2026年中考数学第二轮专题复习之填空题复习——17：《相似三角形及黄金分割》(题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 17.相似三角形及黄金分割   本课时是全国中考数学填空题固定必考核心考点，是二轮复习中 “低门槛、高性价比、易提分” 的保底专题，同时是圆综合、几何压轴题的核心解题工具，完全贴合新课标 “几何直观 + 逻辑推理 + 数学运算” 的核心素养考查要求，结合配套 30 道真题，。 一、题型特点 梯度分层精准适配二轮复习需求题目严格形成三级梯度，与二轮查漏补缺、分层提分的复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦相似三角形判定补充条件、黄金分割定义的直接应用，考点单一、逻辑简单，是全员必拿的保底分，对应真题第 3、6、8、9、10、15、22 题；②中档提分层，深度融合特殊三角形 / 四边形性质、勾股定理、平面直角坐标系、反比例函数，以网格、折叠、实际场景为命题载体，是二轮复习的核心突破重点，对应真题第 1、2、4、5、7、12、14、16、17、18、19 题；③压轴拉分层，绑定动态几何轨迹、线段最值、规律探究、多结论判断，是填空压轴题的高频题型，区分度极强，对应真题第 11、13、20、21、23-30 题。 模型化命题特征显著，可固化破题路径90% 的题目围绕中考固定几何模型命题，学生可通过模型识别实现 “见题识型、秒解破题”：相似三角形核心考查A 字型、8 字型、母子型（射影定理）三大基础模型，辅以一线三等角、手拉手相似进阶模型；黄金分割核心考查单黄金分割点、双黄金分割点、黄金矩形三大模型。其中，平行线必出 A 字型 / 8 字型相似、直角三角形斜边上的高必出母子型相似、双黄金分割点有固定线段等量关系，无需复杂推导，可直接套用结论解题。 填空题专属陷阱设计突出，聚焦细节考查针对填空题 “无过程分、一错全零” 的特点，命题高频设置专属陷阱：超 30% 的题目设置多解分类讨论陷阱（如顶点对应不明确的相似、无图几何题、动点在直线 / 射线上运动），是学生第一大失分点；同时强化细节考查，如相似比与面积比的换算、黄金比的符号与线段对应、单位换算、限定词漏看等，重点考查学生的严谨性。 实际应用导向明确，贴合新课标中考趋势超 25% 的题目结合生活实际场景命题，黄金分割结合乐器弦长、手机摄影构图、舞台站位、汉字书写等场景，相似三角形结合卡钳内孔测量、折叠餐桌、定滑轮拉升等实际问题，摒弃纯公式默写式考查，重点考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，完全贴合新课标中考的命题方向。 综合度逐级提升，绑定核心素养考查填空压轴题均为多模块综合命题，高频结合相似 + 反比例函数、相似 + 动态轨迹 + 最值、相似 + 规律探究、相似 + 二次函数最值，考查学生多步逻辑推理、几何直观建模、综合运算的能力，是中考几何模块区分尖子生与普通生的核心考点。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 筑牢核心知识根基，烂熟定理与公式体系这是本专题答题的核心前提，必须无死角掌握两大模块核心内容，做到 “随用随取、零差错”： 相似三角形核心内容：AA（两角对应相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例）三大判定定理；核心性质：对应角相等、对应边成比例，对应高 / 中线 / 角平分线之比 = 相似比，周长之比 = 相似比，面积之比 = 相似比的平方（高频易错考点）。 黄金分割核心内容：核心定义（点 C 把线段 AB 分成 AC＞BC，满足 = =黄金比=≈0.618）；双黄金分割点固定结论CD=(−2)AB；黄金三角形、黄金矩形的核心比例性质。 模型识别优先，固化标准化破题路径审题第一时间匹配对应模型，直接套用固定解题流程，大幅缩短填空题答题时间，确保快准稳： 相似三角形题：固定四步法，第一步找公共角 / 对顶角 / 平行线，锁定 AA 相似核心条件；第二步严格标注对应顶点，明确对应边；第三步根据对应边列出比例式；第四步代入已知量列方程求解。平行线必优先考虑 A 字型 / 8 字型相似，直角三角形斜边上的高直接套用母子型相似（射影定理）结论，动点固定角度题优先匹配一线三等角相似。 黄金分割题：固定三步法，第一步区分长线段与短线段，锁定 “长线段 / 全线段 = 黄金比” 的核心关系；第二步双分割点题直接套用CD=(−2)AB的固定结论，无需重复推导；第三步实际应用题先转化为线段比例模型，再代入黄金比计算。 分类讨论前置，杜绝多解漏写这是填空题得分的核心关键，只要出现以下三种情况，必须先分类、再计算：①题干仅说明 “两个三角形相似”，未用相似符号 “∽” 明确对应顶点；②无配图的几何题；③点在直线 / 射线上运动、不与端点重合的动点题。需分两种顶点对应情况，列出两组比例式分别求解，避免漏写多解，对应真题第 1、12、16 题。 方程思想为万能通法，通解所有计算类题型本专题 90% 的填空计算题，都可通过 “设未知数x，结合相似比例关系列方程求解”，无需复杂推理。无论是线段长度计算、函数表达式推导，还是最值求解，均以相似比例式为核心等量关系，列方程是二轮复习中全员必须掌握的通用解题方法，对应真题第 13、17、25 题。 （二）填空题专属速解答题技巧 结论秒用法：直接套用射影定理、双黄金分割点公式、相似面积比与相似比的换算结论，无需从头推导，压缩答题时间； 特殊值法：几何动点题取特殊位置（中点、端点）快速验证结果，无需完整推导； 规律题递推法：先计算前 3 组数据，锁定相似比、面积的递推规律（等比数列），直接套用通项公式，无需完整推导上千次变换，对应真题第 11、30 题； 多结论题排除法：先判断最易推导的结论，排除错误选项，缩小验证范围，提升正确率，对应真题第 26、28 题。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防相似三角形对应顶点错乱，比例式列反：这是本专题中考第一大失分陷阱。相似符号 “∽” 前后顶点严格对应，若题干未明确对应关系，必须分两种情况讨论；学生常出现对应边搞混、比例式列反的问题，导致结果完全错误。 严防相似三角形性质误用：高频坑①面积比与相似比的平方搞混，直接用相似比等于面积比，是填空题高频错误；②误用 “两边成比例且一边对角相等” 判定相似，忽略必须是 “夹角相等” 的核心前提；③平行线分线段成比例定理对应线段搞混，导致比例式错误。 严防黄金分割概念混淆：高频坑①长线段与短线段搞混，把靠近端点的短线段误当成黄金分割的长线段，误用短线段全线段黄金比；②黄金比记混；③双黄金分割点等量关系推导错误，漏算线段重叠部分，导致结果错误，对应真题第 3、5 题。 严防判定定理逻辑误用：直角三角形相似仅用一组锐角相等判定，忽略直角相等的前提，虽结果正确但逻辑错误，易在复杂多步推导题中出现逻辑断裂，导致结果错误。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防限定词漏看，答案不符合题干要求：高频坑①漏看 “线段 / 直线 / 射线”“不与端点重合”“劣弧 / 优弧” 等核心限定词，导致取值范围错误；②漏看单位；③题干求 “最小值 / 最大值”，学生算成相反值，导致结果完全错误，对应真题第 13、20 题。 严防无图题不分类讨论，漏写多解：填空题无图几何题 100% 设置多解陷阱，学生仅画一种符合直觉的图形，漏写第二个解，直接零分，是本专题第二大失分点，对应真题第 1、12、16 题。 严防实际场景模型转化错误：黄金分割、相似的实际应用题，学生常把实际场景转化为错误的数学模型，如舞台站位题把 “至少走的距离” 算成长线段，卡钳测量题把相似比搞反，导致结果错误，对应真题第 7、22 题。 （三）计算类避坑：杜绝中档题计算失分 严防二次根式、比例式计算错误：高频坑①黄金比的二次根式乘除、化简错误，符号、系数算错；②比例式交叉相乘时漏乘系数，导致方程解错；③勾股定理计算错误，直角三角形边长算错，导致相似比完全错误，后续计算全错。 严防特殊角三角函数值记混：30°、45°、60° 三角函数值记混，导致直角三角形边长计算错误，相似比偏差，结果全错。 （四）逻辑与轨迹类避坑：杜绝压轴题失分 严防动态题轨迹判断错误：动态几何最值题，核心是通过相似锁定定角，确定动点轨迹为圆弧，学生常找不到定角、无法判断轨迹，导致最值计算错误，对应真题第 20、24、27 题。 严防多步相似推导逻辑断裂：复杂综合题需要两次及以上相似推导，学生常跳过关键推导步骤，直接用未验证的比例式计算，导致结果错误；多结论判断题对单个结论推导不严谨，错一个就全题零分，对应真题第 21、26、28、29 题。 严防线段转化逻辑错误：阿氏圆最值、胡不归问题中，学生无法通过相似三角形转化带系数的线段，导致最小值无法求解，对应真题第 23 题。 核心总结 本课时是 2026 年中考数学二轮填空专题复习的核心保底 + 能力拔高双核心课时，既是中考填空必考的基础得分点，也是圆综合、几何压轴题的核心解题工具，直接决定学生几何模块的整体得分上限。 二轮复习的核心目标，是围绕 “基础题零失分、中档题稳拿分、压轴题能抢分” 的三层目标，实现三大教学落地：一是基础层，全员烂熟相似三角形三大判定定理、核心性质，黄金分割的定义与固定结论，彻底纠正对应顶点错乱、概念混淆的核心问题，确保基础填空题 100% 得分；二是进阶层，贯通相似五大核心模型，形成 “先审限定词→先分类讨论→匹配模型→列比例式→规范计算→验证结果” 的标准化解题流程，熟练运用方程思想攻克中档综合题，确保中档题正确率超 90%；三是拔高层，强化动态几何的轨迹判断能力，掌握相似 + 最值、相似 + 规律探究、相似 + 反比例函数的综合解题技巧，突破填空压轴题，实现分层提分。 同时，教学中需提前修正配套资料中的解析错误、错别字、公式笔误，围绕学生高频易错点（多解漏写、比例式列反、黄金分割概念混淆）开展错题复盘专项训练，让学生形成严谨的填空题解题习惯，最终通过本课时复习，筑牢几何综合题的相似核心基础，为后续压轴专题复习赋能。 四、真题练习 1.（25-26四川模拟）如图，在中，，，点为中点，点在上，当为 ______________或______________时，与以点、、为顶点的三角形相似． 【答案】 或 【解析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【解答】 解：当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上，或， 故答案为：或．  2.（25-26·福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【解答】 解：依题意，， ， 设直线的解析式为，代入， 解得： 设 解得：（舍去） 故答案为：．  3.（23-24·江苏中考）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为  ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】 解：点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点，， ， ， 支撑点，之间的距离为． 故答案为：． 4.（25-26·四川模拟）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点、、、为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在、、、任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为_____ _______． 【答案】 或 【解析】 本题主要考查了黄金分割点，矩形的性质等知识，设，，则，，由题意可知，根据黄金分割点的定义可得出，即可进一步求出，，然后根据矩形的面积求解即可． 【解答】 解：设，， 则， ， ，如图， 由题意可知，四边形和四边形都是矩形， ，， 点、点都是的黄金分割点， ， ， 同理， 故答案为∶ ． 5.（25-26·广东模拟）如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是_____4______． 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割，黄金分割点的比例为，由黄金分割点定义即可求解． 【解答】 解：点、都是线段的黄金分割点， 故答案为：． 6.（25-26·浙江模拟）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割的定义，二次根式的计算，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．将代入计算即可． 【解答】 解：，， ． 故答案为：． 7.（25-26·广西模拟）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在米舞台的左边端点处，那时要站在最佳位置处时至少要走___________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【解答】 解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 8.（25-26·云南模拟）如图所示，在中，，为边上的点，连接，添加一个条件__________（答案不唯一）____________，使．(只需写出一个) 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【解答】 解：，， 当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 9.（25-26·全国模拟）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是______（答案不唯一）________．（只填一个） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【解答】 解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 10.（24-25·陕西中考）如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为：_________或或________． 【答案】 或或 【解析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【解答】 解：， ，即， 当或或时，． 故答案为：或或 11.（24-25·山东中考）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为  ，点的坐标为 ． 【答案】 , 【解析】 利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题． 【解答】 解：由题意，，，，…， 的边长为， ， 与都在第四象限，坐标为． 故答案为：，． 12.（25-26·北京模拟）矩形中，，点在矩形的内部，点在边上，满足，若是等腰三角形，则的长为______或___________. 【答案】 或 【解析】 由，可得，继而可确定点在上，然后再根据是等腰三角形，分、两种情况进行讨论即可得. 【解答】 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 点在上， 如图，时，， ， ， ， ； 如图，当时，此时为中点， ， ， ， ； 综上，的长为或， 故答案为或3 13.（25-26·湖南模拟）如图，在 中， ， ，若是边上任意一点，且满足 ， 与边的交点为，则线段 的最小值是________. 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设，则， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即， ， ∴ ， 当 时，有最小值， 此时. 故答案为：. 14.（24-25·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点，且交线段于点，连接，．若，则的值为  8   ． 【答案】 【解析】 过点作垂直于于，由反比例函数值的几何意义以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以得到，，再由和是等底同高的，所以面积相等，最后用割补法列出方程，即可求解． 【解答】 解：过点作垂直于于，， ， ， 为中点， ， ， 、都在反比例函数图像上，且图像在第一象限 ， ， 为中点， 和是等底同高的， ， ， ， 解得：． ． 15.（24-25·江苏模拟）如图，在中，若，，，则的长为_______8_____ 【答案】 【解析】 根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【解答】 解：， ， 即 故答案是： 16.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为_____或_________． 【答案】 或 【解析】 由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【解答】 解：， 存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 此时． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 17.（24-25·江苏模拟）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ________；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ________． 【答案】 , 【解析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式． 【解答】 解：，， ， ， ，即， ， ； ， ，即， 整理得：， 设， ， ， ， ， ，即， 整理得：， ， ， ，即， 整理得：， 故答案为：；． 18.（24-25·江苏模拟）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点为中点，点为上的动点．当时，则 ___________ ． 【答案】 ． 【解析】 如图，连接．首先求出、的长，证明，可得，即求出． 【解答】 解：四边形是正方形， ，，， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， ， ， 点为中点， ， ， 即有． 故答案是：．  19.（24-25·山东模拟）如图所示，矩形中，，，是线段上一点（不与重合），是上一点，且，设，的面积为，则与之间的函数关系式为___________． 【答案】 ． 【解析】 根据勾股定理可得，因为，所以，过点作于点，可得到，然后根据相似三角形的性质得到，由此即可用表示，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系式． 【解答】 ，， ， ， ， ， 如图， 过点作于点， ， ， ， ， 而， ，不与重合，那么，可与点重合，那么 故答案为． 20.（24-25·湖南中考）如图，三角形中，，，，点从出发沿运动到点，作如图的，且，，点运动过程中，的最小值为 ___________． 【答案】 【解析】 过点作于点，连接，过点作于点，利用，得出，，，四点共圆，则点的运动轨迹是射线，再利用垂线段最短和三角形相似，求出的长度即可． 【解答】 解：如图，过点作于点，连接，过点作于点． ， ，，，四点共圆． ， 点的运动轨迹是射线， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，的值最小，最小值为． 21.（23-24·四川模拟）如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转．若的两边分别与函数、的图象交于、两点，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 如图，作辅助线；首先证明，得到，设点；则 进而得到，此为解决问题的关键性结论. 【解答】 如图，分别过点、作轴、轴； ， ， ， ， ， 设点 ；则 由可知为定值 设 故答案为： 22.（22-23·江苏中考）如图，用一个卡钳（，）测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于  18 ． 【答案】 【解析】 根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 【解答】 解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 23.（25-26·山东模拟）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【解答】 解：在上取点，使， 又，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即当在上时，取最小值，为 故答案为 24.（25-26·河南模拟）如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为_______________． 【答案】 【解析】 如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【解答】 解：如图，在菱形中，，对角线，连接交于． ，，，， 设运动时间为，则，， ，即， ， ， ， ， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ，，， ， 在上，且在弧上， 在此过程中，点的运动路径长为； 故答案为： 25.（25-26·广东模拟）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点，则线段长度的最大值为______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点与点重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【解答】 解：如图所示，过点作于， 在中，， ； 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 当有最小值时，有最大值， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值，即有最小值，此时点与点重合， 的最小值为， 的最小值为， 的最大值为， 故答案为：． 26.（23-24·河南中考）如图，正五边形的边长为，连接对角线、、，线段分别与和相交于点、，给出下列结论：①，②；③；④，其中正确的结论是______①②③_________（把你认为正确结论的序号都填上）． 【答案】 ①②③ 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：．，，，故①正确； ，，，，同理，．， ，； ；故②正确； ，，解得：；故③正确； 在正五边形中，，，，，故④错误； 故答案为①②③． 27.（25-26·安徽模拟）如图，正方形的边长为，点 、在边，上运动，且满足，连接，交于点，连接，则的最小值为 ______________ ；当取最小值时，的长为 _______________ 【答案】 ；； 【解析】 在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为． 【解答】 解：如图示： 在正方形中， 在和中， ， ， 即有： 点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧， 因此当、、在同一条直线上时，取最小值， , ， 的最小值为， , 设，则， ， 又，， , 即： 解之得：，（不合题意，舍去）， ， 故答案是：，． 28.（23-24·安徽中考）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是___①②③④________．（写出所有正确判断的序号）. 【答案】 ①②③④ 【解析】 由题意，逐一判定，①由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点在线段上（不与两端点重合），假设分别在、两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形的面积和的面积，即可得解； 【解答】 由折叠性质，得，， ， 故①结论正确； 假设与重合时，取得最小值，即为； 假设与重合时，取得最大值， ，， 点在线段上（不与两端点重合） 折痕的长度的取值范围为 故②结论正确； 四边形为正方形 令，则， ，（不符合题意，舍去） ，即为的中点 故③结论正确； ④， ， ， 折叠后重叠部分的面积为： 故④结论正确； 故答案为：①②③④. 29.（25-26·全国模拟）如图，在中， ，．将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结，使得面积为，连结，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】 先整理得，过点向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【解答】 解：射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结， 面积为， ， 过点向上作线段，使得， 即 ， 连接， ， ， ， ， ， ， 故点在以为直径的圆上， ， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 故答案为：． 30.（25-26·全国模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则_____________． 【答案】 【解析】 根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【解答】 解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 17.相似三角形及黄金分割   本课时是全国中考数学填空题固定必考核心考点，是二轮复习中 “低门槛、高性价比、易提分” 的保底专题，同时是圆综合、几何压轴题的核心解题工具，完全贴合新课标 “几何直观 + 逻辑推理 + 数学运算” 的核心素养考查要求，结合配套 30 道真题，。 一、题型特点 梯度分层精准适配二轮复习需求题目严格形成三级梯度，与二轮查漏补缺、分层提分的复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦相似三角形判定补充条件、黄金分割定义的直接应用，考点单一、逻辑简单，是全员必拿的保底分，对应真题第 3、6、8、9、10、15、22 题；②中档提分层，深度融合特殊三角形 / 四边形性质、勾股定理、平面直角坐标系、反比例函数，以网格、折叠、实际场景为命题载体，是二轮复习的核心突破重点，对应真题第 1、2、4、5、7、12、14、16、17、18、19 题；③压轴拉分层，绑定动态几何轨迹、线段最值、规律探究、多结论判断，是填空压轴题的高频题型，区分度极强，对应真题第 11、13、20、21、23-30 题。 模型化命题特征显著，可固化破题路径90% 的题目围绕中考固定几何模型命题，学生可通过模型识别实现 “见题识型、秒解破题”：相似三角形核心考查A 字型、8 字型、母子型（射影定理）三大基础模型，辅以一线三等角、手拉手相似进阶模型；黄金分割核心考查单黄金分割点、双黄金分割点、黄金矩形三大模型。其中，平行线必出 A 字型 / 8 字型相似、直角三角形斜边上的高必出母子型相似、双黄金分割点有固定线段等量关系，无需复杂推导，可直接套用结论解题。 填空题专属陷阱设计突出，聚焦细节考查针对填空题 “无过程分、一错全零” 的特点，命题高频设置专属陷阱：超 30% 的题目设置多解分类讨论陷阱（如顶点对应不明确的相似、无图几何题、动点在直线 / 射线上运动），是学生第一大失分点；同时强化细节考查，如相似比与面积比的换算、黄金比的符号与线段对应、单位换算、限定词漏看等，重点考查学生的严谨性。 实际应用导向明确，贴合新课标中考趋势超 25% 的题目结合生活实际场景命题，黄金分割结合乐器弦长、手机摄影构图、舞台站位、汉字书写等场景，相似三角形结合卡钳内孔测量、折叠餐桌、定滑轮拉升等实际问题，摒弃纯公式默写式考查，重点考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，完全贴合新课标中考的命题方向。 综合度逐级提升，绑定核心素养考查填空压轴题均为多模块综合命题，高频结合相似 + 反比例函数、相似 + 动态轨迹 + 最值、相似 + 规律探究、相似 + 二次函数最值，考查学生多步逻辑推理、几何直观建模、综合运算的能力，是中考几何模块区分尖子生与普通生的核心考点。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 筑牢核心知识根基，烂熟定理与公式体系这是本专题答题的核心前提，必须无死角掌握两大模块核心内容，做到 “随用随取、零差错”： 相似三角形核心内容：AA（两角对应相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例）三大判定定理；核心性质：对应角相等、对应边成比例，对应高 / 中线 / 角平分线之比 = 相似比，周长之比 = 相似比，面积之比 = 相似比的平方（高频易错考点）。 黄金分割核心内容：核心定义（点 C 把线段 AB 分成 AC＞BC，满足 = =黄金比=≈0.618）；双黄金分割点固定结论CD=(−2)AB；黄金三角形、黄金矩形的核心比例性质。 模型识别优先，固化标准化破题路径审题第一时间匹配对应模型，直接套用固定解题流程，大幅缩短填空题答题时间，确保快准稳： 相似三角形题：固定四步法，第一步找公共角 / 对顶角 / 平行线，锁定 AA 相似核心条件；第二步严格标注对应顶点，明确对应边；第三步根据对应边列出比例式；第四步代入已知量列方程求解。平行线必优先考虑 A 字型 / 8 字型相似，直角三角形斜边上的高直接套用母子型相似（射影定理）结论，动点固定角度题优先匹配一线三等角相似。 黄金分割题：固定三步法，第一步区分长线段与短线段，锁定 “长线段 / 全线段 = 黄金比” 的核心关系；第二步双分割点题直接套用CD=(−2)AB的固定结论，无需重复推导；第三步实际应用题先转化为线段比例模型，再代入黄金比计算。 分类讨论前置，杜绝多解漏写这是填空题得分的核心关键，只要出现以下三种情况，必须先分类、再计算：①题干仅说明 “两个三角形相似”，未用相似符号 “∽” 明确对应顶点；②无配图的几何题；③点在直线 / 射线上运动、不与端点重合的动点题。需分两种顶点对应情况，列出两组比例式分别求解，避免漏写多解，对应真题第 1、12、16 题。 方程思想为万能通法，通解所有计算类题型本专题 90% 的填空计算题，都可通过 “设未知数x，结合相似比例关系列方程求解”，无需复杂推理。无论是线段长度计算、函数表达式推导，还是最值求解，均以相似比例式为核心等量关系，列方程是二轮复习中全员必须掌握的通用解题方法，对应真题第 13、17、25 题。 （二）填空题专属速解答题技巧 结论秒用法：直接套用射影定理、双黄金分割点公式、相似面积比与相似比的换算结论，无需从头推导，压缩答题时间； 特殊值法：几何动点题取特殊位置（中点、端点）快速验证结果，无需完整推导； 规律题递推法：先计算前 3 组数据，锁定相似比、面积的递推规律（等比数列），直接套用通项公式，无需完整推导上千次变换，对应真题第 11、30 题； 多结论题排除法：先判断最易推导的结论，排除错误选项，缩小验证范围，提升正确率，对应真题第 26、28 题。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防相似三角形对应顶点错乱，比例式列反：这是本专题中考第一大失分陷阱。相似符号 “∽” 前后顶点严格对应，若题干未明确对应关系，必须分两种情况讨论；学生常出现对应边搞混、比例式列反的问题，导致结果完全错误。 严防相似三角形性质误用：高频坑①面积比与相似比的平方搞混，直接用相似比等于面积比，是填空题高频错误；②误用 “两边成比例且一边对角相等” 判定相似，忽略必须是 “夹角相等” 的核心前提；③平行线分线段成比例定理对应线段搞混，导致比例式错误。 严防黄金分割概念混淆：高频坑①长线段与短线段搞混，把靠近端点的短线段误当成黄金分割的长线段，误用短线段全线段黄金比；②黄金比记混；③双黄金分割点等量关系推导错误，漏算线段重叠部分，导致结果错误，对应真题第 3、5 题。 严防判定定理逻辑误用：直角三角形相似仅用一组锐角相等判定，忽略直角相等的前提，虽结果正确但逻辑错误，易在复杂多步推导题中出现逻辑断裂，导致结果错误。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防限定词漏看，答案不符合题干要求：高频坑①漏看 “线段 / 直线 / 射线”“不与端点重合”“劣弧 / 优弧” 等核心限定词，导致取值范围错误；②漏看单位；③题干求 “最小值 / 最大值”，学生算成相反值，导致结果完全错误，对应真题第 13、20 题。 严防无图题不分类讨论，漏写多解：填空题无图几何题 100% 设置多解陷阱，学生仅画一种符合直觉的图形，漏写第二个解，直接零分，是本专题第二大失分点，对应真题第 1、12、16 题。 严防实际场景模型转化错误：黄金分割、相似的实际应用题，学生常把实际场景转化为错误的数学模型，如舞台站位题把 “至少走的距离” 算成长线段，卡钳测量题把相似比搞反，导致结果错误，对应真题第 7、22 题。 （三）计算类避坑：杜绝中档题计算失分 严防二次根式、比例式计算错误：高频坑①黄金比的二次根式乘除、化简错误，符号、系数算错；②比例式交叉相乘时漏乘系数，导致方程解错；③勾股定理计算错误，直角三角形边长算错，导致相似比完全错误，后续计算全错。 严防特殊角三角函数值记混：30°、45°、60° 三角函数值记混，导致直角三角形边长计算错误，相似比偏差，结果全错。 （四）逻辑与轨迹类避坑：杜绝压轴题失分 严防动态题轨迹判断错误：动态几何最值题，核心是通过相似锁定定角，确定动点轨迹为圆弧，学生常找不到定角、无法判断轨迹，导致最值计算错误，对应真题第 20、24、27 题。 严防多步相似推导逻辑断裂：复杂综合题需要两次及以上相似推导，学生常跳过关键推导步骤，直接用未验证的比例式计算，导致结果错误；多结论判断题对单个结论推导不严谨，错一个就全题零分，对应真题第 21、26、28、29 题。 严防线段转化逻辑错误：阿氏圆最值、胡不归问题中，学生无法通过相似三角形转化带系数的线段，导致最小值无法求解，对应真题第 23 题。 核心总结 本课时是 2026 年中考数学二轮填空专题复习的核心保底 + 能力拔高双核心课时，既是中考填空必考的基础得分点，也是圆综合、几何压轴题的核心解题工具，直接决定学生几何模块的整体得分上限。 二轮复习的核心目标，是围绕 “基础题零失分、中档题稳拿分、压轴题能抢分” 的三层目标，实现三大教学落地：一是基础层，全员烂熟相似三角形三大判定定理、核心性质，黄金分割的定义与固定结论，彻底纠正对应顶点错乱、概念混淆的核心问题，确保基础填空题 100% 得分；二是进阶层，贯通相似五大核心模型，形成 “先审限定词→先分类讨论→匹配模型→列比例式→规范计算→验证结果” 的标准化解题流程，熟练运用方程思想攻克中档综合题，确保中档题正确率超 90%；三是拔高层，强化动态几何的轨迹判断能力，掌握相似 + 最值、相似 + 规律探究、相似 + 反比例函数的综合解题技巧，突破填空压轴题，实现分层提分。 同时，教学中需提前修正配套资料中的解析错误、错别字、公式笔误，围绕学生高频易错点（多解漏写、比例式列反、黄金分割概念混淆）开展错题复盘专项训练，让学生形成严谨的填空题解题习惯，最终通过本课时复习，筑牢几何综合题的相似核心基础，为后续压轴专题复习赋能。 四、真题练习 1.（25-26四川模拟）如图，在中，，，点为中点，点在上，当为 ______________或______________时，与以点、、为顶点的三角形相似． 【答案】 或 【解析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【解答】 解：当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上，或， 故答案为：或．  2.（25-26·福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【解答】 解：依题意，， ， 设直线的解析式为，代入， 解得： 设 解得：（舍去） 故答案为：．  3.（23-24·江苏中考）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为  ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】 解：点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点，， ， ， 支撑点，之间的距离为． 故答案为：． 4.（25-26·四川模拟）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点、、、为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在、、、任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为_____ _______． 【答案】 或 【解析】 本题主要考查了黄金分割点，矩形的性质等知识，设，，则，，由题意可知，根据黄金分割点的定义可得出，即可进一步求出，，然后根据矩形的面积求解即可． 【解答】 解：设，， 则， ， ，如图， 由题意可知，四边形和四边形都是矩形， ，， 点、点都是的黄金分割点， ， ， 同理， 故答案为∶ ． 5.（25-26·广东模拟）如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是_____4______． 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割，黄金分割点的比例为，由黄金分割点定义即可求解． 【解答】 解：点、都是线段的黄金分割点， 故答案为：． 6.（25-26·浙江模拟）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割的定义，二次根式的计算，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．将代入计算即可． 【解答】 解：，， ． 故答案为：． 7.（25-26·广西模拟）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在米舞台的左边端点处，那时要站在最佳位置处时至少要走___________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【解答】 解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 8.（25-26·云南模拟）如图所示，在中，，为边上的点，连接，添加一个条件__________（答案不唯一）____________，使．(只需写出一个) 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【解答】 解：，， 当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 9.（25-26·全国模拟）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是______（答案不唯一）________．（只填一个） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【解答】 解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 10.（24-25·陕西中考）如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为：_________或或________． 【答案】 或或 【解析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【解答】 解：， ，即， 当或或时，． 故答案为：或或 11.（24-25·山东中考）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为  ，点的坐标为 ． 【答案】 , 【解析】 利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题． 【解答】 解：由题意，，，，…， 的边长为， ， 与都在第四象限，坐标为． 故答案为：，． 12.（25-26·北京模拟）矩形中，，点在矩形的内部，点在边上，满足，若是等腰三角形，则的长为______或___________. 【答案】 或 【解析】 由，可得，继而可确定点在上，然后再根据是等腰三角形，分、两种情况进行讨论即可得. 【解答】 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 点在上， 如图，时，， ， ， ， ； 如图，当时，此时为中点， ， ， ， ； 综上，的长为或， 故答案为或3 13.（25-26·湖南模拟）如图，在 中， ， ，若是边上任意一点，且满足 ， 与边的交点为，则线段 的最小值是________. 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设，则， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即， ， ∴ ， 当 时，有最小值， 此时. 故答案为：. 14.（24-25·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点，且交线段于点，连接，．若，则的值为  8   ． 【答案】 【解析】 过点作垂直于于，由反比例函数值的几何意义以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以得到，，再由和是等底同高的，所以面积相等，最后用割补法列出方程，即可求解． 【解答】 解：过点作垂直于于，， ， ， 为中点， ， ， 、都在反比例函数图像上，且图像在第一象限 ， ， 为中点， 和是等底同高的， ， ， ， 解得：． ． 15.（24-25·江苏模拟）如图，在中，若，，，则的长为_______8_____ 【答案】 【解析】 根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【解答】 解：， ， 即 故答案是： 16.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则的长为_____或_________． 【答案】 或 【解析】 由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【解答】 解：， 存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 此时． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 17.（24-25·江苏模拟）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ________；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ________． 【答案】 , 【解析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式． 【解答】 解：，， ， ， ，即， ， ； ， ，即， 整理得：， 设， ， ， ， ， ，即， 整理得：， ， ， ，即， 整理得：， 故答案为：；． 18.（24-25·江苏模拟）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点为中点，点为上的动点．当时，则 ___________ ． 【答案】 ． 【解析】 如图，连接．首先求出、的长，证明，可得，即求出． 【解答】 解：四边形是正方形， ，，， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， ， ， 点为中点， ， ， 即有． 故答案是：．  19.（24-25·山东模拟）如图所示，矩形中，，，是线段上一点（不与重合），是上一点，且，设，的面积为，则与之间的函数关系式为___________． 【答案】 ． 【解析】 根据勾股定理可得，因为，所以，过点作于点，可得到，然后根据相似三角形的性质得到，由此即可用表示，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系式． 【解答】 ，， ， ， ， ， 如图， 过点作于点， ， ， ， ， 而， ，不与重合，那么，可与点重合，那么 故答案为． 20.（24-25·湖南中考）如图，三角形中，，，，点从出发沿运动到点，作如图的，且，，点运动过程中，的最小值为 ___________． 【答案】 【解析】 过点作于点，连接，过点作于点，利用，得出，，，四点共圆，则点的运动轨迹是射线，再利用垂线段最短和三角形相似，求出的长度即可． 【解答】 解：如图，过点作于点，连接，过点作于点． ， ，，，四点共圆． ， 点的运动轨迹是射线， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，的值最小，最小值为． 21.（23-24·四川模拟）如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转．若的两边分别与函数、的图象交于、两点，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 如图，作辅助线；首先证明，得到，设点；则 进而得到，此为解决问题的关键性结论. 【解答】 如图，分别过点、作轴、轴； ， ， ， ， ， 设点 ；则 由可知为定值 设 故答案为： 22.（22-23·江苏中考）如图，用一个卡钳（，）测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于  18 ． 【答案】 【解析】 根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 【解答】 解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 23.（25-26·山东模拟）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【解答】 解：在上取点，使， 又，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即当在上时，取最小值，为 故答案为 24.（25-26·河南模拟）如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为_______________． 【答案】 【解析】 如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【解答】 解：如图，在菱形中，，对角线，连接交于． ，，，， 设运动时间为，则，， ，即， ， ， ， ， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ，，， ， 在上，且在弧上， 在此过程中，点的运动路径长为； 故答案为： 25.（25-26·广东模拟）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点，则线段长度的最大值为______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点与点重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【解答】 解：如图所示，过点作于， 在中，， ； 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 当有最小值时，有最大值， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值，即有最小值，此时点与点重合， 的最小值为， 的最小值为， 的最大值为， 故答案为：． 26.（23-24·河南中考）如图，正五边形的边长为，连接对角线、、，线段分别与和相交于点、，给出下列结论：①，②；③；④，其中正确的结论是______①②③_________（把你认为正确结论的序号都填上）． 【答案】 ①②③ 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：．，，，故①正确； ，，，，同理，．， ，； ；故②正确； ，，解得：；故③正确； 在正五边形中，，，，，故④错误； 故答案为①②③． 27.（25-26·安徽模拟）如图，正方形的边长为，点 、在边，上运动，且满足，连接，交于点，连接，则的最小值为 ______________ ；当取最小值时，的长为 _______________ 【答案】 ；； 【解析】 在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为． 【解答】 解：如图示： 在正方形中， 在和中， ， ， 即有： 点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧， 因此当、、在同一条直线上时，取最小值， , ， 的最小值为， , 设，则， ， 又，， , 即： 解之得：，（不合题意，舍去）， ， 故答案是：，． 28.（23-24·安徽中考）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是___①②③④________．（写出所有正确判断的序号）. 【答案】 ①②③④ 【解析】 由题意，逐一判定，①由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点在线段上（不与两端点重合），假设分别在、两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形的面积和的面积，即可得解； 【解答】 由折叠性质，得，， ， 故①结论正确； 假设与重合时，取得最小值，即为； 假设与重合时，取得最大值， ，， 点在线段上（不与两端点重合） 折痕的长度的取值范围为 故②结论正确； 四边形为正方形 令，则， ，（不符合题意，舍去） ，即为的中点 故③结论正确； ④， ， ， 折叠后重叠部分的面积为： 故④结论正确； 故答案为：①②③④. 29.（25-26·全国模拟）如图，在中， ，．将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结，使得面积为，连结，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】 先整理得，过点向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【解答】 解：射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结， 面积为， ， 过点向上作线段，使得， 即 ， 连接， ， ， ， ， ， ， 故点在以为直径的圆上， ， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 故答案为：． 30.（25-26·全国模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则_____________． 【答案】 【解析】 根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【解答】 解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $