精品解析：山东济宁市泗水县2026年九年级学业水平考试数学试题

泗水县2026年九年级学业水平考试 数学试题 （测试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（   ） A. B. C. D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，正确掌握相反数的概念是解题的关键． 根据相反数的概念即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； C、可以抽象成轴对称图形，故本选项符合题意； D、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 3. 豆包是中国字节跳动公司自研的人工智能助手，依托强大的大模型、大数据与大算力．豆包1.5深度思考模型的总参数量为2000亿，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为，其中要求，为整数。解题关键是先把“亿”换算为具体数字，再按规则转化为科学记数法． 【详解】解：2000亿． 故选：B． 4. 以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，5，2 C. 3，4，8 D. 1，10，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边的和是否大于最大边，即可判断能否构成三角形． 【详解】：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、乘方运算、合并同类项、完全平方公式，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意； B.，故正确，符合题意； C.，故错误，不合题意； D.，故错误，不合题意； 故选：B． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 7. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限， 所以， 所以一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围． 8. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 9. 如图，是的外接圆，是的直径，若的直径为5，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则，利用勾股定理求出的长，则可求出的值，再根据同弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵的直径为5，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，，从而得到线段的中点，根据点在双曲线上得到，再结合的面积为求出的值即可得解． 【详解】解：线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上， 可设点，， 则线段的中点， 双曲线恰好经过点， ， 的面积为， ，即， ， ，选项符合题意． 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 12. 已知一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_____． 【答案】11或13 【解析】 【分析】将已知方程左边的多项式分解因式，再利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，分两种情况考虑，分别求出周长即可． 【详解】解：x2﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5＝13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5＝11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故答案为11或13 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，求出方程的解是解本题的关键． 13. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故答案为：． 14. 如图，菱形的边长为12，，则对角线的长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】连接，交于点O，根据菱形对角线性质可得与互相垂直且平分，在中,由，可得，． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直且平分， ∵，， ∴， ∴． 15. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第秒时；点的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质找到规律，点的坐标以每秒为一个周期依次循环，进而得出第秒，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ，叶片每秒绕原点逆时针转动， ，，，，…， 点的坐标以每秒为一个周期依次循环， ， 第秒时点的对应点的坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算、化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先通分，再约分化简，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 17. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________；将条形统计图补充完整． （2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有________； 【答案】（1）200，， 补全条形图如图所示： （2）600 【解析】 【分析】（1）根据现金支付的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求出“支付宝”支付的百分比，进而可求扇形圆心角的度数；计算使用“微信”支付方式的人数，从而可补全条形图； （2）计算出样本中“微信”支付的百分比，再用乘以该百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次活动调查的人数为：（人）， 使用“支付宝”支付方式的占比为：， 扇形圆心角的度数为：． 使用“微信”支付方式的人数为：（人）， 图略； 【小问2详解】 解：样本中使用“微信”支付方式的百分比为：， 由此可以估计2000人中最喜欢使用“微信”支付方式的人数也是， 即（人）． 答：估计2000人中最喜欢使用“微信”支付方式的人数是600人． 18. 阅读材料并解决问题： 已知：如图，及内部一点P． 求作：经过点P的线段，使得点E，F分别在射线，上，且． 作法：如图． ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点M，N； ②连接，作线段的垂直平分线，得到线段的中点C； ③连接并在它的延长线上截取； ④作射线，分别交射线，于点F，E．线段就是所求作的线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 由②得，线段_____（填“＞”，“＝”或“＜”）． 在和中， ∴ ∴． ∴（______）（填推理的依据）． 又由①得，线段． 可得． 【答案】 （1）补全的图形如图1所示． （2）=；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）根据题目的提示作出图形即可； （2）连接MN，证明△MCN≌△DCP，利用内错角相等，两直线平行即可证明MN//EF，从而证明OE=OF． 【详解】解：（1）略 （2）略． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，某海岸线MN的方向为北偏东75°，甲，乙两船分别向海岛C运送物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，已知港口B到海岛C的距离为30海里，求港口A到海岛C的距离． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AM垂足为D，设CD=x，根据直角三角形的性质求可得AC=2x、BD=BC=x，再利用勾股定理可求得x，进而求得AC的长． 【详解】解：过点C作CD⊥AM垂足为D， ∴∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=30°， 设CD=x ∵在Rt△ACD中，∠CAD=75°-45°=30° ∴AC=2x ∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°,BC=30 ∴BD=BC=x ∴，解得x= ∴AC=2x=． 答：港口A到海岛C的距离是海里． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键． 20. 某服装店老板到厂家选购、两种品牌的羽绒服，品牌羽绒服每件进价比品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍． （1）求、两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？ （2）若品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进、两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利不低于28000元，则最少购进品牌羽绒服多少件？ 【答案】（1）品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元；（2）最少购进品牌羽绒服20件． 【解析】 【分析】（1）设品牌羽绒服每件进价为元，则品牌羽绒服每件进价为元，根据数量＝总价÷单价，结合用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服（80﹣y）件，利用总利润=每件的利润×销售数量，结合这批羽绒服全部出售后所获利利不低于28000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设品牌羽绒服每件进价为元，则品牌羽绒服每件进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元； （2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服件， 依题意得：， 解得：． 答：最少购进品牌羽绒服20件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，交于点，    点为劣弧的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据圆周角定理及垂径定理可得，结合已知，然后根据矩形的判定与性质可得，最后由切线的判定方法可得结论； （2）连接、，根据圆周角定理可得是等边三角形，，可得，从而可得，得到，进而可得，最后由扇形面积公式可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接、，    ， ， ， 是等边三角形， ， 点为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 22. 根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式； （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围． 【答案】（1）； （2）小刚不能得到满分， 理由：当时，解得舍去，， ， 小刚在此次训练中不能得到满分； （3）． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令代入解析式求出值与比较即可得到结论； （3）设调整后抛物线解析式为，当时，，令，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，由表中数据可得： ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设调整后抛物线解析式为， 当时，， 令， 解得， 的取值范围为：． 23. 【综合与实践】如图，在Rt中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造Rt，，连接，． 【特例感知】 （1）如图，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，如图．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），； （2），，证明如下； ， ，即， 又， ， ，，则， 又， ， ， ； （3）①与的函数表达式为，最小值为8； ②或． 【解析】 【分析】（1）由，证明，即可得出，； （2）由已知得出，即可得出，； （3）由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出，数形结合即可求解； 过作于，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）， ，， ， ，，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 故答案为：，； （2）略 （3）连接交于， ，， ∴，， ， 设， ， 由（1）可知，，， ， ， 点与点关于对称， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 与的函数表达式为， 由， 其最小值为； 过作于， ， 是等腰直角三角形， ∴在，，， ， ， 连接，由①可知，四边形是正方形， ，， 在中， ， ，， 又，， ， ，， ， 在，，， ∴， ， ， 解得或， 或． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形，勾股定理，二次函数的综合应用，熟记全等三角形的判定与性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗水县2026年九年级学业水平考试 数学试题 （测试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（   ） A. B. C. D. 以上都不是 2. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 豆包是中国字节跳动公司自研的人工智能助手，依托强大的大模型、大数据与大算力．豆包1.5深度思考模型的总参数量为2000亿，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，5，2 C. 3，4，8 D. 1，10，10 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的外接圆，是的直径，若的直径为5，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：=_____． 12. 已知一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_____． 13. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 14. 如图，菱形的边长为12，，则对角线的长为________． 15. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第秒时；点的对应点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算、化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________；将条形统计图补充完整． （2）如果某个社区共有2000个人，那么选择微信支付的人约有________； 18. 阅读材料并解决问题： 已知：如图，及内部一点P． 求作：经过点P的线段，使得点E，F分别在射线，上，且． 作法：如图． ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点M，N； ②连接，作线段的垂直平分线，得到线段的中点C； ③连接并在它的延长线上截取； ④作射线，分别交射线，于点F，E．线段就是所求作的线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 由②得，线段_____（填“＞”，“＝”或“＜”）． 在和中， ∴ ∴． ∴（______）（填推理的依据）． 又由①得，线段． 可得． 19. 如图，某海岸线MN的方向为北偏东75°，甲，乙两船分别向海岛C运送物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，已知港口B到海岛C的距离为30海里，求港口A到海岛C的距离． 20. 某服装店老板到厂家选购、两种品牌的羽绒服，品牌羽绒服每件进价比品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍． （1）求、两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？ （2）若品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进、两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利不低于28000元，则最少购进品牌羽绒服多少件？ 21. 如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 22. 根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式； （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由； （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围． 23. 【综合与实践】如图，在Rt中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造Rt，，连接，． 【特例感知】 （1）如图，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，如图．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $