安徽淮北市实验高级中学2025-2026学年高三下学期考前预测数学质检卷

2025-2026学年高三下学期第三次数学质检卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合，则(    ) A. 或 B. 或 C. D. 3.在中，为三角形所在平面内一点，且，则(    ) A. B. C. D. 4.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为(    ) A. B. C. D. 5.某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第百分位数是(    ) 件数 人数 A. B. C. D. 6.关于对称，则其最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 8.年某省发布了“”模式的新高考方案，其中“”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“”指在物理和历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按一下方法选课：外语可选英语或日语，若选历史，则政治和地理至多选一科，物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数，下列结论正确的是(    ) A. 时，有两个零点 B. 时，当时，取得极小值 C. 时，恒成立 D. 若只有一个零点，则 10.如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点，平面，，，，则（） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线垂直 C. 平面截三棱锥所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 11.关于函数，下列判断正确的是(    ) A. 函数有且只有个零点 B. 是的极大值点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是          ． 13.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为，若，则______． 14.椭圆的两个焦点为，，是椭圆上任一动点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共７７分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． Ⅰ根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 Ⅱ根据Ⅰ的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； Ⅲ若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 16.本小题分 如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角．   证明：平面平面； 若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值； 在的条件下，求点到平面的距离． 17.本小题分 已知向量，，函数． 若，求函数的减区间． 若，方程有唯一解，求的取值范围． 18.本小题分 已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点． 求椭圆的标准方程； 已知点，且、分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的最小值； 若是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，则当直线的斜率都存在，并记为、时，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 19.本小题分 已知数列中，，，且． 设，试用表示，并求的通项公式； 设，求数列的前项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次数学质检卷 一、选择题 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   1. 解：由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限． 故选D． 2. 解：求集合：函数中，根号内，故，因此数集，元素为非负实数； 求集合：方程中，，即，解得，因此数集，元素为内的实数； 求：集合是所有非负实数，集合是内的实数，两者的交集为非负且不超过的实数，即． 3. 解：由已知，在中，为三角形所在平面内一点， 且， 点在平行于的中位线上，且为靠近边， 从而有，， ，有． 故选：． 4. 解：设，则． 在中，， 在中，由正弦定理得 ，即， 解得． 故选B． 5. 解：抽取的工人总数为，且， 所以第百分位数是第和第件数的平均数， 因为第和第件数分别为，， 所以第百分位数是． 故选B． 6. 解： ， 因关于  对称， 故  的根应为  和  ， 所以  ，得  ，  ， 即  ． 令  ，则  ， 代入得：   ，令   ，  ，函数开口向上， 对称轴为  ，  ， 因此，函数  的最小值为  ． 故选B． 7. 解：：的顶点， 所以椭圆：的焦点， 即，所以， 的离心率为． 故选B． 8. 解：分三步：先选“”再选“”最后“”，三步结果相乘即可， 分两种情况： 若选历史，则外语有两种选法，政治和地理中至多选一科时有种选法， 共种选法； 若选物理，则外语只能选英语，此时另外四科任意选， 共有种选法； 综上可得，这个同学可能的选课方式共有种选法； 故选D． 9. 解：对于选项A ，当时，，其定义域为， ， 令，， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 且，， 在定义域内有两个零点，故选项A正确； 对于选项B，由上面的推导过程可知， 当时，当时，取得极小值，故选项B正确； 对于选项C，由上面的推导过程可知， ，故选项C错误； 对于选项D，若只有一个零点， 则方程只有一个根， 即方程只有一个根， 令， 则函数图像与直线只有一个交点， ， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ， 且当时，， 当时，， 函数图像与直线只有一个交点时， ，则，故选项D正确； 故选ABD． 10. 解：，，分别为棱，，的中点， 故DE，， 又平面，，，， 所以，面，且， 所以三棱锥的体积为， 故A正确； 因为平面，故，又，故EF平面，， 若直线与直线垂直，则平面，，即，这显然不成立，故B错误； 取的中点，连，，则，，四边形为平行四边形，又面，， 所以平行四边形为矩形，，，所以截面面积为，故C正确； 因为，分别为棱，的中点，所以． 又因为平面，平面，所以直线平面． 所以点与点到平面的距离相等，故D正确； 故选ACD． 11. 解：， ， 函数在上单调递减， 且，， 函数有且只有个零点，即A正确； ， 当时，， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是函数的极小值点，无极大值，故B错误； ，可得， 令，则，  令，则， 当时，， 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，  ， ，  在上单调递减，且，  不存在正实数，使得恒成立，即不正确；  根据函数在上单调递减，在上单调递增，画出函数的图象如图： 若对任意两个正实数，，且，， 可得，设， 所以， 即， 所以， 若要证明，只需证明， 令， 所以， 令，， 即单调递减，所以， 即， 所以单调递减，即， 即时，， 即可得到，故D正确．  故选AD． 二、填空题 12.  　13.  　　14.   12. 解：由题意，函数在区间上有两个零点， 即在上有两个实根， 即在上有两个实根， 令函数，， 故等价于函数与直线在上有两个交点， ，令，可得， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值，即， 又，， 故要使函数与直线在上有两个交点， 即使得， 故答案为． 13. 解：， 由，得， 则， 故答案为． 14. 解：椭圆，，，， 则焦点坐标为，， 设点坐标为，由，可得， ，， ， 由题意可知：，则， 的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题 15. 解：Ⅰ由散点图判断，适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程． Ⅱ令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 关于的线性回归方程为， 从而关于的回归方程为． Ⅲ假设印刷册，依题意，， ， 至少印刷册．  16. 证明：取中点，连结， ，， 且， 四边形为平行四边形， ，， ，即， 又直二面角，即平面平面，且交线为， 又平面，平面， 平面 平面平面； 解：取中点，连接，则，， 由同理可得平面， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系： 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量， 在中，，， 可得出， 则在等腰直角中，， 故是边长为的等边三角形， 得，，， 由得 取，得， 故， 故， 由图可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为， 解：， 故点到平面的距离：．  17. 解：            ， ，， ，， 又， 函数的减区间为和 ． 方程有唯一解， 即有唯一解， ， 由余弦型函数性质可得： 时方程有唯一解， ． 故的取值范围是  18. 解：抛物线的焦点，双曲线的焦点， 设椭圆的标准方程为，则， ，则椭圆的标准方程为；  设，由题意知直线的方程为，即，则，，，当时，取得最小值为 是定值，且定值为，设点的坐标为，则点的坐标为，又设点的坐标为，则， 由得：  ，化简得： ．  19. 解：当时，， 故当时，， ， 当时，， ， ， 易知当时满足上式， 所以． ， ， 故．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $