精品解析：甘肃张掖市2025-2026学年高三下学期考前预测数学试卷

2025—2026学年高三年级第三次诊断考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据：，则样本数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（ ） A. 6n mile B. 7n mile C. n mile D. n mile 6. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，点到坐标原点的距离为，直线交双曲线的右支于点，直线与的斜率互为相反数，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点，若，，则（ ） A. B. C. 的离心率 D. 当的长轴长为时，的短轴长为 10. 已知函数（其中）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若在区间上的值域为，则 D. 若在上有且仅有3个零点，则 11. 已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数在上单调递增 C. 若，则不等式的解集为或 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 13. 已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则__________． 14. 小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是各项为正的等比数列，满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，求正整数的最小值． 16. 电视剧《生命树》开播以来，收视率急剧上升，成为当下的热播剧，并引发了人们对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注．某大学在电视剧《生命树》开播后，想了解学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关，随机抽取了300名该校学生进行调查，调查结果如以下22列联表： 关注 不关注 合计 男生 150 50 200 女生 50 50 100 合计 200 100 300 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关； （2）从参与调查的300名学生中抽取2名，求其中至少有1名是女生的条件下，这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护的概率． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的两条直线分别与抛物线交于点，与，且，求证：直线的斜率之和为0． 18. 如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形． （1）若平面，求的长； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若，函数，且存在，使得，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三年级第三次诊断考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据：，则样本数据的分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数定义计算求解. 【详解】由题可知，样本共有个数据，则， 而第个数据为，第个数据为， 则分位数为. 2. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求函数定义域化简集合A，解指数函数不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】对于集合A：，所以，解得或， 所以或， 对于集合B：可得，所以， 所以或. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 4. 命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 5. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（ ） A. 6n mile B. 7n mile C. n mile D. n mile 【答案】D 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 6. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量定义求解. 【详解】因为， 而， 所以在上的投影向量为. 7. 已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，点到坐标原点的距离为，直线交双曲线的右支于点，直线与的斜率互为相反数，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件，联立方程求点的坐标，再通过联立直线和的方程，求点的坐标，代入双曲线方程，即可求解. 【详解】设， 联立，得，，即， 则，直线 ，所以， 联立直线和直线的方程，解得，，即， 代入双曲线方程，得， 所以双曲线的离心率为. 8. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量， 利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. 【详解】在中，，且2，所以是等腰直角三角形. 因为为的中点，根据等腰三角形性质，. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 所以 ， ，， ，. 设，在中，，. 所以，故. 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为). ，设直线与平面所成的角为. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点，若，，则（ ） A. B. C. 的离心率 D. 当的长轴长为时，的短轴长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用题中条件以及椭圆的定义可判断AB选项；由结合余弦定理可得出关于、的等式，可求出该椭圆的离心率的值，可判断C选项；根据求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， ，， 所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为，故， 由余弦定理可得， 代入A中的数据并整理可得，即， 因为，解得，故该椭圆的离心率为，C错； 对于D选项，当的长轴长为时，则，则， 故该椭圆的短轴长为，D对. 10. 已知函数（其中）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 若在区间上的值域为，则 D. 若在上有且仅有3个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由三角恒等变换化简函数，结合对称轴得到方程，求出；B选项，根据函数奇偶性定义作出判断；CD选项，由函数值域和零点个数得到右端点的范围，求出答案； 【详解】对于A选项，， 因为函数的图象关于直线对称，所以， 解得， 又，故只有当时，满足要求，故，A错误； 对于B选项，由选项A知，， 故， 由于， 故为奇函数，B正确； 对于C选项，， 因为，，所以，， 由于在区间上的值域为， 故，解得，C正确； 对于D选项，， 因为，，所以， 因为在上有且仅有3个零点， 所以，解得，D正确. 11. 已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数在上单调递增 C. 若，则不等式的解集为或 D. 为奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A，利用单调性的定义可判断B，结合单调性和定义域可判断C，利用奇函数的定义可判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，A正确； 对于B，对任意，设，则，因为当时，， 所以， , 即，因此在上单调递减，B不正确； 对于C，，由可得， 由B选项可得，解得， 又，所以，故解集为，C不正确； 对于D，令，由可得定义域为； 又，所以为奇函数，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解． 【详解】由二项式的展开式的通项为， 其中含项的系数为0，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为． 13. 已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由已知可得圆心，半径， 因为，是圆的切线，，为切点， 根据切线性质得：，，即， 所以点，在以线段为直径的圆上，即是圆和以为直径的圆的公共弦， 根据两圆公共弦的性质可得：且平分， 又，所以，所以， 在中，，， 设与交点为，在中，， ， 所以. 14. 小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求，再根据即可求解. 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件， 则， 所以， 又， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是各项为正的等比数列，满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算列出方程，求解即得； （2）根据的表达式判断数列的增减性，求出的最小值，再解不等式即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由可得. 又因为数列各项均为正，所以. 由解得，则， 因为，所以. 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 因， 则,即数列为递增数列， 故的最小值为. 若存在使得对任意都成立，则需满足， 即，则，即，解得，即. 因为为正整数，所以的最小值为5. 16. 电视剧《生命树》开播以来，收视率急剧上升，成为当下的热播剧，并引发了人们对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注．某大学在电视剧《生命树》开播后，想了解学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关，随机抽取了300名该校学生进行调查，调查结果如以下22列联表： 关注 不关注 合计 男生 150 50 200 女生 50 50 100 合计 200 100 300 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关； （2）从参与调查的300名学生中抽取2名，求其中至少有1名是女生的条件下，这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护的概率． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算，与参考值比较得出结论； （2）根据条件概率公式计算求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注有关. 【小问2详解】 设事件A为“这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护”，事件B为“抽取的2名学生中至少有1名是女生， 则 ， . 17. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的两条直线分别与抛物线交于点，与，且，求证：直线的斜率之和为0． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义和最值可得答案； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理和弦长公式可证结论. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 因为点到焦点的距离与到点的距离之和最小值为3，所以，解得， 故方程为. 【小问2详解】 证明：设过的直线斜率为，则直线方程为， 联立抛物线方程可得， 设直线与抛物线的交点为，则. ，， 所以； 设直线的斜率为​，的斜率为，则，， 因为，所以，即， 因为是两条不同的直线，所以，即，直线的斜率之和为0. 18. 如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形． （1）若平面，求的长； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合正弦定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角正弦值得到点坐标，进而求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 设与相交于点，连接，圆锥的底面圆圆心为， 因为平面，平面平面，平面， 所以，故， 是边长为2的等边三角形，故，， 又是等边三角形，为的外接圆圆心， 则由正弦定理得，故， 故， 所以； 【小问2详解】 过点作⊥，交圆于点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 则， 其中平面的一个法向量为， 故与平面所成角大小为， 则 ， 解得或（舍去）， 所以，，又， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令得，故， 设平面与平面夹角大小为， 则. 19. 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若，函数，且存在，使得，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性转化为在区间恒成立，转化为最值问题求解； （2）首先利用导数判断函数和的单调性和最值，再根据，确定和的范围，再根据，，和三种情况，证明不等式. 【小问1详解】 由条件可知，在上恒成立， 则在上恒成立，则，， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 所以； 【小问2详解】 时，， 恒成立，所以在单调递减， 且，时，，当时，， 由，得，，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，， 所以， 若存在，使得，则， 当时，，，满足， 当时，，，有两种情况，或， 要证明，即证明，其中， 当时，在单调递增，因此要证明，等价于证明， 因为，即证明， 令，， ， 当时，，， 令，， 所以在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增，所以， 即在区间恒成立， 因此，又因为，所以， 又因为在区间单调递增， 所以，即，结论成立， 当时，因为，所以，所以不等式显然成立， 综上可知，时，，当时，成立， 所以无论何种情况，，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $