3.曲线型（圆）几何综合题-【一战成名新中考】2026数学中考必考知识点题组特训

3.曲线型（圆）几何综合题 类型1 不含切线的相关证明与计算 1．如图，是△的外接圆，是优弧上一点，设，． （1）当时，　　 ； （2）猜想与之间的关系，并给予证明； （3）若点平分优弧，且，猜想△的形状，并说明理由． 2．如图1，在△中，，是△的外接圆，点在上且． （1）求证：； （2）在图2中，求作△的内心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 3．如图1，△内接于，作于点． （1）连结，．求证：； （2）如图2，若点为弧上一点，连结交于点，若，，连结，求证：平分； （3）在（2）的条件下，如图3，点为上一点，连结，．若，，求的长． 4．如图，等腰△内接于，．点是劣弧上的动点，连接，与相交于点． （1）如图1，若，． ①求的度数；（用含的代数式表示） ②若，求的值． （2）如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长． 5．已知四边形内接于，为的直径，点是上一点（不与，重合），连接，相交于点，连接，且． （1）若，求证：； （2）如图2，，． ①若，求的长． ②求的最大值． 6．【问题探究】 （1）如图1，△内接于，，点为劣弧上任意一点（点不与点、重合），连接、、，点在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点，，，均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 7．如图，在△中，，，是边上的一点，以为直径的与边的另一交点为（点在线段上），过点作交于点，连接，，， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求的长． 类型2 与切线有关的证明与计算 1．已知：如图，△内接于，点为上一点，连接，，其中经过圆心，的延长线交射线于点，若． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 2．如图，在△中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 3．如图，在△中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为． （1）若的半径为5，，求的长； （2）求证：与相切． 4．如图，△的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点． （1）求证：； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）在△中，，，若，求的半径长． 5．“板车”是一种以前在街头巷尾经常能看到的人力或畜力牵引的运输工具．它主要部分是一块平板，平板下面安装轮子．图1是板车把手端点着地时侧面示意图，图2是板车后尾端点着地时侧面示意图．为车轮的直径，车架过圆心，，地面与车轮相切于点． （1）如图1，连接，，若，． ①求证：； ②求车轮的半径长． （2）在（1）的条件下，如图2所示，当板车后尾端点着地时，求板车把手端点到地面的距离． 6．音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图，图2为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． （1）直接写出的度数； （2）①尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求长方体木块的高； （3）如图3，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图4中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器．计算：求每一根拨弦线的长． 7．如图，锐角△内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． （1）若，请直接写出，的度数． （2）求证：是的切线． （3）若平分，，求的值． 8．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，、是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． （1）求的度数； （2）通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：； （3）若粒子被注入粒子加速器后，四次经过被加速后被引出粒子加速器，求粒子在粒子加速器内飞行路程． 9．如图，在△中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下求△的面积． 10．已知：如图，圆的直径垂直于弦，过点的切线与直线的延长线相交于点，连结． （1）求证：是圆的切线； （2）求证：； （3）若，，求直径的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.曲线型（圆）几何综合题 类型1 不含切线的相关证明与计算 1．解：（1）连接， ， ， ， ； （2），理由如下： ， ， ， ， ； （3）△是等边三角形，理由如下， 过点作于点，连接， ， ， ， ， 由三角函数可知，， ， ， ， 点平分优弧， ， ， △是等边三角形． 2．（1）证明：在△中，， ， 是△的外接圆，点在上，， ， ， ， ； （2）解：如图2，点即为所求； ， 是的平分线， 作的角平分线，两条角平分线的交点即为△的内心． 作法如下：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过和这个交点作射线；交于点，点即为所求； （3）解：，． 是△的内心， ， ，，， ，， ， ， △△， ， ， ， ， 解得：（负值已舍去）， ． 3．（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）证明：设， ，， ，， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， 平分； （3）解：连接，过点作于点，的延长线交的延长线于点， 由（2）得，， ， ， ， ，且， ，， ，， ， 在△和△中，， △△， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ． 4．解：（1）①，， ， ， ， ， ， ； ②由，设，， ， ， ，， △△， ，即， ， ， ，， △△， ， ， ， ； （2）过点作， ，， △△， ， ， 在△中， ， ，， 设，则， 在△中， ， ， ， ， ， ， ． 5．（1）证明：已知四边形内接于，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， △△， ， ； （2）解：①由（1）得，， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 在△中，， ， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：，， ， 在△中，， ， ，即， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：； ②，， △△， ， ， 由①得，，， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：，， ， 当时，有最大值，即有最大值，最大值为， 的最大值为． 6．解：（1）如图3所示，延长至，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在△和△中，， △△， ，， ， △为等边三角形． ， 即． （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至，使，连接， 同理可证△△，从而， 又， 在△中，有，故， 从而可得，故为直径， 四边形周长， 当最大时（即为直径时），四边形周长最大值为． 7．（1）证明：是直径， ， 又， ， ， 四边形是矩形； （2）解：如图，设与边的另一交点为，连接，则有， ， △， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 在△中，，， ， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形， ． 类型2 与切线有关的证明与计算 1．（1）证明：过作圆的直径，连接， ， ， ，， ， ， 直径， 是切线； （2）由（1）知， ， ， ， △是等边三角形， ， 的长． 2．（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， 于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接，延长交于点， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ， ，，，， ，， ， ， 解得， ， ， 的长为． 3．（1）解：连接，， 的半径为5， ， ，是斜边上的中线， ， ， ， 为直径， ，且， ； （2）证明：，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线． 4．（1）证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， 平分， ， 又， ， ； （2）解：与相切． 理由如下：连接，，． ，， 点，都在的垂直平分线上， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：，， ， ， ， 又， △是等边三角形， ， 即的半径长为2． 5．（1）①证明：连接，如图， 为圆的切线， ． ， ， ， ， 为圆的直径， ， ， ． ，， ； ②解：由（1）①知：， ， 为圆的直径， ， ， 由（1）①知：， ， △△， ， ， ， ， ， ， ． 车轮的半径长为． （2）解：连接，过点作于点，如图， 由（1）②知：图1中，，，， ， 当板车后尾端点着地时，的长度不变，圆的半径不变， ，，， 为圆的切线， ． ， ， △△， ， ， ． 当板车后尾端点着地时，板车把手端点到地面的距离为． 6．解：（1）是的切线， ， ； （2）①过点作的垂线，垂足为点，如图， ②连接， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 、、在同一直线上， 四边形是矩形， ，， ， ， ； （3），弦交于， ，，， ， ； 的长为， 每一根拨弦线的长为． 7．（1）解：如图1，锐角△内接于，，连接，，则， ， ， ， 平分， ， ， 又， ； ， 又平分， ； （2）证明：如图2，平分，平分，连结． ，． ， ． ， ， ． ， ， ， ，即， 为的半径， 是的切线； （3）解：平分，平分，平分， 由（2）可知，， ， ， ． 又是的切线，， ， ． ， 设，，， ． ，， △△， ， ， 解得， ，，， ， △△， ， ， ， ， ． 8．解：（1）如图3，延长，交的延长线于点， 高速飞行的粒子在点注入，在点引出，粒子注入和引出路径都与相切，粒子注入路径与夹角， ，是的切线， ， ； （2）如图2，过点作于点，延长交于点，连接，， 是的切线， ， ， ， ， ，， ，， 在△中，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 当粒子运动到点时，离的距离最远， ， 答：粒子到的最远距离是； （3）， ， 在△中，， 由（2）得半径， 粒子四次经过被加速后被引出，粒子在粒子加速器内飞行距离为： ． 9．（1）证明：如图1，在△中，以为直径的交于点，连接，， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， ， 是的切线， ， ； （2）解：， ， 由（1）知， △△， ， ， ， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意）； （3）解：由（2）知， 如图2，连接，，作于点， ， ， △△， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ． 10．（1）证明：如图1，过点的切线与直线的延长线相交于点，连接，， ， 圆的直径垂直于弦， ， ， 在△和△中，， △△， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ； （3）解：如图2，连接，，设，交于点， 圆的直径垂直于弦， ， ，， ， ， ， △△， ， ， ，， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $