精品解析：安徽淮北市第一中学2025-2026学年高三下学期第四次质检数学试卷

淮北市第一中学2025-2026学年下学期第四次质检数学卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的极值点为（ ） A. B. 0 C. D. 3. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）． A. 若，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆 C. 的最大值为3 D. 若的实部与虚部互为相反数，则 10. 已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 数列是等比数列 D. 11. 已知锐角满足，则（ ） A. 角A的取值范围是 B. 当时，的面积存在最小值 C. 存在使得其边长为三个连续的正整数 D. 存在使得其三边长成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，14题第一问3分，第二问2分，共15分. 12. 已知，，则 ______ 13. 小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 16. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． （1）证明：平面PAC； （2）已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 18. 若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆C:，P，Q分别为左、右顶点且离心率，直线l过交椭圆C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）连接AQ，BQ，BP，并过A，B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D，过D作BQ的平行线交AQ于M点，直线OM（O为坐标原点）交直线BQ于点N，直线AQ和直线BP的斜率分别为和，N，B两点横坐标分别为.证明：为定值； 19. 已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． （1）设函数，求证是周期函数并求的最大值； （2）给定，证明：对，，使得； （3）若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第一中学2025-2026学年下学期第四次质检数学卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，根据补集运算的定义，即可得答案. 【详解】由题意得，且全集， 所以集合. 2. 函数的极值点为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求导公式求出函数的导数，再令导数为0，求出可能的极值点，最后根据极值点的定义判断该点是否为极值点. 【详解】由题可得，令，解得. 因为是函数的变号零点， 因此是函数的极值点. 故选：A. 3. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328. 故选：A. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，则， 所以，所以. 因为，所以. 5. 已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可分别讨论参数的符号，再分别验证渐近线和离心率即可得出结论. 【详解】根据意题意，若，则渐近线方程为，即可得， 此时离心率为，即充分性不成立； 若，当离心率为时可得，即可得， 此时渐近线方程为，显然必要性也不成立； 即可得“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的既不充分也不必要条件； 故选：D 6. 已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意得，求得，再结合三角函数的单调性得，，最后结合求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 又在区间上单调递增，所以， 故，，解得，． 令得，又，所以； 令得； 当时，，不合题意． 综上，的取值范围为． 7. 已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，，故最小等价于最大， 由双曲线定义，在上， 设双曲线方程为，将代入得： ， 由得，故. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合条件并利用同构得到，再利用导数并结合对勾函数性质求解取值范围即可. 【详解】因为函数的零点为，所以， 因为函数的零点为，所以， 则，即， 可得，令， 则，可得在上单调递增， 所以，则，即， 可得， 由已知得，则， 而，，则，解得， 令，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，即， 而可化为与构成的复合函数， 由对勾函数性质得在上单调递增， 所以，则的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）． A. 若，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆 C. 的最大值为3 D. 若的实部与虚部互为相反数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可. 【详解】因为时，复数， 所以在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误； 因为复数满足，所以复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，B正确； 当复数的点位于时，取最大值为3，C正确； 由于，若的实部与虚部互为相反数， 则，即，D正确. 10. 已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 11. 已知锐角满足，则（ ） A. 角A的取值范围是 B. 当时，的面积存在最小值 C. 存在使得其边长为三个连续的正整数 D. 存在使得其三边长成等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由锐角三角形建立不等式求出的范围判断A；利用正弦定理及三角形面积公式建立面积的函数关系，利用导数探讨最值情况判断B；利用余弦定理按分类列式求解判断C；由C的信息，结合等比中项性质列出方程，由方程解的情况判断D. 【详解】对于A，在锐角中，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，由正弦定理得， 当时，，的面积 ， 令，则，求导得 ，显然，函数对递增， 函数对递减，因此函数在上递减，又， 则存在，使得，当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，因此函数在无最小值，B错误； 对于C，由，得，由及余弦定理， 得，整理得，则， 当时，令，方程无解； 当时，令，由， 解得，此时，C正确； 对于D，当时，与矛盾； 当时，，即，而，则， 即，令，函数， 求导得，函数在上单调递增， ，则存在，使得， 因此存在使得其三边长成等比数列，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，14题第一问3分，第二问2分，共15分. 12. 已知，，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据差角的正切公式计算即可. 【详解】 . 13. 小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 【答案】432 【解析】 【分析】先按2道不同的B型题不相邻，进行排列；在B型题不相邻的排列中，排除前3道题中没有B型题的情况，即可求解. 【详解】第一步，排4道A型题．4道A型题全排列，有种安排顺序； 第二步，排2道B型题．排好后的A型题会产生5个空位（包括两端）， 将2道B型题插入空位．有种安排顺序， 由分步乘法计数原理，得B型题不相邻的安排顺序有种； 第三步，排除不符合要求的情况．前3道题都是A型题的情况， 即2道B型题在第4题和第6题的位置：4道A型题全排列，有种安排顺序， 2道B型题全排列，有种安排顺序， 所以不符合要求的安排顺序有种． 所以不同的安排顺序有种． 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______ 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【详解】； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【小问1详解】 由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. 【小问2详解】 由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 16. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； （2）证明：由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得，  ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【小问1详解】 函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． （1）证明：平面PAC； （2）已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为ABCD为菱形，所以，设AC，BD交于点，则， 又因为，所以，因为，AC，平面PAC，所以平面PAC． （2）； 【解析】 【分析】（1）设AC，BD交于点，通过证明即可证明平面PAC； （2）（i）取PC中点，通过证明及可得OFEB是平行四边形，即可求得； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBD、PEC的法向量，通过法向量求解余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取PC中点，则且，由知， 所以，即四点共面， 因为平面PEC，平面OBEF，平面平面，所以， 因此OFEB是平行四边形，故，即． （ii）由（1）可知，平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC， 因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，，， 因为，且，所以，， 因此，，， ，， 由此可知，设平面PBD的一个法向量， 则，也即， 令，得，设平面PEC的一个法向量， 则，也即， 令，得，所以， 所以平面PBD与平面PEC夹角的余弦值为． 18. 若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆C:，P，Q分别为左、右顶点且离心率，直线l过交椭圆C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）连接AQ，BQ，BP，并过A，B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D，过D作BQ的平行线交AQ于M点，直线OM（O为坐标原点）交直线BQ于点N，直线AQ和直线BP的斜率分别为和，N，B两点横坐标分别为.证明：为定值； 【答案】（1） （2）证明：若直线的斜率为，则过点的切线平行，不符合题意； 故设，，. 联立，得， 由韦达定理，得，则， 因为，所以 ， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和弦长列方程组求解； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理得出，代入中化简即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 令，则，得，则， 得，，， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 略 19. 已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． （1）设函数，求证是周期函数并求的最大值； （2）给定，证明：对，，使得； （3）若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 【答案】（1）对于函数， 可得， 因为函数的周期为，所以， 所以， 所以函数是周期函数，且周期为， 最大值为 （2）由（1）知，函数是周期为4的偶函数，且的图像关于对称， 且在 上单调递减，则在上单调递增， 所以是的最小值， 根据函数的周期性，不妨设，显然的长度， 若，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当取时，满足； 若，则且， 当时，取，有； 当时，取，有； 同理可证，当时，，使得， 综上可得，对任意，存在，使得. （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，得到的周期为，推得，证得是周期函数，设 ，得到，令 ，得到，得到在或或或时，取得最大值，结合赋值法，即可求解. （2）根据函数的周期性，不妨设，得到，分，和，三种情况讨论，分别得证得，即可得证； （3）当时，由（1）知，函数；当时，证得，使得恒成立，进而得到，即可求解. 【小问1详解】 要考虑函数的最大值，不妨设 ， 可得， 由函数在区间内 上单调递减，可得 ， 所以令 ，则， 又因为， 所以或，即 或， 所以在或或或时，取得最大值， 因为，可得且， 所以， ， 所以的最大值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（1）知，函数， 当时，下面证明： ，使得成立， 令，则，此时恒成立， 由（2）知，，使得， 所以，存在 ， 使得成立，所以， 综上可得，实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $