专题18：三角形（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第六章：平面图形 专题18：三角形 （9大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：三角形的概念及表示方法 考点02：三角形的稳定性及应用 考点03：三角形三边关系 考点04：三角形的分类 考点05：等腰三角形和等边三角形 考点06：画三角形 考点07：三角形的内角和 考点08：多边形的内角和 考点09：三角形的周长 考点10：三角形的面积 知识点01：三角形的认识和分类 1.三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 2.三角形的特性 （1）稳定性：三角形具有稳定性，例如自行车的车架、篮球架等都是利用了三角形的稳定性。 （2）三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3.三角形的分类 （1）按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 （2）按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 知识点02：三角形的内角和 1.三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 2.多边形内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 知识点03：三角形的面积 1. 三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2，其中a表示三角形的底，h表示三角形这条底边对应的高。 2.直角三角形的面积公式：直角三角形面积＝直角边×直角边÷2，两条直角边互为底和高。 【易错点拨】 （1）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 （3）等底等高的三角形面积相等。 考点01：三角形的概念及表示方法 【典型例题】一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是（ ）cm。 【变式训练】乐乐不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如图），他只拿其中一块玻璃去玻璃店切割出一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？（     ） A．3 B．2 C．1 D．都可以 考点02：三角形的稳定性及应用 【典型例题】美美用木条钉了一个六边形框架（如图），要使它稳定不易变形，最少要再钉上（ ）根木条。 【变式训练】下面用到三角形稳定性的有（     ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ 考点03：三角形三边关系 【典型例题】如下图，明明想把一根长8cm的绳子剪成3段，围成一个三角形。他先在2cm处剪了一刀，再在（ ）cm处剪一刀，就能围成一个三角形。 【变式训练】小红用3根小棒围一个三角形，她选了10cm和6cm的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是（     ）cm。 A．5 B．15 C．16 考点04：三角形的分类 【典型例题】在同一幅图上，如果点A的位置是（1，5），点B的位置是（1，1），点C的位置是（3，1），那么三角形ABC一定是（     ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【变式训练】一个三角形中，∠1＝∠2＝55°，∠3＝（ ）°，按角的特征分类，它是（ ）三角形；按边的特征分类，它是（ ）三角形。 考点05：等腰三角形和等边三角形 【典型例题1】将一个等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针方向旋转90°。连续操作3次后，得到的图形是一个（ ）。 【典型例题2】等腰三角形的一个内角是46°，它的顶角的度数是（ ）。 【变式训练】一个等腰三角形，三条边长度都是整厘米数。其中两条边的长度分别是7厘米和15厘米，这个三角形的周长是（ ）厘米。 考点06：画三角形 【典型例题】（1）请在方格纸上以线段AB为直角边，画出1个面积是6平方厘米的直角三角形。 （2）把你画的直角三角形，按照1∶2缩小后画在方格纸上。（图中每个小正方形的边长表示1厘米） 【变式训练】（1）以AB边为底，画出一个和三角形ABC面积相等的三角形。 （2）画出把三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。 （3）画出把三角形ABC向左平移5个方格后的图形。 考点07：三角形的内角和 【典型例题】一个三角形中，三个内角度数的比是2∶3∶5，则最大的一个内角是（ ）°。 【变式训练】如图，若∠1＝30°，则∠2＝（     ）。 A．60° B．100° C．120° D．140° 考点08：多边形的内角和 【典型例题】数学课上，四位同学用了不同方法探索六边形的内角和。其中瑶瑶的方法是：180°×5－180°＝720°，她画出的是图（     ）。 A． B． C． D． 【变式训练】如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（     ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 考点09：三角形的周长 【典型例题】用一根铁丝围成一个三角形，三角形各边的长度比是4∶5∶7，已知最长边比最短边长了，则这根铁丝长（ ）。 【变式训练】已知一个等腰三角形的两条边长分别为2厘米和4厘米，则这个三角形的周长是（     ）。 A．8厘米 B．10厘米 C．12厘米 D．8厘米或10厘米 考点10：三角形的面积 【典型例题】一个直角三角形的两条直角边共长21厘米，它们的长度比是3∶4，如果斜边长15厘米，那么斜边上的高是（ ）厘米。 【变式训练】如图交通标识牌，表示减速慢行。这个近似三角形标识牌底边长6分米，这条边上的高是5分米，这个标识牌的面积是（ ）平方分米，如果每平方分米用4克油漆，这块标识牌共用了（ ）克油漆（注：单面刷漆）。 一、选择题 1．下面四组长度的线段中，能围成三角形的是（     ）。 A．0.5cm、1cm、1.8cm B．1cm、2.5cm、3cm C．2cm、2cm、4cm D．2.5cm、3.5cm、6cm 2．乐乐用四根长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、7厘米的木棒摆三角形，他能摆出（     ）种不同的三角形。 A．3 B．4 C．5 D．7 3．下面是两个完全相同的长方形，图中阴影部分的面积比较，正确的是（     ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．不确定 4．两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（     ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 5．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（     ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 6．把图中三角形按3∶1的比缩小后： ①相对应的“线段BC的长度”；②“三角形的面积”； ③“∠A的度数”；④“AB与AC长度的比值”。 四个要素中，不发生变化的有（     ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．一个三角形三个内角的度数的比是2∶3∶7，这个三角形是（     ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能 二、填空题 8．已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长（ ）厘米。 9．一个五边形的内角和是（ ）度。 10．一个直角三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是（ ）cm²。 11．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，它的周长是（ ）厘米。 12．三角形的三个内角度数比是2∶3∶5，此三角形按角分是（ ）三角形，最小的内角是（ ）度。 13．活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是（ ）分米。 14．一个等腰三角形的顶角与一个底角的度数比是，那么它的顶角是（ ），按角分类这是一个（ ）三角形。 15．把一根长度为21厘米的小棒，先截成三段整厘米数的小棒，再围成一个三角形。那么这三根小棒中最长的一根最多是（ ）厘米。 16．一个等腰三角形，顶角角度是底角的两倍，顶角是（ ）。 17．一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是（ ）厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是（ ）厘米。 18．正方形网格中线段的交点称为格点，若格点与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点共有（ ）个。 19．一根铁丝正好可以围成一个半径是6厘米的圆，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米。 20．如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AB、CD上。若△AED、△DEF、四边形BCFE的面积比是1∶3∶5，则AE∶EB＝（ ）。 21．小华量得一个等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为4.5cm。这个三角形的周长是（ ）cm。 22．如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 （1）∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 （2）通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是（ ）三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是（ ）厘米。 （3）如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝（ ）°。 23．三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如图）那么，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 三、作图题 24．按要求作图。 ①画出一个与三角形ABC面积相等形状不同的三角形。 ②画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形；同时用阴影表示出线段AB在旋转过程中扫过的面积。（借助圆规完成） 四、解答题 25．如图，把三角形ABC的边AC延长到点D。请你说明∠2＋∠3＝∠4。 26．用2个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，用4个完全一样的等腰直角三角形也可以拼成一个正方形。（如图） 如果这个等腰直角三角形的斜边长是10厘米，请你利用上面的知识计算这个等腰直角三角形的面积。 27．如图所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米，求三角形ABC的面积。 28．探索图形。 情景描述：小亮探究三角形，他先在作业本上画了一个三角形ABC，接着把边BC延长到点D。通过推理，他发现一个正确结论：∠3＋∠4＝180°。接着他又发现并提出一个非常有价值的问题：“∠1＋∠2＝∠4吗？”可他不会推理。假如小亮向你请教，你觉得∠1＋∠2＝∠4吗？请写出推理过程。 29．一只蚂蚁P，沿边长4厘米的正方形ABCD顺时针爬行，爬行速度为每秒1厘米。 （1）它从A点出发，爬行2秒后，在如图中画出蚂蚁P的位置，列式计算出三角形ACP的面积。 （2）它从A点出发，爬行4秒后，列式计算出三角形ACP的面积。 （3）爬行一周回到A点后，三角形ACP的面积出现几次4平方厘米？你发现了什么？ 30．等腰直角三角形ABC中，D为AB中点，E为AC三分点，BE与CD交于点F，若，求的值。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章：平面图形 专题18：三角形 （9大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：三角形的概念及表示方法 考点02：三角形的稳定性及应用 考点03：三角形三边关系 考点04：三角形的分类 考点05：等腰三角形和等边三角形 考点06：画三角形 考点07：三角形的内角和 考点08：多边形的内角和 考点09：三角形的周长 考点10：三角形的面积 知识点01：三角形的认识和分类 1.三角形的定义：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做三角形。 2.三角形的特性 （1）稳定性：三角形具有稳定性，例如自行车的车架、篮球架等都是利用了三角形的稳定性。 （2）三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3.三角形的分类 （1）按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 （2）按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 知识点02：三角形的内角和 1.三角形的内角和：三角形的内角和是180°。 2.多边形内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 知识点03：三角形的面积 1. 三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为S＝ah÷2，其中a表示三角形的底，h表示三角形这条底边对应的高。 2.直角三角形的面积公式：直角三角形面积＝直角边×直角边÷2，两条直角边互为底和高。 【易错点拨】 （1）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 （3）等底等高的三角形面积相等。 考点01：三角形的概念及表示方法 【典型例题】一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是（ ）cm。 【答案】2.4 【分析】直角三角形三条边中，斜边最长，因此，直角边为3cm和4cm，并且它们互为底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，代入两条直角边数据得出三角形的面积，根据高＝三角形面积×2÷底，代入面积和斜边的数据，求出斜边上的高的长度。 【详解】3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 6×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（cm） 因此，一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是2.4cm。 【变式训练】乐乐不小心把家里的一块玻璃摔成3块（如图），他只拿其中一块玻璃去玻璃店切割出一块与原来一样大的玻璃，你知道他拿的是哪一块玻璃吗？（     ） A．3 B．2 C．1 D．都可以 【答案】A 【分析】观察这块玻璃，如果只拿1号块去，延长断的两条边，不确定断的两条边和第3条边的长度。如果只拿2号块去，向两边延长断的两条边，可以确定出一个角，但不确定断的两条边和第3条边的的长度。如果只拿去3号块去，延长断的两条边相交，可以确定断的两条边的长度，即确定这个三角形。 【详解】根据分析可知：只拿去3号块去，可切割出一块与原来一样大的玻璃。 故答案为：A 考点02：三角形的稳定性及应用 【典型例题】美美用木条钉了一个六边形框架（如图），要使它稳定不易变形，最少要再钉上（ ）根木条。 【答案】3 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。而四边形具有不稳定性。把六边形框架用木条分成几个三角形即可。 【详解】如图：要使它稳定不易变形，最少要再钉上3根木条。 【变式训练】下面用到三角形稳定性的有（     ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意，①自行车的车架由三角形构成，利用了三角形稳定性； ②三脚架的支撑结构同样由三角形构成；③含有斜撑形成的三角形结构。 平行四边形具有不稳定性，生活中很多地方用到平行四边形的不稳定性，④伸缩性大门用到平行四边形的不稳定性。 以此答题即可。 【详解】根据分析可知： ①②③都运用了三角形稳定性。 故答案为：A 考点03：三角形三边关系 【典型例题】如下图，明明想把一根长8cm的绳子剪成3段，围成一个三角形。他先在2cm处剪了一刀，再在（ ）cm处剪一刀，就能围成一个三角形。 【答案】5 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，第一条边2cm，第二刀在几cm处剪，分析剪完之后的三条边是否符合两边之和大于第三边。 【详解】2＋3＝5＞3 所以三角形的三条边分别为2厘米、3厘米、3厘米。 2＋3＝5（厘米） 所以在2cm处剪了一刀，再在5cm刻度处剪一刀就能围成一个三角形。 【变式训练】小红用3根小棒围一个三角形，她选了10cm和6cm的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是（     ）cm。 A．5 B．15 C．16 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形的两条边分别是10厘米和6厘米，厘米，厘米，则第三边的长度会大于4厘米小于16厘米，所以第三根小棒最长是15厘米。 【详解】小红用3根小棒围一个三角形，她选了10cm和6cm的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是15厘米。 故答案为：B 考点04：三角形的分类 【典型例题】在同一幅图上，如果点A的位置是（1，5），点B的位置是（1，1），点C的位置是（3，1），那么三角形ABC一定是（     ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【分析】点A（1，5）和点B（1，1）的横坐标相同，说明线段AB是一条竖直线段。 点B（1，1）和点C（3，1）的纵坐标相同，说明线段BC是一条水平线段。 判断角的类型：竖直线段与水平线段互相垂直，因此∠ABC是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】点A（1，5）与点B（1，1）横坐标相同，线段AB为竖直线段；点B（1，1）与点C（3，1）纵坐标相同，线段BC为水平线段。由于竖直线段与水平线段互相垂直，∠ABC为直角，因此三角形ABC是直角三角形。 故答案为：B 【变式训练】一个三角形中，∠1＝∠2＝55°，∠3＝（ ）°，按角的特征分类，它是（ ）三角形；按边的特征分类，它是（ ）三角形。 【答案】 70 锐角 等腰 【分析】（1）三角形的内角和是180°，用内角和减去∠1与∠2的度数和，即可求出∠3的度数。 （2）三个角都小于90°的三角形是锐角三角形；有一个角等于90°的三角形是直角三角形；有一个角大于90°的三角形是钝角三角形。 （3）在三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，同理三个角都相等的三角形是等边三角形。 【详解】（1）∠1＋∠2＝55°＋55°＝110° ∠3＝180°－110°＝70° （2）因为55°＜90°，70°＜90°，所以该三角形是锐角三角形。 （3）因为∠1＝∠2，所以该三角形有两条边相等，是等腰三角形。 考点05：等腰三角形和等边三角形 【典型例题1】将一个等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针方向旋转90°。连续操作3次后，得到的图形是一个（ ）。 【答案】正方形 【分析】等腰直角三角形：两腰（两直角边）相等，两底角相等且为45°，两腰夹角为90°； 正方形：4条边都相等，4个角都是直角； 旋转三要素及旋转图形：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，顺时针就是和钟表指针旋转的方向相同。 【详解】如图：，顺时针旋转3次后： ①直角绕顶点增加了3次，最后形成的4个直角的和为90°×4＝360°； ②2个底角相邻，形成了45°×2＝90°； ③原来的斜边相邻，4条斜边组成了四边形，因为四条边相等，4个角都是直角，所以是正方形。 【典型例题2】等腰三角形的一个内角是46°，它的顶角的度数是（ ）。 【答案】46°或88° 【分析】根据三角形内角和为180°，再确定等腰三角形的这个内角46°是顶角还是底角，然后进一步解答。 【详解】要分两种情况进行讨论， 第一种情况，当46°内角是顶角时，另外两个底角是： （180°－46°）÷2 =134°÷2 =67°，符合题意。 第二种情况，当46°内角是底角时，另外一个顶角是： 180°－46°×2 =180°－92° =88°，符合题意。 所以等腰三角形的一个内角是46°，它的顶角的度数是46°或88°。 【变式训练】一个等腰三角形，三条边长度都是整厘米数。其中两条边的长度分别是7厘米和15厘米，这个三角形的周长是（ ）厘米。 【答案】37 【分析】根据等腰三角形的性质，第三条边可能是7厘米或15厘米。再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，验证找出符合条件的第三边的长度，再把三角形的三边相加。 【详解】第三条边可能是7厘米或15厘米。 7＋7＝14（厘米），14厘米＜15厘米，所以三角形的第三边不可能是7厘米； 15＋15＝30（厘米），30厘米＞7厘米，所以三角形的第三边是15厘米。 15＋15＋7 ＝30＋7 ＝37（厘米） 所以这个三角形的周长是37厘米。 考点06：画三角形 【典型例题】（1）请在方格纸上以线段AB为直角边，画出1个面积是6平方厘米的直角三角形。 （2）把你画的直角三角形，按照1∶2缩小后画在方格纸上。（图中每个小正方形的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【分析】（1）由图可知，线段AB的长是6厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，直角三角形的两条直角边互为底和高，用直角三角形的面积乘2，再除以线段AB的长就是直角三角形的另一条边。据此画图。 （2）按照1∶2缩小，用直角三角形的两直角边分别除以2，就是缩小后的两直角边的长。据此画图。 【详解】（1）6×2÷6 ＝12÷6 ＝2（厘米） （2）2÷2＝1（厘米） 6÷2＝3（厘米） （1）（2）如图： （答案不唯一） 【变式训练】（1）以AB边为底，画出一个和三角形ABC面积相等的三角形。 （2）画出把三角形ABC绕点A逆时针旋转90°后的图形。 （3）画出把三角形ABC向左平移5个方格后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）以AB边为底，画出一个和三角形ABC面积相等的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，可知所画三角形的高也等于三角形ABC的高，据此画出与三角形ABC等底等高，但形状不同的三角形。 （2）根据旋转的特征，将三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，点A位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （3）根据平移的特征，将三角形ABC的各顶点分别向左平移5个方格，依次连接即可得到平移后的图形。 【详解】（1）与三角形ABC面积相等的三角形如图①所示：（画法不唯一） （2）旋转后的图形如图②所示：（3）平移后的图形如图③所示： 考点07：三角形的内角和 【典型例题】一个三角形中，三个内角度数的比是2∶3∶5，则最大的一个内角是（ ）°。 【答案】90 【分析】已知三角形的内角和是180°，三个内角度数的比是2∶3∶5，共2＋3＋5＝10份，用内角和180°除以总份数求出每份的度数，再用每份的度数乘5即可求出最大的内角度数。 【详解】2＋3＋5＝10 180°÷10×5 ＝18°×5 ＝90° 所以最大的一个内角是90°。 【变式训练】如图，若∠1＝30°，则∠2＝（     ）。 A．60° B．100° C．120° D．140° 【答案】C 【分析】由图可知，∠1所在的三角形是直角三角形，在直角三角形中，有一个角是90°，三角形的内角和为180°。已知∠1＝30°，则直角三角形中除∠1外的另一个锐角的度数为180°－90°－30°＝60°。因为这个锐角与∠2组成一个平角，平角为180°，所以∠2＝180°－60°＝120°。 【详解】∠1所在的三角形是直角三角形。 180°－90°－30°＝60° 180°－60°＝120° 所以∠2＝120°。 故答案为：C 考点08：多边形的内角和 【典型例题】数学课上，四位同学用了不同方法探索六边形的内角和。其中瑶瑶的方法是：180°×5－180°＝720°，她画出的是图（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】六边形可以分成若干个三角形，通过三角形内角和180°，即可求出六边形的内角和。 A．将六边形分成6个三角形，（三角形内角和×6）求出的度数比六边形的内角和多了中间一个周角，因此六边形的内角和＝三角形内角和×6－360°； B．将六边形分成4个三角形，因此六边形的内角和＝三角形内角和×4； C．将六边形分成4个三角形，因此六边形的内角和＝三角形内角和×4； D．将六边形分成5个三角形，但是这5个三角形共同的顶点处多算了180°，因此六边形的内角和＝三角形内角和×5－180°。 【详解】A．180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° B．180°×4＝720° C．180°×4＝720° D．180°×5－180° ＝900°－180° ＝720° 瑶瑶的方法是：180°×5－180°＝720°，她画出的是图。 故答案为：D 【变式训练】如下图，在三角形ABC中，∠B＝70°。若沿图中的虚线剪出∠B，则∠1＋∠2等于（     ）。 A．250° B．270˚ C．225˚ 【答案】A 【分析】如图，在三角形ABC中，∠B＝70˚，根据三角形内角和为180˚，用180˚减去∠B即可求出∠A和∠C的和；再根据四边形内角和为360°，用360˚减去∠A和∠C的和，即可得到∠1＋∠2的度数。 【详解】∠A＋∠C：180°－70°=110° ∠1＋∠2：360°－110°=250° 故答案为：A 考点09：三角形的周长 【典型例题】用一根铁丝围成一个三角形，三角形各边的长度比是4∶5∶7，已知最长边比最短边长了，则这根铁丝长（ ）。 【答案】48 【分析】根据三角形各边的长度比4∶5∶7，可知最短边对应4份，最长边对应7份，最长边比最短边多（7－4）份，即3份。已知最长边比最短边长9cm，因此每份长度为9÷3＝3（cm）。总份数列式为4＋5＋7，再用每份长度乘总份数即可得铁丝长度（周长）。 【详解】9÷（7－4） ＝9÷3 ＝3（cm） 3×（4＋5＋7） ＝3×（9＋7） ＝3×16 ＝48（cm） 用一根铁丝围成一个三角形，三角形各边的长度比是4∶5∶7，已知最长边比最短边长了，则这根铁丝长48。 【变式训练】已知一个等腰三角形的两条边长分别为2厘米和4厘米，则这个三角形的周长是（     ）。 A．8厘米 B．10厘米 C．12厘米 D．8厘米或10厘米 【答案】B 【分析】等腰三角形两腰长度相等，所以需要判断哪条边是腰。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，如果腰长为2厘米，2＋2＝4，不满足三边关系；所以腰长只能是4厘米，再计算周长，据此分析。 【详解】因为如果腰长是2厘米，2＋2＝4，不满足三角形三边关系，所以腰长为4厘米。周长为4＋4＋2＝10（厘米）。 故答案为：B 考点10：三角形的面积 【典型例题】一个直角三角形的两条直角边共长21厘米，它们的长度比是3∶4，如果斜边长15厘米，那么斜边上的高是（ ）厘米。 【答案】7.2 【分析】把两条直角边分别看作3份和4份，已知两条直角边的和是21厘米，用21÷（3＋4）即可求出每份是多少，进而用乘法求出3份和4份，也就是两条直角边，根据三角形的面积＝底×高÷2，用两条直角边相乘再除以2即可求出三角形的面积；然后根据三角形的高＝面积×2÷底，用三角形的面积×2÷15即可求出斜边上的高。 【详解】21÷（3＋4） ＝21÷7 ＝3（厘米） 3×3＝9（厘米） 3×4＝12（厘米） 9×12÷2＝54（平方厘米） 54×2÷15＝7.2（厘米） 斜边上的高是7.2厘米。 【变式训练】如图交通标识牌，表示减速慢行。这个近似三角形标识牌底边长6分米，这条边上的高是5分米，这个标识牌的面积是（ ）平方分米，如果每平方分米用4克油漆，这块标识牌共用了（ ）克油漆（注：单面刷漆）。 【答案】 15 60 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据求出标识牌的面积；再用标识牌的面积乘4就是需要油漆的质量。 【详解】6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（平方分米） 15×4＝60（克） 这个标识牌的面积是15平方分米，这块标识牌共用了60克油漆。 一、选择题 1．下面四组长度的线段中，能围成三角形的是（     ）。 A．0.5cm、1cm、1.8cm B．1cm、2.5cm、3cm C．2cm、2cm、4cm D．2.5cm、3.5cm、6cm 【答案】B 【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边，但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较。 【详解】A．0.5＋1＝1.5，1.5＜1.8，所以三条线段不能围成三角形； B．1＋2.5＝3.5，3.5＞3，所以三条线段能围成三角形； C．2＋2＝4，4＝4，所以三条线段不能围成三角形； D．2.5＋3.5＝6，6＝6，所以三条线段不能围成三角形。 2．乐乐用四根长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、7厘米的木棒摆三角形，他能摆出（     ）种不同的三角形。 A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据三角形的特性：两边之和一定大于第三条边，两边之差一定小于第三条边。据此逐一分析即可。 【详解】能摆成三角形的有：①3厘米、4厘米、5厘米；②3厘米、5厘米、7厘米；③4厘米、5厘米、7厘米。 所以他能摆出3种不同的三角形。 故答案为：A 3．下面是两个完全相同的长方形，图中阴影部分的面积比较，正确的是（     ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．不确定 【答案】C 【分析】从图中可知，图中阴影部分均为三角形，甲图中阴影部分三角形的底为长方形的宽，高为长方形的长；乙图中阴影部分三角形的底为长方形的长，高为长方形的宽，根据三角形的面积＝底×高÷2，分别计算甲、乙阴影部分的面积。再根据长方形的面积＝长×宽来解答。 【详解】甲阴影部分的面积：宽×长÷2 乙阴影部分的面积：长×宽÷2 可知甲、乙阴影部分的面积均为长方形面积的一半，而两个长方形完全相同，所以它们阴影部分的面积相等。 故答案为：C 4．两根小棒，长度分别为5cm和10cm，再选一根长（     ）cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】等腰三角形要求至少两条边长度相等。已知两根小棒长度分别为5cm和10cm，不相等，因此第三根小棒的长度必须等于5cm或10cm，才能满足等腰条件。结合三角形的任意两边之和大于第三边，分情况进行讨论即可解答。 【详解】如果选取小棒的长度是5cm： 5＋5＝10（cm） 此时不能构成三角形，所以不能选5cm的小棒。 如果选取第三边的长度是10cm： 10＋10＞5 能构成等腰三角形。 所以再选一根长10cm的小棒就能拼成一个等腰三角形。 故答案为：C 5．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（     ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【详解】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，先确定第一刀剪后余下两段长度和，再分析第二刀的位置。 【解答】A．a处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－1－3＝6（厘米）； 1＋3＜6，不能围成三角形； B．b处剪开，三条边分别是3厘米、2厘米、10－3－2＝5（厘米）； 2＋3＝5，不能围成三角形； C．c处剪开，三条边分别是3厘米、3厘米、10－3－3＝4（厘米）； 3＋3＞4，能围成三角形； D．d处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－3－1＝6（厘米） 3＋1＜6，不能围成三角形；。 所以第2刀应该选在C处。 故答案为：C 6．把图中三角形按3∶1的比缩小后： ①相对应的“线段BC的长度”；②“三角形的面积”； ③“∠A的度数”；④“AB与AC长度的比值”。 四个要素中，不发生变化的有（     ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同，据此判断。 【详解】图中三角形按3∶1的比缩小后： ①相对应的“线段BC的长度”变为原来长度的； ②△ABC的面积＝AC×BC÷2，缩小后的三角形的面积＝AC×BC÷2＝×△ABC的面积，“三角形的面积”变小，变为原来的； ③“∠A的度数”不变； ④“AB与AC长度的比值”缩小后也为3∶1，即比值不变。 不发生变化的有③④，不发生变化的有2个。 故答案为：B 7．一个三角形三个内角的度数的比是2∶3∶7，这个三角形是（     ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和是180°，三个内角的度数比是2∶3∶7，即将180°平均分成2＋3＋7＝12份。求得1份量后，再乘7，算出最大的角的度数，如果最大的角是大于0°小于90°，则为锐角三角形，若最大的角等于90°，则为直角三角形，若最大的角大于90°小于180°，则为钝角三角形。 【详解】2＋3＋7＝12 180°×＝105° 因为最大的内角是钝角，这个三角形是钝角三角形。 故答案选：A。 二、填空题 8．已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长（ ）厘米。 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质确定第三边的两种可能长度，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，从而确定三角形第三条边的长度。 【详解】第三条边的长度可能为5厘米或者10厘米。 第一种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、5厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中不满足三角形的三边关系，因此不能构成三角形； 第二种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、10厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中或都满足三角形的三边关系，因此能构成三角形； 所以它的第三条边长为10厘米。 9．一个五边形的内角和是（ ）度。 【答案】540 【分析】从n边形的一个顶点出发，可以作（n－3）条对角线，把n边形分成（n－2）个三角形。因为三角形内角和是180度，所以n边形内角和公式为（n－2）×180度（n大于等于3且n为整数）。 对于五边形：这里n＝5，将其代入多边形内角和公式即可求出五边形内角和。 【详解】（5－2）×180 ＝3×180 ＝540（度） 一个五边形的内角和是540度。 10．一个直角三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，这个三角形的面积是（ ）cm²。 【答案】6 【分析】在直角三角形中，斜边为最长的边，则直角三角形的直角边为3cm，4cm，再根据三角形的面积＝底×高÷2即可求出这个三角形的面积。 【详解】3×4÷2＝6（cm²） 即这个三角形的面积为6cm²。 11．一个等腰三角形的两条边分别是5厘米和11厘米，它的周长是（ ）厘米。 【答案】27 【分析】根据等腰三角形有两条边相等，已知两条边分别为5厘米和11厘米，则等腰三角形的三条边长度是5厘米、5厘米、11厘米或5厘米、11厘米、11厘米。三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边。5＋5＝10（厘米），10＜11，则长度是5厘米、5厘米、11厘米的三条边不能构成三角形；11＋11＝22（厘米），22＞5，11＋5＝16（厘米），16＞11，则长度是5厘米、11厘米、11厘米的三条边可以构成三角形。因此三边为11厘米、11厘米和5厘米，周长为三边之和。 【详解】如果等腰三角形三条边分别是5厘米、5厘米、11厘米，5厘米＋5厘米＝10厘米，10厘米＜11厘米，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件，因此不能构成三角形。 如果等腰三角形三条边分别是5厘米、11厘米、11厘米，11厘米 ＋ 11厘米＝22厘米 ，22厘米＞5厘米，11厘米＋5厘米＝16厘米，16厘米 ＞ 11厘米，满足三角形三边关系。因此，三角形的三边分别为11厘米、11厘米和5厘米。 11＋11＋5 ＝22＋5 ＝27（厘米） 则等腰三角形的周长是27厘米。 12．三角形的三个内角度数比是2∶3∶5，此三角形按角分是（ ）三角形，最小的内角是（ ）度。 【答案】 直角 36 【分析】根据三角形内角和为180度，将比例2∶3∶5的总份数求出，然后计算每个角的度数，从而判断三角形类型并找出最小内角。 【详解】2＋3＋5＝10（份） 最小内角：（度） 最大内角：（度） 由于有一个角是90度，因此三角形按角分是直角三角形，最小的内角是36度。 13．活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是（ ）分米。 【答案】 【分析】等腰三角形的特征是两条腰相等，已知一个等腰三角形的两条边的长度分别是分米和分米，则另外一条边可能是分米或分米；根据三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边求出另一条边的长度，最后把三条边相加之和就是这个等腰三角形的周长。 【详解】如果这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＝，因为＜，不满足三角形的两边之和大于第三条边，所以这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝（分米） 这个三角形的周长是分米。 14．一个等腰三角形的顶角与一个底角的度数比是，那么它的顶角是（ ），按角分类这是一个（ ）三角形。 【答案】 100 钝角 【分析】等腰三角形的两腰相等、两底角相等，所以，这个三角形的三个角之比是5∶2∶2，把它们看作份数，用三角形内角和180°除以总份数求出每份数是多少，再求出各角的度数，根据角的大小判断三角形的类型。 【详解】这个等腰三角形的三个角之比是5∶2∶2。 180°÷（5＋2＋2） ＝180°÷9 ＝20° 20°×2＝40°，20°×5＝100° 三角形的顶角是100°，两个底角都是40°，最大的角是钝角。 所以，这个三角形的顶角是100°，按角分类这个是一个钝角三角形。 15．把一根长度为21厘米的小棒，先截成三段整厘米数的小棒，再围成一个三角形。那么这三根小棒中最长的一根最多是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】由三角形的三边关系可知，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，据此求解即可。 【详解】21÷2＝10.5（厘米） 因为截成的三段小棒是整厘米数，所以两个短边的和大于或等于11厘米。 21－11＝10（厘米） 所以这三根小棒中最长的一根最多是10厘米。 16．一个等腰三角形，顶角角度是底角的两倍，顶角是（ ）。 【答案】90°/90度 【分析】三角形的内角和等于180°，等腰三角形底角相等，可以通过列方程进行解题，设底角的度数是x，顶角的度数就是2x，所以2x＋x＋x＝180°，然后根据等式的性质进行解方程，然后计算出底角的度数后再乘2即可解题。 【详解】设底角的度数为x。 x＋x＋2x＝180° 2x＋2x＝180° 4x＝180° 4x÷4＝180°÷4 x＝45° 45°×2＝90° 一个等腰三角形，顶角角度是底角的两倍，顶角是90°。 17．一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是（ ）厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是（ ）厘米。 【答案】 9 4 【分析】三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知三角形面积为36平方厘米，高是8厘米，把数据代入计算即可得出三角形的底。当平行四边形与三角形等底等积时，三角形的高是平行四边形高的2倍，所以用三角形的高除以2即可得出平行四边形的高。 【详解】36×2÷8＝9（厘米） 8÷2＝4（厘米） 一个三角形的底是9厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是4厘米。 18．正方形网格中线段的交点称为格点，若格点与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点共有（ ）个。 【答案】4 【分析】本题需要用到等腰直角三角形的定义，即有一个角为90°，且两条直角边相等的三角形。通过在正方形网格中寻找符合条件的格点，可以确定满足条件的格点数量。 根据等腰直角三角形的定义，以AB为斜边或直角边来确定符合条件的格点。在正方形网格中，以AB为等腰直角三角形的底时，存在2个格点使得构成的三角形是等腰直角三角形；以AB为等腰直角三角形的腰时，存在2个格点使得构成的三角形是等腰直角三角形。据此解答。 【详解】如图，分两种情况讨论： （1）AB为等腰直角三角形的底，格点C有2种情况（红色点处）； （2）AB为等腰直角三角形的腰，格点C有2种情况（绿色点处）。 2＋2＝4（个） 图中符合要求的格点C共有4个。 正方形网格中线段的交点称为格点，若格点与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点共有4个。 19．一根铁丝正好可以围成一个半径是6厘米的圆，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】根据C＝2πr求出圆周长，它也是铁丝长，也是等边三角形周长，用周长除以3就是三角形的边长，据此解答。 【详解】2×3.14×6÷3 ＝37.68÷3 ＝12.56（厘米） 故这个三角形的边长是12.56厘米。 20．如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AB、CD上。若△AED、△DEF、四边形BCFE的面积比是1∶3∶5，则AE∶EB＝（ ）。 【答案】2∶7 【分析】因为△AED的面积与△DEF的面积比是，且这两个三角形的高相等，所以可以找出DF和AE的关系。因为△AED的面积与梯形BCFE的面积的比是，且△AED与梯形BCFE的高相等，所以可以找出BE与CF的和与AE的关系。 【详解】因为△AED的面积与△DEF的面积比是，且这两个三角形的高相等， 所以DFAE； 因为△AED的面积与梯形BCFE的面积的比是，且△AED与梯形BCFE的高相等， 所以BECFAE； 而AEBEDFCF， 所以AEBEAEAEBE， 则BEAE， 所以AEBE 故答案为： 21．小华量得一个等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为4.5cm。这个三角形的周长是（ ）cm。 【答案】11 【分析】等腰三角形的腰长相等，即等腰三角形有两条边相等，三角形的两边之和大于第三边，假设三角形的另一边是2cm，看是否能构成三角形，再假设三角形的另一边是4.5cm，看能否构成三角形，能构成三角形的第三边符合要求，据此求出第三边的长，再把三边的和相加求出三角形的周长即可。 【详解】因为2＋2＝4（cm） 4cm＜4.4cm 所以2cm的边是底。 4.5＋4.5＋2 ＝9＋2 ＝11（cm） 所以这个三角形的周长是11cm。 22．如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 （1）∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 （2）通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是（ ）三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是（ ）厘米。 （3）如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝（ ）°。 【答案】（1） 30 60 （2） 等边 15 （3）240 【分析】（1）根据图形折叠，可知最后剪下来的是等边三角形，等边三角形的每个内角都是60度，即∠2＝60°，根据折叠性质即可求出∠1＝60°÷2＝30°； （2）根据等边三角形的性质可知，三边相等，都等于正方形边长，根据封闭图形一周的长度即为周长，据此即可求出三角形的周长； （3）根据等边三角形的性质可知三个内角都是60°，而四边形的内角和是360°，据此即可求出∠3和∠4的度数和。据此解答。 【详解】（1）∠2＝60°。∠1＝60°÷2＝30° 所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5×3＝15（厘米） 通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是等边三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是15厘米。 （3）∠3＋∠4＝360°－60°－60°＝240° 即剩下的四边形中，∠3＋∠4＝240°。 23．三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如图）那么，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】6 【分析】如图：根据题意将它的最短边对折与斜边相重合可知，则AC＝6厘米，BC＝8cm；AB＝10厘米；AD＝AC；DE＝EC；设DE为x厘米，则EC也是x厘米；根据三角形面积＝底×高÷2，三角形ABE的面积＋三角形AEC的面积＝三角形ABC的面积，列方程：10x÷2＋6x÷2＝6×8÷2，据此求出DE的长度；再用AB－AD，求出BD的长度，再根据三角形面积公式，求出阴影部分面积。 【详解】解：设DE为x厘米，则EC也是x厘米。 10x÷2＋6x÷2＝6×8÷2 5x＋3x＝48÷2 8x＝24 8x＝24÷8 x＝3 （10－6）×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如图）那么，图中阴影部分的面积是6平方厘米。 三、作图题 24．按要求作图。 ①画出一个与三角形ABC面积相等形状不同的三角形。 ②画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形；同时用阴影表示出线段AB在旋转过程中扫过的面积。（借助圆规完成） 【答案】见详解 【分析】①由图可知，三角形ABC是直角三角形，其中短直角边是4厘米，长直角边是7厘米，在图中以7厘米为底，4厘米为高画出与三角形ABC形状不同的三角形，它们的面积都是7×4÷2＝14平方厘米； ②根据题目要求确定旋转中心（点A）、旋转方向（顺时针）、旋转角度（90°），分析所作图形，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形；在图中以点A为圆心，AB的长度为半径画出扇形，其中AB与其对应边之间的阴影部分就是线段AB在旋转过程中扫过的面积，据此作图。 【详解】作图如下：（画法不唯一） 四、解答题 25．如图，把三角形ABC的边AC延长到点D。请你说明∠2＋∠3＝∠4。 【答案】∠1＋∠4＝180° ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1=∠1 ∠4＝∠2＋∠3 【分析】根据平角的含义，等于180°的角是平角，所以∠1和∠4拼成的是平角。三角形的三个内角的和是180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠1和∠4组成一个平角，所以∠1＋∠4＝180°，∠1没变，所以∠4＝∠2＋∠3，据此解答即可。 【详解】∠1＋∠4＝180° ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠1=∠1 所以推理出∠4＝∠2＋∠3 26．用2个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，用4个完全一样的等腰直角三角形也可以拼成一个正方形。（如图） 如果这个等腰直角三角形的斜边长是10厘米，请你利用上面的知识计算这个等腰直角三角形的面积。 【答案】25平方厘米 【分析】看图可知，用4个完全一样的等腰直角三角形拼成一个正方形，正方形的边长＝等腰直角三角形的斜边，根据正方形面积＝边长×边长，求出拼成的正方形面积，除以4即可。 【详解】如图： 10×10÷4 ＝100÷4 ＝25（平方厘米） 答：这个等腰直角三角形的面积是25平方厘米。 27．如图所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米，求三角形ABC的面积。 【答案】22.5平方厘米 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据图可知，三角形EBD和三角形ABE的高相等，根据DE＝AE可知：三角形EBD的面积是三角形ABE面积的，据此用三角形EBD的面积除以即可求出三角形ABE的面积，再用三角形ABE的面积加三角形EBD的面积即可得到三角形ABD的面积；三角形ABD和三角形ADC的高相等，根据BD＝2DC可知：三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍，据此用三角形ABD的面积除以2即可求出三角形ADC的面积，再用三角形ABD的面积加三角形ADC的面积即可得到三角形ABC的面积。 【详解】5÷＝10（平方厘米） 5＋10＝15（平方厘米） 15÷2＝7.5（平方厘米） 15＋7.5＝22.5（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是22.5平方厘米。 28．探索图形。 情景描述：小亮探究三角形，他先在作业本上画了一个三角形ABC，接着把边BC延长到点D。通过推理，他发现一个正确结论：∠3＋∠4＝180°。接着他又发现并提出一个非常有价值的问题：“∠1＋∠2＝∠4吗？”可他不会推理。假如小亮向你请教，你觉得∠1＋∠2＝∠4吗？请写出推理过程。 【答案】因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2＝∠4。 【分析】根据题意得：三角形得内角和是180°，即∠1＋∠2＋∠3＝180°，根据等量代换可推导出等式成立。据此可得出答案。 【详解】三角形内角和是180°，即图中∠1＋∠2＋∠3＝180°；又根据∠3＋∠4＝180°，两个式子都等于180°，则这两个式子相等。即： ∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4 ∠1＋∠2＋∠3-∠3＝∠3＋∠4-∠3 ∠1＋∠2＝∠4 故由此可推理出∠1＋∠2＝∠4。 29．一只蚂蚁P，沿边长4厘米的正方形ABCD顺时针爬行，爬行速度为每秒1厘米。 （1）它从A点出发，爬行2秒后，在如图中画出蚂蚁P的位置，列式计算出三角形ACP的面积。 （2）它从A点出发，爬行4秒后，列式计算出三角形ACP的面积。 （3）爬行一周回到A点后，三角形ACP的面积出现几次4平方厘米？你发现了什么？ 【答案】（1）画图见详解；4平方厘米 （2）8平方厘米 （3）4次；我发现当P点在正方形4条边的中点时，三角形ACP的面积是4平方厘米。 【分析】（1）根据速度×时间＝路程，列式为：1×2＝2（厘米），所以P点的位置在AB中点，此时AP＝2厘米，三角形的高是4厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2计算即可解答。 （2）蚂蚁速度是每秒1厘米，爬行4秒，爬行距离为1×4＝4厘米。从A点出发沿正方形顺时针爬行，此时蚂蚁到达B点，此时三角形ACP的面积就是三角形ABC的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2计算即可解答。 （3）正方形边长为4厘米，三角形面积公式是S＝底×高÷2，当三角形面积S＝4平方厘米时，若底为4厘米（正方形的边），那么高就是4×2÷4＝8÷4＝2厘米，也就是蚂蚁在各边中点时，三角形面积为4平方厘米。因为正方形有四条边，所以蚂蚁在各边中点时，三角形面积为4平方厘米的情况会出现4次。 【详解】（1）2×1＝2（厘米） 如下图所示： （4－2）×4÷2 ＝2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 答：三角形ACP的面积4平方厘米。 （2）4×1＝4（厘米） 因为正方形的边长为4厘米，即P点和B点重合 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 答：三角形ACP（ACB）的面积8平方厘米。 （3）由分析可知：我发现当P点在正方形4条边的中点时，三角形ACP的面积是4平方厘米。正方形有4条边，即出现了4次。 30．等腰直角三角形ABC中，D为AB中点，E为AC三分点，BE与CD交于点F，若，求的值。 【答案】 【分析】假设等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6；D为AB中点，则AD＝DB＝6÷2＝3；E为AC三分点，则CE＝6÷3＝2，AE＝2×2＝4；三角形CEB的底边CE为2，高AB为6，根据“三角形面积＝底×高÷2”计算出三角形CEB面积2×6÷2＝6；同理三角形CDB底DB为3，高AC为6，计算出该三角形面积3×6÷2＝9；已知，则三角形BDF面积比三角形CEF面积多2份；又因为三角形CEB可以分成三角形CEF和三角形CFB，三角形CDB可以分成三角形BDF和三角形CFB，所以三角形CDB面积比三角形CEB面积多2份，所以2份对应9－6＝3，计算出1份对应的面积3÷2＝1.5，即三角形CEF面积为1.5；已知三角形ADC底AD为3，高AC为6，计算出三角形ADC面积3×6÷2＝9，已知三角形ADE底AD为3，高AE为4，计算出三角形ADE面积3×4÷2＝6，用三角形ADC面积减去三角形ADE面积和三角形CEF面积计算出三角形DEF的面积；已知三角形ABC底AB为6，高AC为6，计算出三角形ABC面积6×6÷2＝18，最后用三角形DEF的面积比三角形ABC的面积，并求出比值。 【详解】假设AB＝AC＝6，则AD＝DB＝6÷2＝3，CE＝6÷3＝2，AE＝2×2＝4； S△CEB＝2×6÷2＝12÷2＝6 S△CDB＝3×6÷2＝18÷2＝9 9－6＝3 S△CEF＝3÷（3－1）＝3÷2＝1.5 S△ADE＝3×4÷2＝12÷2＝6 S△ADC＝3×6÷2＝18÷2＝9 所以S△DEF＝S△ADC－S△CEF－S△ADE ＝9－1.5－6 ＝7.5－6 ＝1.5 S△ABC＝6×6÷2＝36÷2＝18 S△DEF∶S△ABC＝1.5∶18 ＝（1.5×10）∶（18×10） ＝15∶180 ＝15÷180 ＝ ＝ 答：S△DEF∶S△ABC的值是。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $