专题 10.2 二元一次方程组的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 10.2 二元一次方程组的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二元一次方程组 1 【知识点二】二元一次方程组的解 1 【题型 1】二元一次方程组的定义 1 【题型 2】二元一次方程组的解 2 【题型 3】二元一次方程组的解求值 3 【题型 4】列二元一次方程组 3 二.综合培优题型精析 4 【题型 5】二元一次方程组的参数与整数解 4 【题型 6】二元一次方程（组）解的应用 5 三.同步检测 5 （一）选择题（6题） 5 （二） 填空题（6题） 6 （三） 解答题（4题） 7 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二元一次方程组 只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 【要点提示】构成二次一次方程组的基本条件：（1）含有两个未知数；（2）构造方程组的每个整式方程；（3）未知数项的次数都是1。尤其注意的是构成方程组的每个方程不一定都是二元一次方程，只要方程组中含有两个未知数即可。 【知识点二】二元一次方程组的解 我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解. 【要点提示】（1）二元一次方程组的解用形式表示；（2）其解为每个方程的解，利用方程组的解的条件，可求出参数值。 【题型 1】二元一次方程组的定义 【例题1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【题型 2】二元一次方程组的解 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ （1）哪几对是方程的解？ （2）哪几对是方程的解？ （3）哪几对是方程组的解？ 【题型 3】二元一次方程组的解求值 【例题3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知是二元一次方程组的解，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【变式3】（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【题型 4】列二元一次方程组 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）某酒厂有大、小两种存酒的木桶．已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升．如果设1个大桶和1个小桶分别可以盛酒x升、y升，请列出二元一次方程组． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·一模）在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·河北·专题练习）甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意列方程组得________． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ （1）这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? （2）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由此你能得到怎么样的方程？ 二.综合培优题型精析 【题型 5】二元一次方程组的参数与整数解 【例题5】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于、的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． （3）当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【变式1】（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 【变式3】（24-25七年级下·吉林白城·月考）解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 【题型 6】二元一次方程（组）解的应用 【例题6】（24-25七年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【变式1】（25-26九年级下·福建泉州·期中）二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）： 九百九十九文钱  甜果苦果买一千  甜果九个十一文 苦果七个四文钱  试问甜苦果几个  又问各该几个钱 若设买甜果x个，苦果y个，则下列关于x、y的方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】  （25-26八年级上·陕西西安·期末）某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为米，小悦的飞机飞行的距离为米，则可列方程组___________． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）课堂上，老师布置了一项作业：把方程组赋予实际情境．以下是两位同学完成的作业． 小明：把一些书分给几个同学，若每人分4本，则余6本；若每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数． 小华：小王去买练习本，随身带的钱若买4本练习本，还余6元；若买6本练习本，则差4元，求每本练习本的价格和小王随身带的钱数． 根据两人所说的情境是否能得到上述方程组？请判断，并说明理由． 三.同步检测 （一）选择题（6题） 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知和都是关于x，y的二元一次方程的解，则a、b的值分别是（    ） A．—5、2 B．5、—2 C．5、2 D．以上都不对 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为（　　） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）请写出一个你所喜欢的二元一次方程组__． 8．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组______． 9．（24-25七年级·全国·假期作业）若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是________． 10．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为______． （3） 解答题（4题） 13．（2025七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·月考）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 15．（17-18七年级下·四川内江·期中）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 16．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.2 二元一次方程组的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二元一次方程组 1 【知识点二】二元一次方程组的解 1 【题型 1】二元一次方程组的定义 2 【题型 2】二元一次方程组的解 4 【题型 3】二元一次方程组的解求值 7 【题型 4】列二元一次方程组 9 二.综合培优题型精析 11 【题型 5】二元一次方程组的参数与整数解 11 【题型 6】二元一次方程（组）解的应用 14 三.同步检测 16 （一）选择题（6题） 16 （二） 填空题（6题） 20 （三） 解答题（4题） 22 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二元一次方程组 只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 【要点提示】构成二次一次方程组的基本条件：（1）含有两个未知数；（2）构造方程组的每个整式方程；（3）未知数项的次数都是1。尤其注意的是构成方程组的每个方程不一定都是二元一次方程，只要方程组中含有两个未知数即可。 【知识点二】二元一次方程组的解 我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解. 【要点提示】（1）二元一次方程组的解用形式表示；（2）其解为每个方程的解，利用方程组的解的条件，可求出参数值。 【题型 1】二元一次方程组的定义 【例题1】（24-25七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1） （2） 【答案】（1）是，理由见分析；（2）是，理由见分析 【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答． 解：（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山西临汾·月考）若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 【题型 2】二元一次方程组的解 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：判断是不是二元一次方程组的解．小恒的解答过程：将代入方程中，等式成立，所以是该方程组的解．小恒的解答过程是否正确？若不正确，请说明理由． 【答案】小恒的解答过程是错误的，见分析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先明确二元一次方程组解的定义，在指出小恒的错误，最后将给定的解带入方程组的两个方程进行检验. 解：小恒的解答过程是错误的． 理由如下： 将代入方程中， 左边=，右边， 左边=右边； 将代入方程中， 左边=，右边=5. 左边≠右边； 不是方程组的解． 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期中）写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ （1）哪几对是方程的解？ （2）哪几对是方程的解？ （3）哪几对是方程组的解？ 【答案】（1）②④是方程的解；（2）③④是方程的解；（3）④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 解：（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 【题型 3】二元一次方程组的解求值 【例题3】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 【题型 4】列二元一次方程组 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）某酒厂有大、小两种存酒的木桶．已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升．如果设1个大桶和1个小桶分别可以盛酒x升、y升，请列出二元一次方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是理解题意；由“5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升，1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升”可直接列出方程组即可． 解：由“5个大桶加上1个小桶可以盛酒1005升”可得方程为； 由“1个大桶加上5个小桶可以盛酒225升”可得方程为； 综上可得二元一次方程组为． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·一模）在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲持钱数为，乙持钱数为，根据题意找出两个等量关系，即可列出正确方程组． 解：设甲持钱数为，乙持钱数为， ∵乙把自己一半的钱给甲后，甲的钱数为， ∴， ∵甲把自己的钱给乙后，乙的钱数为， ∴， ∴可得方程组：． 【变式2】（2026七年级下·河北·专题练习）甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意列方程组得________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组，第一个等量关系为甲得到乙10钱后，甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，即甲的钱数是乙剩余钱数的6倍，第二个等量关系为乙得到甲10钱后，两人钱数相等． 解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 甲得到乙的钱后，甲的钱数为，乙剩余的钱数为， 由甲的钱数比乙剩余的钱数多倍，可得， 乙得到甲的钱后，乙的钱数为，甲剩余的钱数为， 由此时两人钱数相等，可得， 因此可得方程组． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）根据题意列方程组：某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ （1）这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? （2）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由此你能得到怎么样的方程？ 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据题意解答问题即可； （2）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意列出方程组即可． 解：（1）解：这个情境涉及的量有：篮球的数量、足球的数量、篮球的单价、足球的单价、购买篮球的总费用、购买足球的总费用、购买两种球的总花费． 等量关系： 篮球单价足球单价元 购买篮球的总费用购买足球的总费用总花费； （2）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意， 得方程组为． 二.综合培优题型精析 【题型 5】二元一次方程组的参数与整数解 【例题5】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于、的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． （3）当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】（1），；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 解：（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 【变式1】（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案． 解：把新方程组变形为：， 关于x，y的方程组的解是， ， 解得： 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·吉林白城·月考）解方程组时，小红同学把看错了，得到的错误解是，而正确的解是；求、的值． 【答案】， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把小红的解代入第一个方程，计算即可． 解：把和代入， 得：， 解得：， ，． 【题型 6】二元一次方程（组）解的应用 【例题6】（24-25七年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 【变式1】（25-26九年级下·福建泉州·期中）二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）： 九百九十九文钱  甜果苦果买一千  甜果九个十一文 苦果七个四文钱  试问甜苦果几个  又问各该几个钱 若设买甜果x个，苦果y个，则下列关于x、y的方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找准两个等量关系即可正确列出方程组． 解：∵甜果苦果一共买一千个，设甜果个，苦果个， ∴； ∵甜果九个共十一文，因此单个甜果的价格为文，苦果七个共四文钱，因此单个苦果的价格为文， 又∵购买两种果实总共花费九百九十九文钱， ∴ ； 联立得到方程组，因此符合题意的是选项C． 【变式2】  （25-26八年级上·陕西西安·期末）某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为米，小悦的飞机飞行的距离为米，则可列方程组___________． 【答案】 【分析】根据题意，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米，由此列出二元一次方程组． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，找出等量关系是解题的关键． 解：设小康的飞机飞行距离为 米，小悦的飞机飞行距离为 米．根据题意，得 ． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）课堂上，老师布置了一项作业：把方程组赋予实际情境．以下是两位同学完成的作业． 小明：把一些书分给几个同学，若每人分4本，则余6本；若每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数． 小华：小王去买练习本，随身带的钱若买4本练习本，还余6元；若买6本练习本，则差4元，求每本练习本的价格和小王随身带的钱数． 根据两人所说的情境是否能得到上述方程组？请判断，并说明理由． 【答案】能得到，理由见分析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是把数学问题与实际生活结合起来．根据两人所说情境，设未知数，列出方程组即可判断． 解：根据两人所说的情境能得到上述方程组．理由如下： 小明：设学生的人数为人，书的总本数为本，则， 所以根据小明所说的情境能得到上述方程组． 小华：设每本练习本的价格为元，小王随身带的钱数为元， 则， 所以根据小华所说的情境能得到上述方程组， 所以根据两人所说的情境能得到上述方程组． 三.同步检测 （一）选择题（6题） 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知和都是关于x，y的二元一次方程的解，则a、b的值分别是（    ） A．—5、2 B．5、—2 C．5、2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】要求a、b的值，要先求出a和b的值．根据题意得到关于a和b的二元一次方程组，再求出a和b的值． 解：∵和都是关于x，y的二元一次方程的解 ∴和满足关于x，y的二元一次方程 ∴，解得 故选C． 【点拨】本题考查了二元一次方程的解法，解答此题时运用代入法，求得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解是解决此类问题的关键． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 解：方程组的解为， 故中， 解得． 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出两个方程组的解是解题的关键．设方程组①的解为，则方程组②的解为，得到关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而得到题中两个方程组的解，最后得到关于，的二元一次方程组，并解方程组即可求解． 解：设方程组①的解为，则方程组②的解为， ， 解得：， 是关于，的方程组①的解，是关于，的方程组的解， ， 解得：， 故选：C． 5．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．99 【答案】A 【分析】根据两个方程组的解相同，所以先求出只含、的方程组的解，再将解代入含、的方程，求出、，最后计算即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解法及同解问题，熟练掌握解方程组的步骤和利用同解求参数是解题的关键． 解：， 得： ， 把代入①得： ， 把代入中得， 得： ， 把代入③得： ， 则，所以； 故选：A ． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∵对于任意实数都成立， ∴， ∴为． 故选：B． （2） 填空题（6题） 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）请写出一个你所喜欢的二元一次方程组__． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组可得答案． 解：根据二元一次方程组的定义可得， 答案：． 【点拨】本题考查二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键． 8．（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可． 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） 9．（24-25七年级·全国·假期作业）若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是________． 【答案】-2或-3 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 解：根据是关于，的二元一次方程组， 则，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 或，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 故填：-2或-3 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 10．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数． 解：设第二个方程右边的数和解中的值均为， ∵方程组的解为， ∴将，代入第二个方程， 得，解得； 将，代入第一个方程， 得； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．把代入不含参数的方程求出的值，再将和的值代入含有参数的方程求解即可． 解：将代入，得 ， 解得， 将，代入， 得到， 解得， 故答案为：． （3） 解答题（4题） 13．（2025七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 14．（24-25七年级下·黑龙江绥化·月考）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 【答案】满足，不一定 【分析】根据“方程组”的解的定义，可知方程组的解是方程组中每个方程的解，而二元一次方程有无数个解，并不都是方程组的解． 解：满足，不一定． ∵的解既是方程的解，也满足， ∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程的解有无数组， 如，，不满足方程组． 因此满足的一对的值不一定是方程组的解． 【点拨】此题考查二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义的区别：二元一次方程组的解一定是每个二元一次方程的解，其中一个二元一次方程的解不一定是方程组的解． 15．（17-18七年级下·四川内江·期中）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入求出，再将将代入，得，联立得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：将代入，得：， 解得：， 将代入，得：， 联立得：， 解得：， ∴． 16．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $