培优02 从函数图象中获取信息2大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题02 从函数图象中获取信息 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 从函数图象中获取信息 1 题型二、 动点问题的函数图像 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、 从函数图象中获取信息 1．甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．甲、乙两辆汽车从城出发前往城，在整个行程中，两车离开城行驶的路程（千米）与甲车出发的时间（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①城与城相距360千米：②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，或；④当时，甲、乙两车之间相距的路程不变；其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 4．已知学校、花店、书店在同一直线上．如图反映的过程是：小华从学校出发步行到花店，在那里停留一段时间后，又以相同速度步行到书店，在书店共停留了．图中x表示时间，y表示小华与学校的距离．小清也从学校出发，沿同一条路步行去书店，他步行的速度与小华相同，最后，小清在书店遇到小华．小清出发的时间可能是小华出发后的（    ） A． B． C． D． 5．一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 6．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．当时，甲、乙物质的溶解度相同 B．在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，甲物质需要的水的质量更多 D．当时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度 7．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）电流I）（    ） A．电阻的初始阻值为0 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为40 8．校运动会前夕，甲、乙两位同学在直道上练习往返跑．甲、乙分别从两端同时出发，匀速跑到另一端点处掉头（掉头时间不计），他们离端的距离（单位：）与运动时间（单位：）之间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（    ） A．甲的速度为 B．当运动时间为时，甲、乙两人相距 C．甲、乙第5次相遇时，两人所跑路程之和为 D．甲、乙第8次相遇时，所花的时间为 9．甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（   ） A．乙出发140秒后与甲第一次相遇 B．图中 C．乙比甲晚100秒出发 D．乙休息前的跑步速度为2.5米/秒 10．已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地，两车到达各自的目的地后停止，两车距地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示．以下说法不正确的是（　　） A．两车2小时后相遇 B．乙车速度为 C．两车相遇后，甲车速度为 D．当乙车到达地时，甲车后到达B地 11．某周末，兄妹两人在图书馆买完书沿同一条路回家，哥哥慢跑回去，妹妹骑自行车带书，已知图书馆离家里的距离为．图中，分别表示兄妹两人离开图书馆的路程与时间的函数关系，根据图象得出的下列信息，其中错误的是（   ） A．妹妹的速度是哥哥的速度的倍 B．哥哥出发被妹妹追上 C．当为时，兄妹两人相距 D．哥哥到家时妹妹距图书馆 12．已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ∴，此时三角形面积不变， 13．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列结论： ①； ②当快车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地； ④经过或两车相距． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 14．周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 15．在一条直线上依次有A、B、C三个城市，甲、乙两车同时分别从A、B城市出发，沿直线匀速驶向C城，最终到达C城，设甲、乙两车行驶x（h）后，与B城的距离分别为、（），、与x的函数关系如图所示，则下列选项正确的是（   ） ①A、C两城市间的距离为，； ②图中点P的坐标为； ③求与x的函数表达式为 ④若两车的距离不超过时能够相互望见，则时，甲乙两车可以相互望见． A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 16．某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 17．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 18．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为______万人． 19．甲、乙两人正中间正好有个地铁站，他们相约在那里见面，然后一起去图书馆，甲先到后原地等待．两人之间的距离y（单位：）与步行时间x（单位：）之间的关系如图所示，则__________． 20．王老师和胡老师沿相同路线同时从松中A校区出发去松中B校区开会，分别以一定的速度匀速步行，出发5分钟，王老师发现自己有一份文件落在松中A校区，于是立即以之前速度的2倍跑回A校区，在到达A校区后停留了8分钟后骑车以更快的速度匀速驶往B校区开会，胡老师在途中某地停留了5分钟等王老师，但没见到王老师来，就以原来的速度继续前进，最终两人同时到达松中B校区会议室，王老师和胡老师两人的距离y米与王老师行进时间x分钟之间的关系如图所示，则松中A校区与B校区之间的距离为___________米． 21．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 22．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 23．“智造慈溪”家电产品展销会上，某品牌进行机器人行走表演．甲、乙两机器人分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲机器人到达B地后，停留，然后原路返回A地，乙机器人到达A地即停止．甲、乙两机器人之间的距离与行走时间的函数图象如图所示． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)写出图中点M表示的实际意义． (2)求甲、乙两机器人的速度． (3)若点N的纵坐标为23，求点N的横坐标． 24．在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（单位：m）与出发时间（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的骑行速度为____________，乙的步行速度为____________，，两地的距离为____________m； (2)求甲返回时距地的距离与出发时间之间的关系式； (3)两人出发后，在甲返回到地之前，直接写出两人距地的距离相等时的出发时间． 25．甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离（单位：）与甲行驶的时间（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：____________；②甲、乙两人相遇：____________；③乙到达终点：____________． (2)，两地之间的路程为____________． (3)求甲、乙各自的速度． (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 题型二、动点问题的函数图像 26．如图，在矩形中，，，动点P从A出发，沿的方向在和上移动，设，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 27．如图1，在中，，点D是的中点．动点E从三角形某顶点出发，沿三角形的边按每秒1个单位长度顺时针运动，设运动时间为x，线段长度为y，则y与x的函数图象如图2所示，其中N是中间曲线的最低点，那么点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 28．如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 29．如图1，在长方形中，点E在上，．点P从点A出发，沿的路径匀速运动到点B停止，作于点Q．设点P运动的路程为x，长为y，若y与x之间的图象如图2所示，则长方形的面积为（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 30．如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示．其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 31．如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 32．如图1，动点P从的顶点A出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的时间为，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．15 B．16 C． D． 33．如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 34．如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 35．如图，正三角形的顶点的坐标为，垂直于x轴的直线从左向右平移，其扫过的面积为S（阴影部分），下列图象能表示与函数关系的是（     ） A． B． C． D．        36．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 37．如图①．在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象．当时，y的值为（   ） A．6 B． C． D．8 38．如图，矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，点同时从点出发，匀速沿向点运动，两点同时到达点，并停止运动．设运动时间为，的面积为，与之间函数关系的图象如图，则矩形的面积为（） A． B． C． D． 39．如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 40．如图，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度为与点的运动时间（秒）的函数图象如图所示．当点的运动时间是秒时，的长度是（   ） A． B． C． D． 41．如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    42．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．的运动路线：点为，点为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为_____． 43．如图（1），点P从的顶点B出发，沿B→C→A的方向匀速运动到点A，图（2）是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．根据图象回答下列问题： （1）________； （2）的面积为________． 44．如图1，在中，D是边上的定点，点P从点A出发，沿着折线的方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点，则（1）________，（2）点N的纵坐标是________． 45．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 46．如图1，在菱形中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的等于___________． 47．如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 48．数学家梅文鼎在《几何通解》中写道：“形可用数度，数亦可以形显”．如图（1），在中，，点从点出发，依次沿、两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图（2），由曲线和线段组成．已知曲线的最低点的坐标为，线段与轴的公共点，当时，则_____． 49．如图1，在中，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，的高．图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点．则点F的坐标为_____． 50．如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 51．为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 52．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为___________． 53．已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 54．如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为． (1)求的度数． (2)若，求的值． 55．如图①，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)求d的值； (3)当点Q出发______秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为． 56．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 57．如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． (1)求图2中点的坐标； (2)求图1中线段的长． 58．如图①，已知图形的相邻两边垂直，．当动点P以的速度沿图①的边框按的路径匀速运动时，的面积随时间的变化如图②所示．回答下列问题： (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的值． 59．如图①，在矩形中，是其对角线，点从点出发，匀速沿向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图②所示．当为的中点时，求的长． 60．如图1，矩形中，，定点D的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，，两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在x轴上作等腰直角三角形．设和矩形重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒，S关于t的函数图像如图2所示． (1)当______时，的边经过点B； (2)_______，点B坐标是___________； (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． 1．如图①，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图②是点运动时，线段的长度（单位：）随运动时间（单位：）变化的函数图象．求图②中点的坐标． 2．如图1，在长方形中，，E为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)_____cm； (2)当时，求的值； (3)求当的面积为时的值； (4)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，求出的值． 3．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 4．如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． (1)求出、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 从函数图象中获取信息 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 从函数图象中获取信息 1 题型二、 动点问题的函数图像 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、 从函数图象中获取信息 1．甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据函数图象提取A、B两城距离，计算甲、乙的速度，再逐一分析5个结论：通过行程公式验证两城距离、出发与到达时间差、第一次相遇位置、图象中a和b的值，最后分5个时间段列方程求解两人相距时的t值，统计正确结论的个数． 【详解】解：由图象可知，A、B两城相距，故①正确． 乙去程的速度， 乙去程行驶所用时间为， 甲的速度， 甲到达B城的时间， 乙比甲晚出发1h，第一次到达B城的时间为，比甲早到，但乙返回接甲后，两人最终同时到达B城（），故②错误． 由图可得两人第一次相遇时， 此时距出发点，故③正确． 乙返回时的速度为， 设相遇时间为，则， 解得，即， 又，故④正确． 分情况讨论相距， 乙出发前（）： ，解得 乙追上甲之前（）： ，解得 乙超过甲（）： ，解得 乙返回接甲（）： ，解得 相遇后（）： 两人同速同向，距离为0，不可能相距． 综上，的值为或或或，故⑤正确． 正确的结论为①③④⑤，共4个． 2．甲、乙两辆汽车从城出发前往城，在整个行程中，两车离开城行驶的路程（千米）与甲车出发的时间（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①城与城相距360千米：②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，或；④当时，甲、乙两车之间相距的路程不变；其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据函数图像获取甲、乙两车的行驶路程、时间信息，分别计算两车在不同时间段的速度，求出函数解析式，进而对四个结论逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，、两城相距千米，故①正确； 甲车在小时的速度为（千米/小时）， 在小时停止行驶， 在小时的速度为（千米/小时）； 乙车在小时的速度为（千米/小时）； 对于②， 乙出发小时， 即时， 甲车行驶路程为千米（因为，甲车停止）， 乙车行驶路程为千米， 此时两车路程相等， 即乙追上甲，故②正确； 对于③， 当时， 乙未出发，甲行驶千米， 令， 解得； 当时， 甲行驶千米，乙行驶千米， 令， 即， 解得或（舍去）； 当时， 甲停在千米处，乙行驶千米， 此时乙的路程范围是， 两车距离， 当时相遇距离为0， 最大距离在端点处为， 不可能为； 当时，甲、乙速度均为千米/小时， 距离保持千米不变； 当时， 乙到达终点，甲继续行驶， 距离从减小到， 不可能为； 综上，或，故③正确； 对于④， 当时， 甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时， 两车速度相同，且都在行驶， 两车之间相距的路程不变（始终为千米），故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④，共个． 故选D． 3．李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， 甲乙两地相距米，故选项A错误，不符合题意； 李师傅的速度为：（米/分钟），故选项B错误，不符合题意； 设李师傅出发分钟后追上陈师傅， 陈师傅的速度为：（米/分钟）， ∴， 解得，故选项C正确，符合题意； 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地： ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 4．已知学校、花店、书店在同一直线上．如图反映的过程是：小华从学校出发步行到花店，在那里停留一段时间后，又以相同速度步行到书店，在书店共停留了．图中x表示时间，y表示小华与学校的距离．小清也从学校出发，沿同一条路步行去书店，他步行的速度与小华相同，最后，小清在书店遇到小华．小清出发的时间可能是小华出发后的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像获取信息，可得小华在花店停留了5分钟，在书店停留了5分钟，再结合题意分析即可解答． 【详解】解：由图可知，小华在花店停留了5分钟，在书店停留了5分钟，小清在书店遇到小华小清出发的时间要比小华晚5分钟以上，10分钟以下，即小清出发的时间可能是小华出发后的． 5．一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的运用，正确读取函数图象上的信息，结合题意进行分析是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以逐一判断各个小题中的结论是否成立，从而可以求解． 【详解】解：A、根据函数图象可知，货车行驶与轿车相遇，未到达B地，故该选项错误，不符合题意； B、∵轿车用了从B地到达了A地，两地相距， ∴轿车的速度为：， ∵两车相遇时间为， ∴货车的速度为：，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵货车速度为， 又∵， ∴货车到达目的地用时， 轿车到达目的地用时， ， ， 即轿车比货车早到达目的地，故该选项说法正确，符合题意； D、相遇前两车相距时，货车行驶的时间是： ， ， 根据图象可得：当相遇后两车相距时，轿车到达目的地， ∴两车相遇后两车相距时，货车行驶的时间是： ，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 6．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．当时，甲、乙物质的溶解度相同 B．在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，甲物质需要的水的质量更多 D．当时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的分析与应用，结合曲线的横纵坐标含义，曲线走势，分析出温度、溶解度、溶液状态之间的关系，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：A项：当温度等于时，甲种物质的溶解度和乙种物质的溶解度相等，故该选项说法正确，不符合题意； B项：温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小，故该选项说法正确，不符合题意； C项：当温度高于，低于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为乙的溶解度比甲大，所以甲需要水的质量更多，故该选项说法正确，不符合题意； D项：在中，甲物质的溶解度明显大于乙物质的溶解度，故该选项说法错误，符合题意， 故选：D． 7．图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离（单位：m）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）电流I）（    ） A．电阻的初始阻值为0 B．当的阻值为时，报警器会报警 C．传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D．定值电阻的阻值为40 【答案】B 【分析】本题考查函数图像的认识，准确从函数图像得出相关信息是解题的关键． 根据时的取值可判断选项A的正误，根据图像的变化形式可判断选项B、C的正误，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，判断选项D的正误． 【详解】解：当时，，故电阻的初始阻值不为0，故选项A错误； 当传感器到障碍物距离为时，报警器开始报警，此时的阻值为， 随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故当的阻值为时，， 报警器会报警，故选项B正确，选项C错误； 当时，， ， ∴， 故选项D错误； 故选B． 8．校运动会前夕，甲、乙两位同学在直道上练习往返跑．甲、乙分别从两端同时出发，匀速跑到另一端点处掉头（掉头时间不计），他们离端的距离（单位：）与运动时间（单位：）之间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（    ） A．甲的速度为 B．当运动时间为时，甲、乙两人相距 C．甲、乙第5次相遇时，两人所跑路程之和为 D．甲、乙第8次相遇时，所花的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 先根据甲经过运动了，可得甲的速度判断A；再根据最后甲，乙回到了原地，解答B；然后求出乙的速度，可得第5次相遇两人所跑的路程之和说明C；最后求出8次相遇的时间解答D即可． 【详解】解：观察图像可知A，B两地相距，甲从0秒出发，经过，运动了，所以甲的速度是，则A正确； 经过，甲，乙回到了原地，相距，则B正确； 根据图象可知乙的速度是，则第5次相遇两人所跑的路程之和为，则C正确； 第1次相遇的时间为，则，解得；第8次相遇的时间为，则，解得，则D不正确． 故选：D． 9．甲、乙从学校出发，沿相同的线路跑向公园．甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙在跑步全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数图象．下列说法错误的是（   ） A．乙出发140秒后与甲第一次相遇 B．图中 C．乙比甲晚100秒出发 D．乙休息前的跑步速度为2.5米/秒 【答案】A 【分析】本题主要考查从函数的图象中获取信息和解一元一次方程．根据图象可得直线代表甲运动，由图象信息即可求得甲的速度；根据甲的图象信息可求得，结合乙运动直线可求得，即可求得；首先求得乙的速度，设乙出发a秒后与甲第一次相遇，列方程即可求得相遇时间． 【详解】解：由图象可得，乙比甲晚100秒出发，选项C正确，不符合题意； 直线为甲图象，甲的速度为：（米/秒）， 由图象可得，根据甲的速度和时间得，， 由题意知直线为乙运动图象，则， 那么，选项B正确，不符合题意； 乙刚开始的速度为：（米/秒）， 选项D正确，不符合题意； 设乙出发a秒后与甲第一次相遇， ，解得， 即乙出发150秒后与甲第一次相遇，选项A不正确，符合题意； 故选：A． 10．已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地，两车到达各自的目的地后停止，两车距地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示．以下说法不正确的是（　　） A．两车2小时后相遇 B．乙车速度为 C．两车相遇后，甲车速度为 D．当乙车到达地时，甲车后到达B地 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的应用．先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出相遇时间，再求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，据此计算可得结论． 【详解】解：根据题意得，， 即两车2小时后相遇，选项A说法正确，不符合题意； ， ，选项C说法正确，不符合题意； 甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：，选项B说法正确，不符合题意； ∴乙车行完全程用时为：， ∵， 即：当乙车到达A地时，甲车后到达B地，选项D说法不正确，符合题意． 故选：D． 11．某周末，兄妹两人在图书馆买完书沿同一条路回家，哥哥慢跑回去，妹妹骑自行车带书，已知图书馆离家里的距离为．图中，分别表示兄妹两人离开图书馆的路程与时间的函数关系，根据图象得出的下列信息，其中错误的是（   ） A．妹妹的速度是哥哥的速度的倍 B．哥哥出发被妹妹追上 C．当为时，兄妹两人相距 D．哥哥到家时妹妹距图书馆 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据函数图象获取信息． 由点B的横坐标可得出妹妹比哥哥迟出发5分钟；根据速度路程时间，可求出哥哥慢跑的速度和妹妹骑车的速度，进而判断出各个选项． 【详解】解：妹妹比哥哥迟出发5分钟， 哥哥慢跑的速度为（）； 妹妹的速度为：（）； ， 即妹妹的速度是哥哥的速度的倍，故选项A说法正确； 设t分钟后哥哥被妹妹追上，根据题意得，解得， 即哥哥出发被妹妹追上，故选项B说法正确； （米）， 即当t为时，兄妹两人相距，故选项C说法正确； 图书馆离家3000米，所以哥哥到家时妹妹距图书馆不可能超过3000米，故选项D说法错误． 故选：D． 12．已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②错误， 时，当点H在上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时， ∴， ∴， 在D点时，的高与相等，即， ∴，故③正确， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故④错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时，故⑤正确． 综上分析可知，正确的有①③⑤，共计3个，故B正确． 故选：B． 13．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列结论： ①； ②当快车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地； ④经过或两车相距． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键．折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停止）． ①时刻是相遇后两车相距270千米的时刻，根据两车行驶3小时后相遇，求出两车的速度和，再用除以两车的速度和，即可得到此时所用的时间，即可求出的值；②由函数图象可得时，动车到达终点，再根据初始时刻，即为甲乙两地的距离，进而求出动车的速度，即可求出普通列车的速度，用甲乙两地的距离减去普通列车行驶的路程即可得到此时普通列车距离甲地的距离；③用甲乙两地的距离除以普通列车的速度，即可得到普通列车到达终点甲地的时间；④设经过，两车相距，列方程解答验证是否是或． 【详解】解：由图像可得，两车的速度和为， ，故①正确； 由函数图像可得时，动车到达终点，甲乙两地的距离为， 动车的速度为， 则普通列车的速度为， ， 则当快车到达终点时，普通列车距离甲地，故②正确； 普通列车到达终点甲地的时间为，故③错误； 设经过，两车相距， 相遇前：，得； 相遇后：，得； 即经过或两车相距，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 故选：B． 14．周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从处骑行至处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发分钟．小李骑行分钟后，小张以原速的继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达地，小李一直保持原速前往地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程（单位：米）与小李骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为米/分钟；②小张出发分钟追上小李；③两地相距米；④小李比小张晚分钟到达地．其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的应用，一元一次方程的应用，根据函数图象可知小李分钟骑行了米，即可判断①；设小张一开始的速度为米/分钟，根据题意列出方程求出的值，进而可得提速后小张的速度，即可求出小张提速后追上小李的时间，得到小张出发追上小李的时间，即可判断②；根据函数图象求出小张从地到地共骑行的时间，可求出两地的距离，即可判断③；求出小张到达地时，小李距离的路程，即可判断④，综上即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：①由函数图象可知，小李分钟骑行了米， ∴小李的速度为米/分钟，故①正确； ②设小张一开始的速度为米/分钟， 则， 解得， 提速后小张的速度为米/分钟， 则小张提速后追上小李的时间为分钟， ∴小张出发分钟追上小李，故②错误； ③由函数图象可知，小张从地到地共骑行了分钟， ∴两地的距离为：米，故③错误； ④当小张到达地时，小李距离的路程为：， ∴小李比小张晚分钟到达地，故④正确； 综上，正确的结论为①④， 故选：． 15．在一条直线上依次有A、B、C三个城市，甲、乙两车同时分别从A、B城市出发，沿直线匀速驶向C城，最终到达C城，设甲、乙两车行驶x（h）后，与B城的距离分别为、（），、与x的函数关系如图所示，则下列选项正确的是（   ） ①A、C两城市间的距离为，； ②图中点P的坐标为； ③求与x的函数表达式为 ④若两车的距离不超过时能够相互望见，则时，甲乙两车可以相互望见． A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是从图中获取有用的信息．根据题意和函数图象，可以得到A、B两城市的距离和a的值，判断①；列方程可解得P的坐标，从而可判断②；根据题意，可以求出与x的函数关系式，判断③；甲乙两车相距分两种情况，相遇前和相遇后，从而可以判断④． 【详解】解：由图可得， A、C两城市间的距离为， 甲车速度（千米/小时），乙车速度（千米/小时）， ， 故①正确； 点P表示甲车追上乙车，设点P的横坐标为b， ， 解得， ∴当时，， ∴点P的坐标为， 故②正确； 当时，； 当时，； ∴， 故③正确； 两车相遇前，相距，设此时它们行驶的时间为c小时， ， 解得， 两车相遇后到甲到达C地前，相距，设此时它们行驶的时间为d小时， ， 解得，， 甲到达C地后到乙到达C地前，相距，设此时乙行驶的时间为e小时， ， 解得，， 当或时，甲、乙两车可以相互望见， 故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：C． 16．某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 【答案】10 【分析】先求得调入水果的速度是4吨/天，销售水果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：调入水果的速度是吨/天， 当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨， 所以销售水果的速度是（吨/天）， 所以剩余的16吨完全调出需要（天）， 故该水果市场这次水果销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天）． 17．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 18．疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为______万人． 【答案】4 【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获取准确信息． 根据题意和图象求出两地每天接种的人数，然后即可求解． 【详解】解：乙地每天接种的人数为（万人）， ∴， ∴甲地后期每天接种的人数为（万人）， ∴甲地未接种疫苗的人数为（万人）， 故答案为：4． 19．甲、乙两人正中间正好有个地铁站，他们相约在那里见面，然后一起去图书馆，甲先到后原地等待．两人之间的距离y（单位：）与步行时间x（单位：）之间的关系如图所示，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据题意及图象信息列出方程组，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意及图中信息可知，两人在分钟时相距，且甲已到达地铁站等候乙，在第分钟时两人的距离为，则乙也到达了地铁站， 设甲的速度为，乙的速度为，依题意得：， 由②得：， 将代入①得：， 由③得：， 将代入④得：， 解得：， 故答案为：． 20．王老师和胡老师沿相同路线同时从松中A校区出发去松中B校区开会，分别以一定的速度匀速步行，出发5分钟，王老师发现自己有一份文件落在松中A校区，于是立即以之前速度的2倍跑回A校区，在到达A校区后停留了8分钟后骑车以更快的速度匀速驶往B校区开会，胡老师在途中某地停留了5分钟等王老师，但没见到王老师来，就以原来的速度继续前进，最终两人同时到达松中B校区会议室，王老师和胡老师两人的距离y米与王老师行进时间x分钟之间的关系如图所示，则松中A校区与B校区之间的距离为___________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，设王老师最初行驶的速度为a米/分，胡老师的速度为b米/分，根据图象“5分钟两人相距200米”知两人速度差为40米/分，再根据函数图象“甲以2倍速度返回A地时，两人相距900米”知王老师速度的2倍与乙速度和为，这样便可求出两人的速度，设王老师到达A地，停留了8分钟后的速度为c米/分，根据函数图象“分钟时，两人相距540米”列出方程求得c，最后设t分钟时两人到达终点，根据王老师后面时间分钟的行程为A、B距离，与胡老师总共行驶时间分钟的行程也为A、B间的距离，两距离相等，列出方程求得t，便可求得A、B的距离． 【详解】解：设王老师最初的行驶的速度为a米/分，胡老师的速度为b米/分， 由题意得，， 解得，， 设王老师到达A地，停留了8分钟后的速度为c米/分， 由题意得，， 解得，， 设t分钟时两人到达终点，由题意得，， 解得，， ∴A、B两地的距离为：（米）． 故答案为：2100． 21．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 22．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标； （3）分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间， 则， ∵甲的速度小于乙的速度， ∴甲用了3小时走完了的全程， ∴， ∴； （2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是， ∴C点坐标是； （3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则， 解得； 当甲和乙相遇后两人相距时，则， 解得， 综上，甲乙两人相距时，的值为或． 23．“智造慈溪”家电产品展销会上，某品牌进行机器人行走表演．甲、乙两机器人分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲机器人到达B地后，停留，然后原路返回A地，乙机器人到达A地即停止．甲、乙两机器人之间的距离与行走时间的函数图象如图所示． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)写出图中点M表示的实际意义． (2)求甲、乙两机器人的速度． (3)若点N的纵坐标为23，求点N的横坐标． 【答案】(1)点M表示行走18秒时，甲、乙两机器人相遇 (2)甲的速度为，乙速度为 (3)点N横坐标为41.5 【分析】本题主要考查了函数图象的分析，从函数图象找到相关信息是解题的关键． （1）由图可得甲、乙两机器人之间的距离为0，可得两机器人相遇； （2）由图象可知，甲乙相遇后，又过了12秒甲到达B地，此时两机器人相距，可得两机器人速度和为，根据18秒相遇可得A，B两地距离，即可求得两机器人的速度； （3）由题意得，30到33秒，甲在B地休息，乙继续前进，可计算出第33秒时，两机器人之间的距离，接着甲返回追乙，求出当甲、乙之间相距23米时，甲所用的追及时间即可求得点的横坐标． 【详解】（1）解：图中点M表示的实际意义是：行走18秒时，甲、乙两机器人相遇． （2）解：由图象可知，甲乙相遇后，又过了12秒甲到达B地，此时两机器人相距， ∴两机器人速度和为 ， AB两地相距：， ∴甲的速度：，乙速度：． （3）解：30到33秒，甲在B地休息，乙继续前进，第33秒时，两者之间的距离：， 接下来甲返回追乙，追及路程：，需要时间： ∴点N横坐标为． 24．在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（单位：m）与出发时间（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的骑行速度为____________，乙的步行速度为____________，，两地的距离为____________m； (2)求甲返回时距地的距离与出发时间之间的关系式； (3)两人出发后，在甲返回到地之前，直接写出两人距地的距离相等时的出发时间． 【答案】(1)240，60，1200； (2)； (3)或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用、行程问题中的分段讨论知识点，掌握从函数图像中提取关键信息、根据行程位置关系分类讨论的方法是解题的关键． （1）从图像中提取甲、乙的行程信息，利用速度 = 路程÷时间计算速度，再根据甲到地的距离确定两地距离； （2）确定甲返回的起始时间，用待定系数法求返回时的函数关系式； （3）分四种情况讨论两人距地的距离相等，根据位置关系列方程求解，筛选符合条件的解． 【详解】（1）解：∵甲从地到地用时，路程为， ∴甲的骑行速度为 ∵甲从地到地再返回地，总用时，其中休息， ∴甲的总骑行时间为min ∴两地的距离为(m) ∵乙从地到地用时，路程为， ∴乙的步行速度为 ； （2）解：，因为甲的速度为，从地到地距离为， 所以甲从地返回地时距地的距离与出发时间的关系式为； （3）解：两人距地的距离相等时的出发时间为或或； 由图象可知，，两地的距离为． 由（1）可知，甲的骑行速度为，乙的步行速度为，，两地的距离为，所以，两地的距离为． 由题意可分以下四种情况讨论： ①当时，甲在，两地之间，乙在，两地之间，所以，解得，此种情况不符合题意； ②当时，甲、乙都在，两地之间，所以，解得； ③当时，甲在，两地之间，乙在，两地之间， 所以， 解得； ④当时，甲在返回途中，乙在，两地之间． a．当甲在，之间时，， 解得， 此种情况不符合题意； b．当甲在，之间时，，解得． 综上所述，在甲返回到地之前，两人距地的距离相等时的出发时间为或或． 25．甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离（单位：）与甲行驶的时间（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：____________；②甲、乙两人相遇：____________；③乙到达终点：____________． (2)，两地之间的路程为____________． (3)求甲、乙各自的速度． (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 【答案】(1)①②③ (2)240 (3)甲的速度是，乙的速度是． (4)甲出发0.5h或4.5h后，甲、乙两人相距180km 【分析】（1）由图可知，甲到达终点时应最大，因为甲的速度小；甲乙两人相遇时为0；乙到达终点时不算最大，因为此时甲还没有到达终点，据此可得到答案； （2）由（2）可知的最大值即为两地之间的距离； （3）由（2）可得甲、乙得行驶时间，再根据公式计算即可； （4）根据路程差÷速度=时间差可以解得． 【详解】（1）解：（1）由图像可知，为甲到达了终点，为甲、乙两人相遇时，为乙到达终点． 故答案为：①  ②  ③． （2）解：根据图象和图象中的数据可知甲、乙两人之间的最大距离是，则两地间的距离为． 故答案为：． （3）解：甲的速度是， 乙的速度是． （4）解：分以下两种情况讨论： ①甲、乙相遇前，根据题意，得； ②甲、乙相遇后，根据题意，得． 故甲出发或后，甲、乙两人相距． 【点睛】本题考查了函数图像在实际问题中的应用，正确理解图象各点的意义、熟练把握行程问题各量之间的关系是解题的关键． 题型二、动点问题的函数图像 26．如图，在矩形中，，，动点P从A出发，沿的方向在和上移动，设，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论：①点P在上时，点D到的距离为的长度，②点P在上时，根据同角的余角相等求出，再利用相似三角形的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解． 【详解】解：连接，如图 在矩形中，，，， ∴， ∴， ①点P在上时，，点D到的距离为的长度，是定值4； ②点P在上时，，过点D作于点E，如图 ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 只有B选项图形符合． 27．如图1，在中，，点D是的中点．动点E从三角形某顶点出发，沿三角形的边按每秒1个单位长度顺时针运动，设运动时间为x，线段长度为y，则y与x的函数图象如图2所示，其中N是中间曲线的最低点，那么点N的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作交于点，过点D作交于点，连接，首先求出，然后由图象判断出动点从点C出发，沿三角形的边按每秒1个单位长度顺时针运动，求出，设，根据，结合勾股定理列式计算得到，据此计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点，过点D作交于点，连接， ∵在中，，点是的中点， ∴， 由图象得，动点从点C出发，沿三角形的边按每秒1个单位长度顺时针运动， ∵点的横坐标是6， ∴， 由题意得，， 设， ∴，， 由勾股定理得，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 28．如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：结论①， 在长方形中，，当在上运动时，的面积， 由图，时， 代入得：， 解得， 初始速度为，因此秒， 秒时，同理得，刚好到达点， 从到，共秒，走了， 因此速度，结论①正确； 结论②， 总路程为，前秒走了， 剩余路程，速度为， 剩余时间秒， 总时间秒， 结论②错误； 结论③点从点运动到点用时秒； ∵长，速度为， ∴用时秒， 结论③正确； 结论④当的值为时，点运动的路程为厘米 前秒路程：，秒共秒， 路程：， 总路程，不是； 结论④错误； 正确的结论是①、③，共个． 29．如图1，在长方形中，点E在上，．点P从点A出发，沿的路径匀速运动到点B停止，作于点Q．设点P运动的路程为x，长为y，若y与x之间的图象如图2所示，则长方形的面积为（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】由图2可得，，，根据，则可求得，由，即可求得长方形的面积． 【详解】解：由图2可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即长方形的面积为6． 30．如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示．其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图2可得，点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离，先证明，可得的长，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：根据图2，，点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离，如图， 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点的纵坐标是． 31．如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可知，，进而得到，设，勾股定理求出的值，进而求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵点E的坐标为， ∴，此时点与点重合， ∴， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止， ∴点的路程是点的2倍， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴当点运动到点时，点运动的路程为10，此时， 的面积最大为， 故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，，； 综上，只有选项D错误． 32．如图1，动点P从的顶点A出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的时间为，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A．15 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】作交于D，作交于E，根据函数图象得到，，，，，，根据等腰三角形三线合一得到，求出，即，根据求出，即，，进而得到，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，由函数图象可知动点匀速运动到达B， ∴，，， ∴， 如图，作交于D，作交于E， 由垂线段最短结合函数图象可知，当P到达D点时，对应， 即，， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴的面积． 33．如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 【答案】D 【分析】结合图象和平行四边形的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，由图（2）可知当点Q由点A到点D用时1秒，由点C到点B用时1秒，由点D到点C用时（秒）， ∴， ∴点Q的运动速度为每秒（个）单位长度， 由图（2）可知当点Q与点D重合时，此时， ∴边上的高为， ∴， 当点Q与点C重合时，的面积最大，此时，， ∴，， 当时， 当时，， ∴曲线段是函数的图象的一部分． 34．如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查从图像中获取信息和解方程组，由图像可知三角形的最大面积为24，此时点P位于边BC，当点P与点C重合时x为14，设和，即可列出，结合已知即可化简得到，解得a和b，进一步分点P位于上和点P位于上时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 由图像知，， 化简得， 解得， ∵， ∴， 则， 当点P位于上时，， 解得，则； 当点P位于上时，， 解得， 则； 35．如图，正三角形的顶点的坐标为，垂直于x轴的直线从左向右平移，其扫过的面积为S（阴影部分），下列图象能表示与函数关系的是（     ） A． B． C． D．        【答案】A 【分析】当时，，当时，，把相关数值代入后判断相应的函数关系式为哪类函数即可． 【详解】解：∵正三角形的顶点B的坐标为， ∴， ∴ 过点作于点， ∴， ， ∴点A点坐标为， ①当时，如图1， ∴， ∴，为开口向上的二次函数， 当时，如图2， ∴， ∴， ∴， ∴，为开口向下的二次函数， 综上，选项A正确． 36．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 【答案】B 【分析】通过分析图象中随的变化情况，确定点在不同边上的运动路程，从而求出矩形的边长，进而计算三角形的最大面积． 【详解】解：由图（2）可知，当时，随的增大而增大，此时点在上运动， ； 当时，保持不变，此时点在上运动， ； 四边形是矩形， ； 当点在上运动时，的底边不变，高为，此时面积最大， 的最大值为． 37．如图①．在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象．当时，y的值为（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题．①当点在点时，②当点在点时，③当时，，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ①当点在点时，，解得：， ②当点在点时，，解得：，即，， ③当时，如下图所示： 此时，，， 当时，． 38．如图，矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，点同时从点出发，匀速沿向点运动，两点同时到达点，并停止运动．设运动时间为，的面积为，与之间函数关系的图象如图，则矩形的面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据函数图像的分段特征，结合点Q的运动路径，分阶段确定点P、Q的运动速度，再通过面积公式求出矩形的长和宽，最终计算矩形面积． 【详解】解：设点的速度为，点的速度为，， 两点同时从出发，同时到达，总时间为， 点的运动路程为，点的运动路程为 由函数图像可知： 当时，点到达点， ． 当时，，此时点与点重合，的高为， ，即，得 当时，点与点重合，为直角三角形， ， ， 时，符合图像分段特征． 点从到的时间为， ，即 点的总路程， ． 将代入，得，即， ， ，则 矩形的面积为 39．如图1，在菱形中，为轴正半轴上的一点，轴，直线轴，分别交菱形的两边于，两点（点在点下方），连接，，直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，且与的大致图象如图2所示，若，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先对函数图像进行分析，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时，，由，，结合勾股定理得，证出，得，最终解得，结合点到轴的距离为，即可得出结果． 【详解】解：∵直线轴， ∴， 如图，当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时， 当直线落在直线位置时，与菱形交于点，，此时， ， 结合函数图像可知，， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，， ∴点到轴的距离为，即． 【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 40．如图，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度为与点的运动时间（秒）的函数图象如图所示．当点的运动时间是秒时，的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据运动速度乘以时间，可得的位置，根据线段的和差，可得的长，最后根据勾股定理，可得的长度． 【详解】解：根据图象可知：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：点运动秒时，点运动了，此时，点在上，如图， ∴， 在中，由勾股定理得：． 41．如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    【答案】12 【分析】由图象可知是等腰三角形，当点运动到上，时，最小为3，且此时点在的中点处，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，则是等腰三角形， 点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为3，即：时，， 此时，， ∵是等腰三角形， ∴， 的面积． 42．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．的运动路线：点为，点为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为_____． 【答案】平方厘米/ 【分析】根据图象可知整个过程分为三个过程：第一，两者都在上运动；第二，点在，点在；第三，两者都在运动．再根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可． 【详解】解：根据题意可知，当，两点都在上运动时，最大值为， 厘米， 由菱形的性质，得厘米，， 同理，第三个过程开始时，、两点相距厘米， 厘米， （平方厘米）． 43．如图（1），点P从的顶点B出发，沿B→C→A的方向匀速运动到点A，图（2）是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．根据图象回答下列问题： （1）________； （2）的面积为________． 【答案】 30 336 【分析】根据图象可推出，；当时，，然后利用勾股定理即可求得此时和的长度，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵点P沿B→C→A的方向匀速运动， ∴点P在从B→C时，的长度是均匀增加的， ∴由图（2）可知，; （2）∵当点P运动到点A时，此时；当取得最小值时，此时， ∴由图（2）可知，；当时，， ∴当时，，， ∴， ∴． 44．如图1，在中，D是边上的定点，点P从点A出发，沿着折线的方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点，则（1）________，（2）点N的纵坐标是________． 【答案】 20 【分析】（）根据图得到，当与重合时，即可得到的长； （）根据图得到的长度及点到的距离, 点的纵坐标表示点到的距离，再根据勾股定理及其逆定理，三角形面积公式求出点到的距离即可． 【详解】解：（）根据图得到，当与重合时，； （）根据图，，，，点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离，如图， 在中利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点的纵坐标是． 45．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 【答案】 4 16 【分析】连接，，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 46．如图1，在菱形中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的等于___________． 【答案】 【分析】由函数图象可知时，点到达点，根据菱形的性质可知，根据等腰三角形三线合一定理可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式可得：，因为的值为点运动到点时，的面积，所以可得． 【详解】解：由图可知，当时，点到达点， ， 四边形是菱形， ， 由图可知，， 如下图所示，过点作， 可得：， ， ， ． 47．如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 48．数学家梅文鼎在《几何通解》中写道：“形可用数度，数亦可以形显”．如图（1），在中，，点从点出发，依次沿、两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图（2），由曲线和线段组成．已知曲线的最低点的坐标为，线段与轴的公共点，当时，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质．由函数图象，得到，由最低点的坐标为，得到边上的高为，作于点，则，由勾股定理求得，当时，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由函数图象，， 当时（在上），，即边上的高为， ∵，则边上的高也为， 作于点，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 49．如图1，在中，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，的高．图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点．则点F的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，先根据函数图象分析运动路程与边长的关系，再求出的最小值，即点F的纵坐标，最后利用勾股定理求出点F的横坐标，进而得出点F的坐标． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点C处时，，即， 如图，作， 当点P运动到点Q处时，最短， ∵，， ∴， ∴点F纵坐标为， 在中，， ∴， ∴， ∴点F的横坐标为9， ∴点F坐标为， 故答案为：． 50．如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时点P运动到点E，连接，可求出，则可求出，根据垂线段最短可得a的值；利用勾股定理求出的长，利用等面积法用的长表示出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时点P运动到点E，连接， 由图2可知，和时的函数值都为4，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当点P运动到点H时，有最小值，即y有最小值， ∴； 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 51．为了优化快递配送路线，物流系统需要计算快递员（运动点）与仓储中心（固定点之间距离的平方．如图1，快递员从站点出发，沿笔直公路向配送区域处运动，到达处停止运动．设（单位：），（单位：）．如图2，关于的函数图象，请根据信息填空：_________，的最小值为___________． 【答案】 5 2 【分析】本题考查函数图象的应用，勾股定理，垂线段最短，从图象上获取正确的信息是关键． 当时，，根据函数图象进行填空即可．作，垂足为，设，由函数图象可知，，．根据勾股定理，，解方程求出，进而求出．根据垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 如图，作，垂足为，设， 由图象可知，当时，， ∴，， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴，即， 由垂线段最短可得，的最小值为． 故答案为：；． 52．如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故答案为：． 53．已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或5或8 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，再利用勾股定理可求出的长； （2）根据函数图象可得，利用勾股定理建立方程求出的长，再求出的面积即可得到答案； （3）分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：由函数图象可知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止， ∴当点P与点A重合时，的面积有最大值， ∴由函数图象可知a的值即为的面积得到最大值，即； （3）解：由题意得，， 当时，此时点P在边上，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当时，在中，由勾股定理得， ∴； 当时， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或5或8． 54．如图1，已知点从的边上的一点出发，沿的方向匀速运动，速度为，到点后停止运动．设的长为，运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）．如图2是关于的函数图象，图象与轴交于点，当时，有最大值为． (1)求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过题意可知动点在上起始点时，的面积，还可知动点与点重合时，的面积，过点作于点，过点作于点，过点作于点，进而得出在中，，，即可求出的度数； （2）先求出，再得出，由即可求出的值． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 图象与轴交于点，的长为， 此时， ， 当时，有最大值为， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ． 55．如图①，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)求d的值； (3)当点Q出发______秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为． 【答案】(1)，， (2)； (3)或 【分析】（1）分；；和，四种情况求解即可； （2）根据题意，得当时，点Q的速度改变为每秒，此时点Q在上运动了， 运动路程为，此时距离终点的路程为，运动所用时间为，求解即可； （3）设运动时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为，根据题意，得；当运动时，点P停止运动，此时P，Q相距的路程为，而点P、点Q在运动路线上相距的路程为，故点Q还要运动，求解即可； 【详解】（1）解：当时，，且，， 此时， 根据图象，得当时，， 故， 解得； 当时，运动路程为，此时， 根据图象，得当时，， 故， 解得； 当点P在上运动时，，恒成立， 此时运动时间为：， 故点P运动时，到达点C的位置上， 当点P在上运动时，运动速度为，运动路程为， 运动时间为：， 故运动时，到达终点D处， 根据图象的意义，得； （2）解：根据题意，得，， 当点P在上运动时，此时运动时间为：， 故当时，，此时， 根据题意，得当时，点Q的速度改变为每秒，此时点Q在上运动了， 运动路程为，此时距离终点的路程为，运动用时间为， 故运动速度为：； （3）解：设运动时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为， 根据题意，得， 解得； 当运动时，点P停止运动，此时P，Q相距的路程为， 而点P、点Q在运动路线上相距的路程为， 故点Q还要运动， 由于运动速度为：， 故还需运动时间为：， 故共需要运动时间为； 56．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解； （）当时，利用三角形面积公式解答即可求解； （）分两种情况：①点在上；②点在上，利用三角形面积公式构建方程解答即可求解； （4）延长至，使，连接交于，连接，此时△APD的周长最小，证出是等腰直角三角形，得出，由得到，再根据三角形外角性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：当时，动点在线段上，如图所示： ∴， 即与之间的关系式为； （3）解：分两种情况： ①当点在上时，如图所示，则， 解得； ②当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （4）解：点使得的周长最小，理由如下： 延长至，使，连接交于，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，看懂函数图象是解题的关键． 57．如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． (1)求图2中点的坐标； (2)求图1中线段的长． 【答案】(1)点的坐标为； (2)． 【分析】（1）先根据图象得出，，再根据勾股定理列方程求解； （2）求得，得到是等边三角形，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意和函数的图象得：， 过D作于点H，则， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∴， ∴． 58．如图①，已知图形的相邻两边垂直，．当动点P以的速度沿图①的边框按的路径匀速运动时，的面积随时间的变化如图②所示．回答下列问题： (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的值． 【答案】(1)70 (2) (3)10 【分析】（1）根据图象可知，当时，点与点重合，进而求出的长，根据三角形的面积公式求出的值即可； （2）根据图形和图象可知，当点在上运动时，保持不变，得到点的运动时间为秒，进而求出的长即可； （3）延长交于点，用求出的长，除以速度，求出点从运动到所用时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，当时，点与点重合， ∴， ∴； （2）解：由题意，可知，当点在上运动时，保持不变， ∴点在上的运动时间为秒， ∴； （3）解：延长交于点，则， ∴， ∴点在上运动的时间为， ∴． 59．如图①，在矩形中，是其对角线，点从点出发，匀速沿向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图②所示．当为的中点时，求的长． 【答案】 【分析】根据坐标的实际含义可得：，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：由图②可得，当时，， ∴当点的运动距离为0时，的长为6， ∴当时，． 由图②可得，当时，， ∴当点的运动距离为时，的长取得最大值，最大值为． ∵当点运动到和点重合时，的长取得最大值， ，． 在中，， ， ，． 为的中点，， ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是从函数图象中获取信息． 60．如图1，矩形中，，定点D的坐标为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，，两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以为斜边在x轴上作等腰直角三角形．设和矩形重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒，S关于t的函数图像如图2所示． (1)当______时，的边经过点B； (2)_______，点B坐标是___________； (3)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)1 (2)2， (3) 【分析】（1）观察图2 可得时，的边经过点B； （2）由图2知，时，P、Q两点相遇，则可得，求得． 则可得R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位．设，，由图2知时，；时，．列方程求得，，进而可得． （3）由点P和点Q的运动情况可知， 和矩形的重合部分分为3类情况；按照三种情况的特点，分别用矩形、梯形、等腰直角三角形的面积关系分类求解即可． 【详解】（1）解：由图2 知，时，的边经过点B； 故答案为：1 （2）解：由图2知，时，P、Q两点相遇． ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴R点的运动速度为每秒2个单位，Q点的运动速度为每秒1个单位． 由图2知时，；时，． 设与的交点为G点，设，． 如图，当时，是等腰直角三角形， ∴， 此时，， 如图，当时，过P点作于点H， 则，，， 此时，， 得， 解得，， ∴，， ∴． 故答案为：2，． （3）解：①当时，如图，设交于点G，过点P作于点H， 则，， ∴， ； ②当时，如图，设交于点G，交、于点S、T， 则 ， ， ∴ ． ③当时，如图，设与交于点T， 则，，． ∴ ． 综上所述，S关于t的函数关系式为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、函数与图像等；其中根据图像的变化情况对重合部分的面积进行分类讨论是解决此题的关键． 1．如图①，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图②是点运动时，线段的长度（单位：）随运动时间（单位：）变化的函数图象．求图②中点的坐标． 【答案】 【分析】先从函数图象读取点运动到的时间，得到的长度；再算出的长度；结合的运动时间，确定点在上的位置；最后利用直角三角形斜边中线的性质，求出的长度，得到点的坐标． 【详解】解：由图象可知，，． 当时，点运动了， ， 点在线段上，， 为的中点． ， ， 图②中点的坐标为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质与函数图象的实际应用，掌握从函数图象读取线段长度，及直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 2．如图1，在长方形中，，E为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)_____cm； (2)当时，求的值； (3)求当的面积为时的值； (4)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，求出的值． 【答案】(1)9 (2) (3)或； (4)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据题意得出，然后代入计算即可； （3）根据，分两种情况：点P在上运动，点P在上运动，根据三角形面积公式求解即可； （4）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）当时， ， ∴； （3）解：由（1）得， ∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴； ∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：或； （4）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 3．如图1，在长方形中，，为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)______； (2)当点在上运动时，求的面积为时的值； (3)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 4．如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． (1)求出、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与三角形的面积，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）由图象可知，点从出发，从点到耗时16秒，即，再由，即可求解； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为6，故只能有点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分点在上方、点在点下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即， 此时， 即， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 则，，而， 当点在上方时，则， 的面积， 解得：（满足条件）； 当点在点下方时，， 的面积， 解得：（满足条件）； 综上分析可知，或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $