处会产生两个这样的角，它们相等，通常只取其中一个．多边形的外角和：在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，这些外角的和就是多边形的外角和． (1)我们已经学习过三角形内角和是，那么四边形的内角和是几度呢？请写出具体过程（提示：可利用化归的思想方法来研究），画出示意图 (2)我们已经学习过三角形外角和是，那么四边形的外角和是几度呢？请写出具体过程，画出示意图 (3)对于多边形的内角和与外角和，你还能探究出更一般化的结论吗？请至少得到2个结论并写出简要过程，画出示意图 【答案】(1)四边形的外角和是360度，过程见解析 (2)四边形的外角和是360度，过程见解析 (3)多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如见解析 【详解】（1）解：四边形的外角和是360度，过程如下： 如图：连接 ∵， ∴四边形的内角为： ． （2）解：四边形的外角和是360度，过程如下： ∵，， ∴ ． （3）解：结论1：多边形的内角和为，结论2：多边形的外角和为．说明如下： 结论1：如图： 将n边形分成n个三角形，则n边形的内角和为； 结论2：n边形的每个顶点由外角与相邻内角是邻补角，则n边形的外角和为： ． 题型4三角板中的角度计算（共11小题） 27．(25-26·上海中学东校·)如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______． 【答案】①②③④ 【详解】解：①， ， 故①正确； ②， ， 故②正确； ③过点作，如图， ， ， ， ， ， ； 故③正确； ④，， ， ， 故④正确． 故答案为：①②③④． 28．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______． 【答案】或 【详解】解：由已知可得，，， 分以下两种情况讨论： 当与相交于点E时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当与相交于点F时， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 29．(25-26七下·上海实验学校西校·)将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行． 【答案】或或 【详解】解：如下图所示， 当时，延长交于点， ， 在中，， ， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， 在中，， ， 秒； 当时，如下图所示， 可得：， ， ， ， ， 绕点旋转的度数为， 秒； 综上所述，当秒或秒或秒时，与三角板的直角边平行． 30．如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80． 31．解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)的大小不发生变化，恒为，理由见解析 (2)①；②，理由见解析；③，理由见解析 【详解】（1）解：的大小不发生变化，恒为，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ， ∴的大小不发生变化，恒为； （2）解：①∵， ∴； ②，理由如下： 由题意得，， ， ∴； ③，理由如下： ，， ． 32．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： (1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； (2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； (3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)15 (3)垂直，理由见解析 【详解】（1）解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； （2）解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； （3）解：垂直，理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ． 33．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)如图1，数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当三角板第一次回到图的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒或秒或秒或 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 如图6，当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得：． 如图7，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 综上，值为秒或秒或秒或秒或秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 34．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板中，，，，长方形中，． (1)问题初探：如图(1)，若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数． 分析：过点作．则有，从而得，，从而可以求得的度数．由分析得，请你直接写出：的度数为______，的度数为______． (2)类比再探：若将三角板按图所示方式摆放与不垂直，请你猜想写与的数量关系，并说明理由． (3)请你总结，解决问题的思路，在图中探究与的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）由题可得，， ； 故答案为：，； （2），理由： 证明：如图， 过作，则， ，， ， ， ； （3），理由： 证明：如图， 过作，则， ， ， ， ． 35．(25-26七下·上海闵行区浦江第一中学·)在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 【答案】(1)①；②10秒或15秒 (2)6或9或42或45 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， ∴（秒）； 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴（秒）， 综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行； （2）解：设旋转时间为秒，由题意得，，， 当时， 则， ∵， ∴ 解得：； 当时， ∴， ∵ ∴， 解得：； 当时， 则， ∵， ∴， 解得：； 当时， 则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行． 36．如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 37．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若三角板如图1摆放时，则∠α=　　 °，∠β=　　 °． (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； (3)将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 【答案】(1)15， 150 ； (2)45， 150 ； (3)综上所述，t的值为2或5或6或8或11． 【详解】（1）解∶如图1中，过点E作EJPQ， ∵， PQEJ， ∴EJMN， ∴，∠JEA=∠BAC=45°， ∴， ∵∠DEF=60°， ∴， ∵∠DFE=30°，， ∴， 故答案为∶ 15， 150 ； （2）解：如图2中， 利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ． ∵PQMN， ∴∠QEA=∠BAC=45° ， ∴∠AEP=180°-45°=135°， ∵∠CBA=45°， ∴∠CBM=180°-45°= 135*， ∵HE， HB分别平分∠AEP，∠CBM， ∴∠PEH=∠PEA=67.5°，∠MBH=∠FBM=67.5°， ∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°； （3）解：①当ACDF时，如图1， 易得此时BCED ， ∵ACDF，易知E，F，A三点共线，∠DFE= ∠FAC=30°， ∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2； ②当ACDE时，如图2， 易得此时BCDF．过点A作AHBC，则AH BCDF， ∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°， ∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°． ∴15t=120， ∴t=8， 当ACEF时，情况不存在； ④当BCDF时，同②； ⑤当BCED时，同①； ⑥当BCEF时，如图3， 此∠MAB=90°，即15t= 90，解得t=6； ⑦当ABDF时，如图4， ∵ABDF ∴∠BAF=∠DFE=30°， ∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5； ⑧当ABED时， ∵ABED， ∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°， ∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°， ∴15t=165， 解得t=11； ⑨当ABEF时，此情况不存在． 综上所述，t的值为2或5或6或8或11． 题型5 命题与证明（共2小题） 38．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)如图，有以下三个几何关系，（1）（2）（3），请你在其中任选两个作为条件，第三个作为结论，出一道题并证明其正确性． 已知：____________ 求证：____________ 证明： 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； 已知：，， 求证：， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)（1）问题发现：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，若，，则的度数为_____________； （2）拓展探究：如图①，已知点F，G分别在直线上，且，则之间有怎样的数量关系？写出结论并说明理由． 结论：_____________________________． 理由：如图②，过点E作， （                              ）， ， ∴（                                      ）， （                            ）， ， _______________________． 【答案】（1）；（2）；两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 【详解】解：（1）如图，过E作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图②，过点E作， （ 两直线平行，内错角相等）， ， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． 题型6 生活情境与跨学科问题（共8小题） 40．(25-26·上海中学东校·)如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果∠ABO＝α，∠DCO＝β，则∠BOC的度数是_____． 【答案】α+β. 【详解】如图，作OE∥AB，则OE∥CD， ∴∠ABO=∠BOE=α，∠COE=∠DCO=β， ∴∠BOC=∠BOE+∠COE=∠ABO+∠DCO=α+β. 故答案为α+β. 41．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 42．(24-25七下·上海华东师大二附中·期中)如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵桌角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴画出球经过的路径如下：    所以球会进入球袋． 43．(24-25七下·上海普陀区·期中)图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． (1)如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； (2)如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，过点B作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点A作，过点作交于点， ， ， ，平分， ， ， ， ， 角平分线与垂直， ， ， ． 44．(24-25七下·上海浦东新区·期中)根据表格中的素材，探索并在表格中完成任务． 项目主题 设计躺椅 设计背景 如图①，某家居制品工作室新设计了一款智能躺椅，可以根据人的坐姿自动调节椅背与腿托，使舒适感得到最大化，且该椅子的椅面始终与地面保持平行． 素材 如图②，已知在初始状态下，椅面平行于地面，腿托垂直于椅面，椅面与椅背所构成的此椅子可以通过开关分别调整椅背与腿托的角度，以达到舒适程度．已知在调整过程中，椅背以每秒顺时针转动，腿托以每秒顺时针转动． 任务一 如图③，在初始状态下仅调整腿托，使得腿托与椅背平行，请你在图③中画出此时拨托所在的直线，并求出腿托与椅面所形成的的度数； 任务二 如图④，在初始状态下仅调整椅背，将椅背转动，连接，此时测得，求的度数； 任务三 如图⑤，在初始状态下同时调整腿托与椅背，根据人体工学原理，当腿托与椅背平行时，舒适度更佳，求将椅子调整到该状态下，需要多长时间？ 【答案】任务一：图见解析，；任务二：；任务三：需要秒 【详解】任务一：画图如下： ∵， ∴； 任务二：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：， ∵， ∴； 任务三：设需要； 当时，， ∴， 解得：； 答：需要秒． 45．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题知，， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题知，， ， 又， ， 即， ∴， 故的度数为； （3）解：如图， 由题知，，， 又， ， ． 故答案为：． 46．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 【答案】(1)，，，平行于同一直线的两直线互相平行，剩余证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：数量关系：， ，（已知） （平行于同一直线的两直线互相平行）， ∴ 由题意得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴数量关系为； （2）解：如图， 由（1）结合已知可得， 设， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴反射角为； （3）解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，而 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得． 47．(25-26七下·上海实验学校西校·)综合与实践 【问题背景】 光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体，镜子与之间的角为．他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． 【初步探究】 （1）如图2，当，______°，______°，______°，此时入射光线与反射光线是平行的； 【深入探究】 （2）如图3，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角的大小； 【拓展应用】 （3）如图4，当，放入一块新的镜子，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小明发现当和满足一定数量关系时，．设，，求此时x和y之间满足的数量关系． 【答案】（1）90，180，180；（2）；（3） 【详解】解：（1）在中，． ， ， ，， ， ，， ， ， ； 故答案为：90，180，180； （2）在中， ， ， ，， 在中， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 作， ， ， ， ． 题型7 平行线拐点模型（共10小题） 48．(24-25七下·上海普陀区·期中)8．如图， ，点， ， ，分别在两条平行线之间，，，若， ，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ∴的度数为， 故选：． 49．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 50．(24-25七下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·月考)如图，若，则、、的关系是______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 51．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)如图， 已知， 点M、N分别是直线上的点， 点E、F在之间， 且位于的两侧，分别平分与， 点 G 在 内部， 且 ，如果， 那么的度数为___________．(用含的代数式表示) 【答案】 【详解】解：∵平分， ∴． 设，则， ∵平分， ∴， 设， ∴， 过作，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过作，如上图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 52．(25-26七下·上海闵行区华东理工大学附属闵行梅陇实验学校·)为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为___________． 【答案】 【详解】解：如图：过点C作， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴ ∵，， ∴， ． 53．(24-25七下·上海金山初级中学·期中)如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则________． 【答案】 【详解】解：延长交于点，如图所示： ，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，整理得：， ， ， 在中，， ， ， 即， ， 解得：， ． 故答案为：． 54．(24-25七下·上海奉贤区·期中)在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴∴∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 55．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)如图，已知是直线，间的一点，于点，交于点，． (1) ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，请求出的度数； ②当时，请求出的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 56．(25-26七下·上海蒙山中学·)问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 57．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 题型8双角平分线模型（共6小题） 58．如图，已知∠A＝n°，若P1点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，P2点是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分线的交点，P3点是∠P2BC和外角∠P2CE的交点…依此类推，则∠Pn＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵BP1平分∠ABC，CP1平分∠ACE，∴∠P1BC∠ABC，∠P1CE∠ACE． ∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1+∠P1BC，∴∠P1∠A，同理∠BP2C∠BP1C，∠BP3C∠BP2C，由此可发现规律∠BPnC∠A． 故选B． 59．(24-25七下·上海民一中学·期中)如图，点E是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点E作，交于点M，交于点N，若，则线段的长度为 __． 【答案】6 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 故答案为：6． 60．(25-26·上海中学东校·)如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则______． 【答案】/90度 【详解】解：∵是的平分线， ， ∴， ∵是的外角的平分线，， ∴， ∴ ∵ ∴, ∴ 故答案为：. 61．(24-25七下·上海民办德英乐实验学校·期中)如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 【答案】 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 62．(24-25七下·上海奉贤区·期中)2．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 63．已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图2结论：；图3结论： 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 学科网（北京）股份有限公司 $