2.二次函数与几何图形综合题-【一战成名新中考】2026数学中考必考知识点题组特训

二次函数与几何图形综合题 1．解：（1）把，代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）存在． 抛物线的对称轴为直线，则，， ， 如图1，当时，则，； 当时，则，，，， 综上所述，满足条件的点坐标为，或，或，； （3）当时，，解得，，则， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 直线的解析式为， 设，，则， ， ， 而， ， 当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为． 2．解：（1）由题意可得抛物线解析式为， 把代入，得， ， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由，解得或， ， 把代入，可得， ， ， ， ， ， 设直线上方抛物线上的点坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，则， ． 整理得， 解得，． 故点的坐标为或； （3）将抛物线平移使得顶点落在原点得到抛物线， 抛物线的解析式为， 联立直线与抛物线可得：， ， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ，， ， ， ， 令时，则有， 直线经过定点． 3．解：（1）由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 当时，取得最大值，此时，点， 点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时最小，理由： ； （3）抛物线沿射线方向平移，故设抛物线向右平移、向下平移个单位， 则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 新抛物线对称轴过点，则，则 则新抛物线的表达式为：， 点关于原抛物线对称轴的对称点为点， ，则直线过点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在轴上方时，则直线和关于轴对称，则直线的表达式为：， 分别联立直线、和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）． 故点，或，． 4．解：（1）设，把代入得：， 解得：， ，即， ，， 把代入得：， 解得：； （2）延长交轴于点，过点作轴于点，如图1， 设，又， ，， ，轴， ， ，， ， ，，， ， ， △△， ， ， 即， 解得：， ， 设直线的表达式为，则，解得：， 直线的表达式为， 联立得：，解得：，， 点的坐标为，； （3）设，直线的表达式为，，，，，，， 将抛物线平移至顶点为原点， 平移后的抛物线表达式为， 设直线的表达式为，直线的表达式为， 将，，，代入，得，解得：， 同理可得：， 直线与抛物线表达式联立得：， 整理得：， 直线、与抛物线只有一个交点， △， ， ， 同理可得：， 过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，如图2， 则，，，， ， ， ， △△， ，即， ， 即， ， ，又， 整理得：， ， ， ， 点坐标为． 5．解：（1）由题意，， 抛物线的对称轴，抛物线与轴另一交点为， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得到， 抛物线的解析式为； （2）如图， ①当，时，． 即，， 又，点与点重合， 的坐标是． ②当，时，． 即，． ，， 的坐标是，． ，， ． 点不可能在点右侧的轴上 综上所述，在轴上存在两点，，． 6．解：（1），， ， ， 把点和点的坐标代入抛物线， ，解得． ，． （2）由（1）知， 将抛物线向左平移一个单位后得抛物线， 令，则，令，则， ，，， 设点的横坐标为， ， 设直线的解析式为：， ，解得， 直线， 同理可得直线． ，，，， ，， ， ． （3）分别设和点的横坐标为，， ，． 令， 整理得， ，． 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，整理得， 由题意可知，△，整理得． 同理可得． 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令，解得， ，，即，， 令，，消去可得． 即点在定直线：上运动． 7．解：（1）已知抛物线与轴交于，两点，将点，点的坐标分别代入得：，解得：， 抛物线解析式为； （2）设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 设，则，，， ． ①根据题意得△的面积为， ， 解得：，． △的面积为10时，点的横坐标为1或4； ②直线能否把△分成面积之比为的两部分；理由如下： ， 当时，，即， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 点的坐标为； 当时，，即， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 综上所述，直线能否把△分成面积之比为的两部分，点的坐标为或； （3）点的坐标为，，，．理由如下： 抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ，， ，，， 当时，△为直角三角形，， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，△为直角三角形，， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，△为直角三角形，， ， 解得：，， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为，，，． 8．解：（1）二次函数的图象与轴交于，两点，将点，点的坐标分别代入得：，解得：， 该抛物线的表达式为； （2）二次函数与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的表达式为，将点的坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 如图1，过点作轴于点，交于点． 设，，则， ． ，，， ，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 此时点的坐标为； （3）在轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或．理由如下： 设，． ，． 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：，解得：（不合题意，舍去）或， ，； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：，解得：或， ，或， ； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ，． 综上所述，在轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或． 9．（1）解：抛物线顶点坐标， 设 抛物线经过点，将点代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为， 点的横坐标为，点为轴上一点，抛物线经过，两点， 当时，得：； 当时，得：， 解得：或， ，； （2）证明：设， 已知点到定点的距离与到定直线的距离相等． ， ， 整理得：， ， 抛物线必经过点； （3）解：如图，连接，过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 由（1）知：，， ， ， ， 又， △是等腰直角三角形，则， ， 又， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立得：，解得：或， ． 10．解：（1）抛物线与直线相交于，两点，将点的坐标代入得：， ， 将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， 抛物线的解析式是； （2）存在点，使△为直角三角形；点的坐标为或．理由如下： 抛物线与轴的另一个交点是点， 当时，得：， 解得，， ， 设点，则，， ，，， 若△为直角三角形，分三种情况讨论： 当时，由勾股定理得：， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当时，由勾股定理得：， ，即， 解得：， 此时点的坐标为； 当时，由勾股定理得：， ， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述，存在点，使△为直角三角形；点的坐标为或． 11．（1）解：抛物线过点，， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）证明：设， 在中， 当时，， 解得，， ， ， 直线的解析式为， 轴，交于点， ， ，， 直线的解析式为， 当时，， ， 轴； （3）解：， 对称轴为直线， 直线的解析式为， ， 在第三象限内，且， ，直线的解析式为， ， 当时，如图2， ， ， ， 恒成立， 恒成立， 的值为4； 当时，如图3， ， ， ， 恒成立， 恒成立， 的值为4； 综上所述，的值为4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与几何图形综合题 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． 2．如图1，抛物线的顶点坐标为，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于点． （1）若点的横坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）条件下，点为直线：上方的抛物线上一点，若，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移使得顶点落在原点得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，直线，分别交抛物线于点，．求证：直线恒过一个定点． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．点为抛物线对称轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．如图1，抛物线与轴交于点，两点，与直线交于点． （1）直接写出、、的值； （2）取点，在抛物线第一象限上取点，使，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，直线、与抛物线只有一个交点，连接，若存在点使得恒成立，求点坐标． 5．如图，直线与轴、轴分别相交于、，经过、两点的抛物线与轴另一交点为，顶点为，且对称轴是直线． （1）求抛物线解析式； （2）连接，请问在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由． 6．抛物线与轴交于、在的左边），与轴负半轴交于，且． （1）求、的值； （2）将抛物线向左平移一个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，点为抛物线位于第四象限上的一点，连交轴于，连交轴于，求的值； （3）如图3，直线交抛物线于、两点，分别过、且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 7．综合运用 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接． ①连接，当△的面积为10时，求点的横坐标； ②直线能否把△分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得△为直角三角形，请直接写出点的坐标． 8．综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． （3）点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点为轴上一点，抛物线经过，，三点，点为抛物线的顶点，为第一象限内一动点．过点作轴，垂足为点．已知点到定点的距离与到定直线的距离相等． （1）求抛物线的解析式与点，点的坐标； （2）求证：抛物线必经过点； （3）连接、，当时，求点的坐标． 10．如图，抛物线与直线相交于，两点，抛物线与轴的另一个交点是点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线上的一个动点（不与，重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，，是否存在点，使△为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；否则，请说明理由． 11．抛物线与轴交于点，（点在的左侧），与轴交于点，点为该抛物线在第三象限内的一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴，交于点，直线交轴于点，连接，求证：轴； （3）如图2，直线为该抛物线的对称轴，于点，直线，分别交直线于点，．在点运动的过程中，当恒成立时，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $