圆与二次函数综合问题、圆与三角形综合问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦圆与二次函数、三角形的综合应用，通过典例与变式构建知识逻辑链，培养几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆与二次函数综合|3例+3变式|含动态动点、存在性问题、图形平移，结合函数性质与圆的位置关系|二次函数解析式→顶点/交点坐标→圆的半径/圆心→几何图形变换与最值计算| |圆与三角形综合|3例+3变式|涉及切线证明、面积关系、角度计算，融合圆的直径/垂径定理与三角形全等/相似|圆的基本性质→三角形边角关系→推理证明与代数表达→模型应用与拓展|

圆与二次函数综合问题、圆与三角形综合问题专项训练 圆与二次函数综合问题、圆与三角形综合问题专项训练 考点目录 圆与二次函数综合问题 圆与三角形综合问题 考点一 圆与二次函数综合问题 例1．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线对应的函数表达式及顶点的坐标； (2)当时，函数的取值范围是________； (3)若点在以点为圆心，为半径的上，连接，以为边在的上方作等边，连接．求的最大值． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，再化为顶点式写出顶点坐标即可； （2）根据抛物线的性质可得当时，函数有最大值为，再求出当和时的函数值，即可得解； （3）先求出，进而得出，以为边在的上方作等边，连接、、，过点作轴于点，根据三线合一的性质和勾股定理，得出，根据等边三角形的性质，证明，从而推出点在以点为圆心，为半径的上运动，当点在的延长线上时，有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点， ，解得：， 抛物线对应的函数表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）解：， 抛物线开口向下，当时，函数有最大值为， 当时，；当时，， 当时，函数的取值范围是； （3）解：令，则， 解得：，， ， ， ，， 点在以点为圆心，为半径的上， ， 如图，以为边在的上方作等边，连接、、，过点作轴于点， ，， ，， ， ， 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， 点在以点为圆心，为半径的上运动， 当点在的延长线上时，有最大值为 例2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图1，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，过点的直线与抛物线在对称轴右侧的部分有唯一的交点． ①点的坐标为__________． ②求直线的表达式和的面积． (3)如图3，将抛物线沿直线平移，设平移过程中抛物线与直线交于，两点，平移过程中抛物线的顶点的横坐标为．当轴上存在唯一的一点使得时，请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①；②直线的表达式为，的面积为 (3)或或或 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据二次函数的平移规律求出抛物线的解析式，进而求出顶点的坐标； ②设直线的解析式为，与抛物线联立，得到关于的一元二次方程，由于只有一个交点，因此判别式，结合点在抛物线右侧，求出的值．将分别代入直线的解析式与抛物线的解析式，求出函数与轴的交点的坐标，利用割补法求出的面积； （3）根据平移规律可得直线的斜率为，结合点的坐标，求出的解析式，从而表示出点的坐标，以及平移后的抛物线的解析式．联立直线与抛物线，解方程求出点和点的坐标．以为直径作圆，根据圆周角定理可知，点必定在圆上，分两类情况讨论，圆与轴相切或者圆与轴相交，且点或点落在轴上，根据切线的定义和交点坐标构造方程，解出的值． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①， ∵抛物线由抛物线向右平移3个单位长度得到， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为； ②将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 当直线与抛物线相交时，则有， 化简，得， ∵直线与抛物线有唯一的交点， ∴判别式， 化简，得， 解得或， ∵点在抛物线的对称轴的右侧， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入方程，得， ， 解得， 将代入，得， ∴点的坐标为， 如图，设直线交轴于点， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ； （3）解：设平移过程中的抛物线的顶点为点，直线的解析式为， ∵抛物线沿着直线平移， ∴， ∴， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴平移过程中抛物线， 当直线与抛物线相交时， ， 化简，得， 因式分解，得， 解得，， ∴点坐标为，点坐标为， 由勾股定理可得，， 如图，以线段为直径作圆， 由圆周角定理可知，使得的点必定在圆上， ①当圆与轴相切时，此时只有唯一的点使得，符合题意， ∵点为的中点， ∴点的坐标为， ∵圆与轴相切， ∴， ∴， 解得或； ②当圆与轴相交时，设直线与轴交于点， 如图，当圆过点时，点与点或点重合，即存在唯一的点使得，符合题意， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； 综上所述，的值为或或或． 例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． (1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； (2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； (3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 【答案】(1)在 (2)是，理由见解析 (3)相切，理由见解析 (4) 【分析】(1)根据“轴点圆”的定义可知点在的垂直平分线上，因为点、是抛物线与轴的两个交点，所以抛物线的对称轴是的垂直平分线，可得点在抛物线的对称轴上； (2)根据抛物线的交点，可以求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得点到三个交点的距离相等，所以是抛物线的“轴点圆”； (3)根据抛物线的解析式可以求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据三点的坐标得到的圆心坐标，根据直线的解析式求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式求出圆心到直线的距离，即可判定直线与的位置关系； (4)根据抛物线的解析式求出抛物线与坐标轴的交点、的坐标，则“轴点圆”的圆心在的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可知当点、、三点共线时的周长最小，根据点、的坐标求出的周长最小值． 【详解】（1）解：过点、、， 点在的垂直平分线上， 点、是抛物线与轴的两个交点， 抛物线的对称轴是的垂直平分线， 点在抛物线的对称轴上； 故答案为：在； （2）解：是抛物线的“轴点圆”， 理由如下： 当时，可得方程， 整理得：， 分解因式可得：， 方程的解为：，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 过抛物线与坐标轴的交点， 是抛物线的“轴点圆”； （3）解：直线与相切， 理由如下： 如下图所示，过点作， 已知抛物线， 当时，可得：， 解方程得：，， 抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， 当时，可得：， 抛物线与轴的交点坐标为， 是抛物线的“轴点圆”， 的圆心坐标为，半径为， 当时，， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ， ， ， ， 直线与相切； （4）解：如下图所示，连接，作的垂直平分线， 是抛物线的“轴点圆”， 点在的垂直平分线上， ， 已知抛物线， 当时，， 点的坐标为， ， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， 此时的值最小， 当点、、三点共线时的值最小， 此时， 的周长最小值为． 变式1．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线x＝． (1)求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式； (2)圆O′经过点△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积； (3)在（2）的条件下，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CAD？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x﹣2 (2) (3)存在，点P的坐标为（，）或（，） 【分析】（1）根据抛物线具有对称性，可以求出点B的坐标，再用待定系数法求解析式即可． （2）根据△AOC∽△COB以及圆的相关性质，可知△ABD为等腰直角三角形，从而得出O'D与AB的数量关系，列式求解即可． （3）使得∠PDB=∠CAD的点P存在两种情况，利用相似导出线段之间的比值，再用直线和抛物线解析式联立求得相关点的坐标． 【详解】（1）解：∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝， ∴B（4，0）， 把点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入得∶ ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x﹣2． （2）解∶∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）， ∴OA＝1，OB＝4，OC＝2， ∴， 又∵∠AOC＝∠COB＝90°， ∴△AOC∽△COB， ∴∠BAC＝∠BCO， ∴∠ACB＝90°， ∴AB为圆O′的直径，O′点坐标为（，0）， ∴∠ADB＝90°， 又∵CD平分∠BCE， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴△ADB为等腰直角三角形， 连接OD′，则DO′＝AB，DO′⊥AB， ∴DO′＝，D的坐标为（，﹣）， 设AD与y轴交于点F， ∵∠DAB＝45°， ∴OF＝OA＝1， ∴CF＝1，过D作DH垂直于y轴， ∵D（，﹣）， ∴DH＝，OH＝， ∴S△ACD＝S△ACF+S△DCF＝×1×1+×1×＝． （3）解∶抛物线上存在点P，使得∠PDB＝∠CAD，分两种情况讨论： ①过D作MN∥BC，交y轴于点M， ∵MN∥BC， ∴∠BDN＝∠CBD，∠OCB＝∠HMD， 又∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BDN＝∠CAD， ∴直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P， ∵∠OCB＝∠HMD，∠COB＝∠MHD＝90°， ∴△HDM∽△OCB， ∴， ∵DH＝， ∴MH＝，M（0，﹣）． 设直线MD的解析式为y＝mx+n，则有， 解得， ∴直线MD的解析式为， 联立得∶， 解得，（舍去）， ∴P1． ②过点D作∠O′DG＝∠O′BC，交x轴于点G点， ∵∠O′DB＝∠O′BD＝45°， ∴∠GDB＝∠CBD＝∠CAD，即直线DG与抛物线在点D右侧的交点即为P点， 又∵∠DO′G＝∠COB， ∴△O′GD∽△OCB， ∴， ∴， ∴O′G＝ ， ∴G（，0）， 设直线DG的解析式为y＝kx+b， 则有，解得 ∴直线DG的解析式为y＝2x﹣， 联立得∶， 解得（舍去），， ∴， 综上所述，点P的坐标为（，）或（，）． 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）某物理实验室设计了一个抛物线形凹面反射镜，其截面如图1所示．一束实验激光沿直线射出，与轴交于点．反射镜面的曲线为二次函数的图象，它经过坐标原点（镜面中心）和点（激光入射点），镜面最低点为，以点为圆心、的长为半径，在镜面上方划定一个圆形安全区域． (1)试用含的代数式表示； (2)为进行对称校准，将关于x轴对称得到，若恰好与直线（连接点和镜面最低点的校准线）相切，切点为点，求（安全区域）的半径及二次函数（反射镜面）的解析式； (3)当镜面曲率参数时，如图2，检测点是边界上的一个动点（不与、重合），已知激光束的直线轨迹与镜面曲线交于另一点（不与、重合），请问：是否存在点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据一次函数的图象与轴交于点，易得点的坐标，把，坐标代入可得、的关系式； （2）当恰与直线相切时，四边形是正方形，是等腰直角三角形，易得点坐标和的长，进而求出抛物线解析式； （3）根据题意，求出点坐标，易知，所以或，由于，于是当或时分类讨论，可得答案． 【详解】（1）解：令，解得， 一次函数的图象与轴交于点的坐标为， 把，代入， 得，， ； （2）解：如图，将关于轴对称得到，连接， ， 四边形为菱形， 恰与直线相切，切点为点， 四边形是正方形，是等腰直角三角形， 过点作， ， ， ，， ， ， 把代入抛物线解析式与联立得： 解得：，， 抛物线解析式为：； （3）解：存在； 当时，， ， ， 作，则，， ， ， ， ①当点在优弧上时， ， 如图所示，当点在轴下方时， 此时点与点重合，即， 如图所示，当点在轴上方时，设直线与轴交于点， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，，代入直线解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 直线与抛物线相交，则， 解得：或， 时，， ， ②如图所示，当点在劣弧上时， ， ， 根据二次函数图象可得不可能在轴下方， 当点在轴上方时，设直线与轴交于点， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，，代入直线解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 直线与抛物线相交，则， 解得：或， 当时，， ， 综上所述：或或． 变式3．（2026·湖南湘西·模拟预测）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ∵，，， ∴，，， ∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点；    （3）如图，设交轴于点， ∵，， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ∴，， ∴， 综上所述，的值为．      考点二 圆与三角形综合问题 例1．（2026·湖南长沙·二模）为的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)； (1)如图1，的平分线交于点D，直径，弦，求的长； (2)如图2，弦于点E，交于点D，连接，令的面积为，的面积为，的面积为，且，求的值； (3)如图3，于点E，的平分线交、分别于点M、点N，设，，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过B作于E，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合角平分线的定义求出，则，根据等角对等边得出，在中根据勾股定理可求出，根据圆周角定理得出，则，在中根据勾股定理可求出，在中根据勾股定理可求出，即可求解； （2）根据垂径定理得出，则，结合，求出，则，证明，根据相似三角形的性质求出，最后在中，根据正切的定义求解即可； （3）过N作于F，根据角平分线的性质定理得出，根据余角的性质、对顶角的性质等得出，根据等角对等边得出，证明四边形是菱形，得出，，证明，根据相似三角形的性质得出，同理，则可求，证明，根据相似三角形的性质得出得出，同理，则可求出，由（2）可求出，则，即可求解． 【详解】（1）解：过B作于E， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：过N作于F，连接， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴ ， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴． 例2．（2026·浙江台州·二模）如图1，已知内接于，直径，垂足为．点为上一动点，连接分别交，于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若为的直径， ①求证：； ②若，，求的长； (3)如图3，若，，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）根据垂径定理得，由同圆等弧等角可证； （2）①设，由同角的圆周角相等，及平行线的性质可得，则；②连接，先证，根据直角边是斜边的一半，得出，可得，则为等边三角形，可得的长； （3）作于J，连接，，，作于I．可先求，由三角形面积可得，根据，得出当最大时、最大．即当O、J、F三点共线时，．此时最小．最大．也最大．求得．根据勾股定理求得．进而得．．根据，即可求解． 【详解】（1）解∶是的直径，， ． ． （2）解：①设，则， ， ． ． ， ． ． ． ． ②连接， 是的直径， ． ， ． ，， ． ． ． 为等边三角形， ． （3）解：作于J，连接，，，作于I．如图∶ 是直径， ，， ，． ， ． ，即， ． 中， ， ． ． 当最大时、最大． ， 当O、J、F三点共线时，． 此时最小．最大．也最大． ． ，即． ． 在中，． ． ． ，即． ． 例3．（2026·浙江台州·二模）在菱形中，，，点是边上的动点（不与，重合），过，，三点的圆交菱形的边于点，作于点，交于点． (1)如图1，连接和．求证：是等边三角形． (2)如图2，连接交于点，连接，，． ①求证：． ②设，，求关于的关系式． (3)的最小值为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② (3) 【分析】（1）证明，再根据同弧所对的圆周角相等可知即可求解； （2）①根据中垂线可知，再根据菱形的对角线是菱形的对称轴可知，即可求证；②过点作，过点作,根据三角函数，用来表示，进而构造等量关系化简即可； （3）以为圆心，为半径画圆，当为切点时，取得最小值． 【详解】（1）证明：连接， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴, ∵四边形是圆的内接四边形， ∴, ∵， ∴, 在和中， ∴, ∴， 在圆内， 则, 是等边三角形； （2）①证明：连接， 在等边三角形中，， ∴是边边上的中垂线， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； ②解：过点作垂足为点，过点作垂足为点， 在菱形中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是边边上的中垂线， ∴, 以为圆心，为半径画圆， 当为切点时，取得最小值， ∴ 设， ∴，， ， ∴ ∴的最小值为． 变式1．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，以为直径的与交于点，延长交于点，连接，点为线段上一点，连接，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，、交于点M，记与的面积分别为，．若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由和圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，推出，即可证明是的切线； （2）根据锐角三角形的定义和勾股定理可表示，再根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得出：，由，求出，再由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 又 ∵为的直径， ， ， ， ， ， 又 ∵为的直径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， 设， 则，， 过点D作交于点G， ∴， 即， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 解得：（负值已舍去）， ． 变式2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，为的直径，是上异于、的一点，连接、，过点作，垂足为点，过点的直线交延长线于点，且满足，过点作的任意一条割线交于点、，连接、相交于点，延长、相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)取的中点，连接，记的面积为、的面积为，请问是否存在常数、，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值使等式成立；若不存在，请说明理由．（温馨提示：、、、四点共线，无需证明） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，，证明见解析 【分析】（1）由圆周角定理可得，利用同角的余角相等，即可求出； （2）连接，由可得，变形得，从而证明，则，结合可得，因此，命题得证； （3）连接、、、，设与的交点为点，设圆的半径为，，由圆周角定理可得，则，由直角三角形的性质可得，则，结合与可得，即，同理．容易证明，则，结合可得，，．使用三角函数可计算出，，，进而得到．由圆周角定理容易证明，则．利用勾股定理容易证明，因此． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在，，，证明如下： 如图，连接、、、，设与的交点为点，设圆的半径为，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 同理，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴． 变式3．（2026·辽宁大连·二模）【问题情境】在综合与实践活动中，数学老师给出了如下条件： 在中，，点D在边上，，以点A为圆心，的长为半径画圆，点E在上，且． 【初步探究】 (1)奋进小组通过“延长与相交于点E”，找到了一个符合条件的点E的位置．连接，进一步发现当与相切时，可以求出边的长，请你结合图写出求长的解答过程． 【深入探究】 (2)睿思小组将特殊化后提出如下问题：如图2，当时，连接，在上取点G，使．请你在上找出符合条件的点E的位置，并作直线与直线相交于点H，求的长． 【答案】(1)的长为，过程见解析 (2)点E的位置见解析，的长为或 【分析】（1）由切线性质得，结合知、、共线，在中求，再在中用勾股定理，得； （2）当时，为等腰直角三角形，先由，结合得，过G作，利用为等腰直角三角形的性质，设，通过列方程解得，进而算出；再分两种情况讨论点E的位置，当E在边上时，用面积法求解；当E在延长线上时，利用相似三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴、、三点共线， ∴ ， 在中， ， 在中， ； （2）解：∵，，，． ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 过作于，如图， ∵，且， ∴为等腰直角三角形， 设，则， 在中， 解得， ∴，， ∴；；， 当点在边上，如图， 在和中， ， ， ∴， 又， ， 设，则，， 在中，， ∴， 在中，， ∵，且， ∴ 解得， ∴ ； 当点在的延长线上，过点作，交直线于点，连接，如图， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， 又， 四边形是平行四边形， ∴，且， ， ∴， 由图可得，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，的长为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆与二次函数综合问题、圆与三角形综合问题专项训练 圆与二次函数综合问题、圆与三角形综合问题专项训练 考点目录 圆与二次函数综合问题 圆与三角形综合问题 考点一 圆与二次函数综合问题 例1．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线对应的函数表达式及顶点的坐标； (2)当时，函数的取值范围是________； (3)若点在以点为圆心，为半径的上，连接，以为边在的上方作等边，连接．求的最大值． 例2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图1，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，过点的直线与抛物线在对称轴右侧的部分有唯一的交点． ①点的坐标为__________． ②求直线的表达式和的面积． (3)如图3，将抛物线沿直线平移，设平移过程中抛物线与直线交于，两点，平移过程中抛物线的顶点的横坐标为．当轴上存在唯一的一点使得时，请直接写出符合条件的的值． 例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． (1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； (2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； (3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 变式1．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线x＝． (1)求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式； (2)圆O′经过点△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积； (3)在（2）的条件下，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CAD？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）某物理实验室设计了一个抛物线形凹面反射镜，其截面如图1所示．一束实验激光沿直线射出，与轴交于点．反射镜面的曲线为二次函数的图象，它经过坐标原点（镜面中心）和点（激光入射点），镜面最低点为，以点为圆心、的长为半径，在镜面上方划定一个圆形安全区域． (1)试用含的代数式表示； (2)为进行对称校准，将关于x轴对称得到，若恰好与直线（连接点和镜面最低点的校准线）相切，切点为点，求（安全区域）的半径及二次函数（反射镜面）的解析式； (3)当镜面曲率参数时，如图2，检测点是边界上的一个动点（不与、重合），已知激光束的直线轨迹与镜面曲线交于另一点（不与、重合），请问：是否存在点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2026·湖南湘西·模拟预测）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 考点二 圆与三角形综合问题 例1．（2026·湖南长沙·二模）为的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)； (1)如图1，的平分线交于点D，直径，弦，求的长； (2)如图2，弦于点E，交于点D，连接，令的面积为，的面积为，的面积为，且，求的值； (3)如图3，于点E，的平分线交、分别于点M、点N，设，，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）． 例2．（2026·浙江台州·二模）如图1，已知内接于，直径，垂足为．点为上一动点，连接分别交，于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若为的直径， ①求证：； ②若，，求的长； (3)如图3，若，，直接写出的最大值． 例3．（2026·浙江台州·二模）在菱形中，，，点是边上的动点（不与，重合），过，，三点的圆交菱形的边于点，作于点，交于点． (1)如图1，连接和．求证：是等边三角形． (2)如图2，连接交于点，连接，，． ①求证：． ②设，，求关于的关系式． (3)的最小值为 ． 变式1．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，以为直径的与交于点，延长交于点，连接，点为线段上一点，连接，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，、交于点M，记与的面积分别为，．若，，求的长． 变式2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，为的直径，是上异于、的一点，连接、，过点作，垂足为点，过点的直线交延长线于点，且满足，过点作的任意一条割线交于点、，连接、相交于点，延长、相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)取的中点，连接，记的面积为、的面积为，请问是否存在常数、，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值使等式成立；若不存在，请说明理由．（温馨提示：、、、四点共线，无需证明） 变式3．（2026·辽宁大连·二模）【问题情境】在综合与实践活动中，数学老师给出了如下条件： 在中，，点D在边上，，以点A为圆心，的长为半径画圆，点E在上，且． 【初步探究】 (1)奋进小组通过“延长与相交于点E”，找到了一个符合条件的点E的位置．连接，进一步发现当与相切时，可以求出边的长，请你结合图写出求长的解答过程． 【深入探究】 (2)睿思小组将特殊化后提出如下问题：如图2，当时，连接，在上取点G，使．请你在上找出符合条件的点E的位置，并作直线与直线相交于点H，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $