专题 10.1 二元一次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 10.1 二元一次方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二元一次方程 1 【知识点一】二元一次方程的解 1 【题型 1】二元一次方程的定义 1 【题型 2】利用二元一次方程的定义求参数 2 【题型 3】二元一次方程的解 2 【题型 4】二元一次方程中“用含的代数式表示”形式 3 【题型 5】列二元一次方程 3 二.综合培优题型精析 4 【题型 6】二元一次方程的整数解 4 三.同步检测 5 （一）选择题（6题） 5 （二） 填空题（6题） 6 （三） 解答题（4题） 6 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 【要点提示】构成二次一次方程的基本条件：（1）两个未知数；（2）方程中式子都是整式；（3）未知数项的次数都是1.三个条件缺一不可。 【知识点一】二元一次方程的解 一般地，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 【要点提示】（1）二元一次方程的解用形式表示；（2）二元一次方程的解一般来说有无数组解；（3）对于二元一次方程附加特定条件，其解的个数就不一定是无数组解了，比如求一个二元一次方程的整数解。 【题型 1】二元一次方程的定义 【例题1】（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程中，哪些是二元一次方程？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于二元一次方程的是_______（填序号）． ①；②；③；④． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程中哪些是二元一次方程？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【题型 2】利用二元一次方程的定义求参数 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程是关于的二元一次方程，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）若方程是二元一次方程，则m，n的值分别为（   ） A．2， B．，0 C．3，0 D．，0 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的方程是二元一次方程． （1）求的值； （2）若，求的值． 【题型 3】二元一次方程的解 【例题3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）当时，求y的值． 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·月考）已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解） 【题型 4】二元一次方程中“用含的代数式表示”形式 【例题4】（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知是二元一次方程的一个解． （1）求a的值； （2）请用含有x的代数式表示y． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知是二元一次方程的一个解． （1）求k的值； （2）用含y的代数式表示x； （3）检验是不是这个方程的解． 【题型 5】列二元一次方程 【例题5】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． （1）列出关于、的二元一次方程． （2）若，则的值是多少？ （3）若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形．若小长方形的面积为S，长为x，宽为y，当时， ________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据题意分别设合适的未知数，列出二元一次方程： （1）甲数的2倍比乙数的多2； （2）将一摞笔记本分给若干个同学，若每个同学分8本，则差1本． 二.综合培优题型精析 【题型 6】二元一次方程的整数解 【例题6】（24-25七年级下·吉林长春·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高______，放入一个大球水面升高______． （2）如果同时放入大小两种球，使水面上升到，列出放入大球、小球个数的关系式，并写出所有可能情况． 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有_____________组． 【变式3】（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）某校有378人去春游，如乘坐大客车，每辆可坐54人，每辆车的租金1000元：如乘坐中巴车，每辆车可坐36人，每辆车的租金650元．为了能使每个人都能上车且各车正好坐满，则需要大客、中巴各几辆请写出所有可能的租车方案，并找出租金最少的一种． （用简要文字说明，写出主要计，算过程） 三.同步检测 （一）选择题（6题） 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C．3 D． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 4．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江·一模）为弘扬法治精神，提升中学生法律素养。某中学在“宪法宣传周”期间举办了全校性的普法知识竞赛．学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的《中华人民共和国宪法》精装读本与法治书签套装，二等奖奖品为单价10元的法治主题笔记本与钢笔套装．专项资金恰好用完，若两种奖品都必须购买，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）在学习课本“问题解决策略——逐步确定”时，我们曾用该策略解决过“一个数三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，这个数最小是多少”的问题，最终得出答案为23．现在请你解决以下问题：已知一个正整数满足以下条件：除以3余2，除以5余4，除以7余3，满足条件的最小正整数是（    ）． A．23 B．38 C．59 D．86 （2） 填空题（6题） 7．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）二元一次方程的标准形式为_________________． 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）若关于的二元一次方程的一组解为，则___________． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）把二元一次方程化为的形式，则__． 10．（25-26八年级上·广东河源·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是______． （3） 解答题（4题） 13．（24-25七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值： （2）求时，y的值． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）一个三角形的边长和周长如图所示． （1）请列出关于未知数的方程； （2）若，求的值． 15．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知二元一次方程． 0 1 2 3 4 6 （1）填表，使每对、的值都是方程的解； （2）根据表格，请直接写出方程的非负整数解． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）解答下列问题： （1）二元一次方程的解有多少组？请写出五组． （2）二元一次方程的解有多少组？请写出五组． （3）找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． （4）根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.1 二元一次方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二元一次方程 1 【知识点一】二元一次方程的解 1 【题型 1】二元一次方程的定义 2 【题型 2】利用二元一次方程的定义求参数 3 【题型 3】二元一次方程的解 5 【题型 4】二元一次方程中“用含的代数式表示”形式 7 【题型 5】列二元一次方程 9 二.综合培优题型精析 11 【题型 6】二元一次方程的整数解 11 三.同步检测 15 （一）选择题（6题） 15 （二） 填空题（6题） 18 （三） 解答题（4题） 21 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 【要点提示】构成二次一次方程的基本条件：（1）两个未知数；（2）方程中式子都是整式；（3）未知数项的次数都是1.三个条件缺一不可。 【知识点一】二元一次方程的解 一般地，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 【要点提示】（1）二元一次方程的解用形式表示；（2）二元一次方程的解一般来说有无数组解；（3）对于二元一次方程附加特定条件，其解的个数就不一定是无数组解了，比如求一个二元一次方程的整数解。 【题型 1】二元一次方程的定义 【例题1】（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程中，哪些是二元一次方程？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）（3）（6）是二元一次方程． 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，逐一进行判断即可得到答案 解：（1），是二元一次方程，符合题意； （2），是二元二次方程，不符合题意； （3），是二元一次方程，符合题意； （4），是一元二次方程，不符合题意； （5），是三元一次方程，不符合题意； （6），是二元一次方程，符合题意， 所以，（1）（3）（6）是二元一次方程． 【点拨】本题考查了二元一次方程，解题关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，逐项分析即可得出结果，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键 解：A、中，在分母，不是整式，故不是二元一次方程，不符合题意； B、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； C、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； D、，和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于二元一次方程的是_______（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．解题的关键是正确理解二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义即可求出答案． 解：①符合二元一次方程的定义； ②最高次项的次数是2，故不符合二元一次方程的定义； ③还有3个未知数，故不符合二元一次方程的定义； ④符合二元一次方程的定义； 故属于二元一次方程的是①④． 故答案为：①④． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程中哪些是二元一次方程？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】（1）（5） 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，逐个判断即可． 解：（1）方程是二元一次方程； （2）方程中的项的次数为2，所以该方程不是二元一次方程； （3）方程中的项的次数为2，所以该方程不是二元一次方程； （4）方程不是整式方程，所以该方程不是二元一次方程； （5）方程是二元一次方程． 综上所述，（1）；（5）是二元一次方程． 【题型 2】利用二元一次方程的定义求参数 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程是关于的二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得且，且，再进一步即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 解：由题意可得：且，且， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）若方程是二元一次方程，则m，n的值分别为（   ） A．2， B．，0 C．3，0 D．，0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的概念，二元一次方程需满足：含有2个未知数，未知数的项的次数为1，且含未知数的系数不为0，据此列条件求解即可． 解：由于方程是二元一次方程， 则， 解得， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数，根据二元一次方程的定义，方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，同时y的系数不能为零，由此可解． 解：是关于x，y的二元一次方程， ，且， ，且， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的方程是二元一次方程． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程，准确理解概念得出所需的方程和不等式是求解的关键． （1）根据题意得到，，，，进而求解即可； （2）首先原方程可化为，然后将代入求解即可． 解：（1）由题意，得，，， ，． （2）由（1）知，，则原方程可化为． 当时，， 解得． 【题型 3】二元一次方程的解 【例题3】（2024八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）当时，求y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 解：（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将方程的解代入原方程得到的值，再对所求代数式变形，整体代入计算即可． 解：∵是方程的解， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·月考）已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解） 【答案】共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根 【分析】先设截得的钢管有根，截得的钢管有根，根据总长度列出二元一次方程，结合、均为正整数且两种规格都要有，找出所有满足方程的正整数解，即可得到截法数量和每种截法的具体情况． 解：设截得的钢管有根，截得的钢管有根， 根据题意，得， 整理得， 为正整数， 为正偶数，即，解得， 为正整数， 的取值为，，，， 当时，，符合条件， 当时，，不是正整数，舍去， 当时，，符合条件， 当时，，不是正整数，舍去， 方程的正整数解为，． 答：共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根． 【题型 4】二元一次方程中“用含的代数式表示”形式 【例题4】（24-25七年级下·河北邢台·月考）已知是二元一次方程的一个解． （1）求a的值； （2）请用含有x的代数式表示y． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的性质，用一个未知数的代数式表示另一个嫠数，作等式变形． （1）将二元一次方程的解代入得到关于a的方程，解关于a的方程即可； （2）将代入得到，将x看作已知数，y看作未知数，解关于y的方程即可． 解：（1）把代入二元一次方程， 得， ∴； （2）∵， ∴二元一次方程为，， 则 ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ____________． 【答案】 【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数． 将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式 解：解方程， 移项得， 两边同时除以2得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知是二元一次方程的一个解． （1）求k的值； （2）用含y的代数式表示x； （3）检验是不是这个方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3）不是 【分析】本题考查了二元一次方程的解、列代数式，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． （1）代入到方程，得到关于k的方程，即可求出k的值； （2）由（1）得，代入方程，即可解答； （3）由（2）得，计算出当时对应的值，即可得出结论． 解：（1）解：代入到方程，得， 解得：， 的值为． （2）解：由（1）得，， 代入到，得， ， 用含y的代数式表示x为． （3）解：由（2）得，， 当时，， 不是这个方程的解． 【题型 5】列二元一次方程 【例题5】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知苹果的单价为4元/，香蕉的单价为6元/，现购买苹果和香蕉，共需元． （1）列出关于、的二元一次方程． （2）若，则的值是多少？ （3）若购买苹果，则购买香蕉多少千克？ 【答案】（1）；（2）；（3）千克 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，核心是利用“总价=单价×数量”的数量关系建立方程，并通过代入已知值求解未知量． （1）根据苹果和香蕉的各自总价之和等于总花费，直接列出二元一次方程； （2）将已知的值代入（1）中的方程，通过一元一次方程的求解步骤算出的值； （3）将已知的值代入（1）中的方程，解一元一次方程得到的值，即为购买香蕉的重量． 解：（1）解：∵苹果的单价为4元/，购买苹果的总价为元， 香蕉的单价为6元/，购买香蕉的总价为元，总花费为元， ∴可列二元一次方程为； （2）解：将代入方程中，得， 解得； （3）解：将代入方程中，得， 解得， 答：购买香蕉千克． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲种物品每个，乙种物品每个．现有甲种物品个，乙种物品个，共，若，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出关于x和y的方程，代入求解y的值． 解：由题意得， 将代入，得：， 解得， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形．若小长方形的面积为S，长为x，宽为y，当时， ________． 【答案】20 【分析】本题考查了二元一次方程的应用与代数式求值，熟练掌握代数式求值是解决本题的关键． 由图可得，大长方形的长为，宽为，得大长方形的周长为，进而解决此题． 解：由图可得，大长方形的长为，宽为， ∵长方形的周长为， ∴， 化简，可得：， 当时，可得：， 解得：， ∴小长方形的面积. 故答案为：. 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据题意分别设合适的未知数，列出二元一次方程： （1）甲数的2倍比乙数的多2； （2）将一摞笔记本分给若干个同学，若每个同学分8本，则差1本． 【答案】（1）设甲数为，乙数为，；（2）设有x个同学、y本笔记本， 【分析】本题主要考查了列二元一次方程．根据题意列出二元一次方程即可． （1）设甲数为，乙数为，根据题意列方程即可； （2）设有x个同学、y本笔记本，根据题意列方程即可． 解：（1）设甲数为，乙数为， 根据题意得，； （2）设有x个同学、y本笔记本， 根据题意得，． 二.综合培优题型精析 【题型 6】二元一次方程的整数解 【例题6】（24-25七年级下·吉林长春·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高______，放入一个大球水面升高______． （2）如果同时放入大小两种球，使水面上升到，列出放入大球、小球个数的关系式，并写出所有可能情况． 【答案】（1）；；（2），共有种放入方式，方案：放入个小球，个大球；方案：放入个小球，个大球；方案：放入个小球，个大球 【分析】（1）根据放入球的数量及水面升高的高度，即可求出放入一个小球或放入一个大球水面升高的高度； （2）设放入个小球，个大球，根据水面升高的总高度为，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出各放入方式． 解：（1）解： ； ． （2）解：设放入个小球，个大球，依题意得： ， ， 又，均为正整数， 或或， 共有种放入方式， 方案：放入个小球，个大球； 方案：放入个小球，个大球； 方案：放入个小球，个大球． 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）某学校文创社计划定制书签和笔记本，已知每张书签6元，每本笔记本15元．社团计划花费180元定制两种文创产品（两种都需定制），则定制方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】设两种产品的定制数量，根据总花费列出二元一次方程，结合两种产品都需定制，即数量均为正整数的条件，找出方程的正整数解个数，得到方案数． 解：设定制书签张，定制笔记本本，，均为正整数． 根据题意列方程得， 方程两边同时除以3，得， 整理得， ∵，均为正整数， ∴或或或或， ∴共有种定制方案． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有_____________组． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，解题关键是通过变形用一个未知数表示另一个未知数，再结合非负整数的限制条件逐一验证取值． 将方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据非负整数的条件确定未知数的可能取值． 解：由方程 ，解得 ． ∵，为非负整数， ∴必须是的倍数且，． 当时，，符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，符合； 当时，，为负数，不符合． ∴满足条件的解有组． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）某校有378人去春游，如乘坐大客车，每辆可坐54人，每辆车的租金1000元：如乘坐中巴车，每辆车可坐36人，每辆车的租金650元．为了能使每个人都能上车且各车正好坐满，则需要大客、中巴各几辆请写出所有可能的租车方案，并找出租金最少的一种． （用简要文字说明，写出主要计，算过程） 【答案】4种符合题意的方案．①大型客车1辆，中巴车9辆；②大型客车3辆，中巴车6辆；③大型客车5辆，中巴车3辆； ④大型客车7辆，中巴车0辆． 费用最小时的方案为：①大型客车1辆，中巴车9辆. 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．首先根据题意表示出大型客车辆可座人，中型客车辆可座人，根据总人数为378可得方程，再进一步求解方程的非负整数解，再进一步计算总费用即可． 解：设需要大型客车辆，中巴车辆，由题意得： ， 则， 当时，； 当时，（不合题意）； 当时，； 当时，（不合题意）； 当时，； 当时，（不合题意）； 当时，； 所以一共有，；，；，；，； 共计4种符合题意的方案． ①大型客车1辆，中巴车9辆；总费用为：（元）； ②大型客车3辆，中巴车6辆；总费用为：（元）； ③大型客车5辆，中巴车3辆；总费用为：（元）； ④大型客车7辆，中巴车0辆．总费用为：（元）； 所以费用最小时的方案为：大型客车1辆，中巴车9辆. 三.同步检测 （一）选择题（6题） 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项． 解：A．中，未知数次数为2，不是二元一次方程； B．中，含有两个未知数x和y，且次数均为1，是整式方程，是二元一次方程； C．中含有分式，不是整式方程，不是二元一次方程； D．中只有一个未知数，且次数为2，不是二元一次方程； 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】设出两种导线的根数，根据总长度列出方程，结合x，y为正整数的条件找出所有符合的解即可． 解：设的导线有根，的导线有根，均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是正偶数，即为正偶数，且，得， 的可取的值为，共4个不同值，对应4种不同的截取方案． 4．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义得到的值，再代入计算即可． 解：∵是方程的一组解， ∴， ∴， ∴代数式的值是． 5．（2026·黑龙江·一模）为弘扬法治精神，提升中学生法律素养。某中学在“宪法宣传周”期间举办了全校性的普法知识竞赛．学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的《中华人民共和国宪法》精装读本与法治书签套装，二等奖奖品为单价10元的法治主题笔记本与钢笔套装．专项资金恰好用完，若两种奖品都必须购买，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】设一等奖奖品购买x件，二等奖奖品购买y件，根据用240元专项资金为获奖同学购买奖品，列出二元一次方程，再求方程的正整数解即可． 解：设一等奖奖品购买x件，二等奖奖品购买y件，根据题意得： ， 整理得：， ∵x、y为正整数， ∴，，，，，，， ∴共有7种购买方案． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）在学习课本“问题解决策略——逐步确定”时，我们曾用该策略解决过“一个数三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，这个数最小是多少”的问题，最终得出答案为23．现在请你解决以下问题：已知一个正整数满足以下条件：除以3余2，除以5余4，除以7余3，满足条件的最小正整数是（    ）． A．23 B．38 C．59 D．86 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用． 先根据“除以余，除以余”的条件，可得这个数加是和的公倍数，设出该数的表达式，再结合“除以余”的条件，确定参数的最小正整数值，进而可得满足条件的最小正整数． 解：∵这个数除以3余2，除以5余4， ∴这个数加1后能同时被3和5整除， ∵3和5互质，最小公倍数为15， ∴设这个数为（为正整数）， 又∵这个数除以7余3， ∴（为正整数）， ∴， ∴， ∴， ∴的最小正整数值为， ∴这个数最小为， 验证：，，，均满足所有条件， 故选：C． （2） 填空题（6题） 7．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）二元一次方程的标准形式为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，据此写出标准形式． 解：二元一次方程的标准形式为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）若关于的二元一次方程的一组解为，则___________． 【答案】1 【分析】将已知的方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 解：是关于，的二元一次方程的一组解， ∴将代入方程得：， 整理得， 解得． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）把二元一次方程化为的形式，则__． 【答案】 【分析】通过二元一次方程变形，得出的值，然后代入求解即可． 解：， 移项得： ， 解得：， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·广东河源·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了列代数、整式的运算、配方法、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解成为解题的关键．设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒；然后根据留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的得到，然后运用列举法确定a的值成为解题的关键． 解：解:设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒 这些礼盒的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ∵留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； ∴正方形的边长为． 故答案为：10． （3） 解答题（4题） 13．（24-25七年级下·贵州·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值： （2）求时，y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 解：（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得； （2）解：由（1）得，原方程为， 当时，则， 解得． 【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）一个三角形的边长和周长如图所示． （1）请列出关于未知数的方程； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，解一元一次方程，准确识图、弄清题意是解题的关键． （1）根据三角形的周长列出方程即可； （2）把代入，解关于b的一元一次方程即可． 解：（1）解：∵三角形的周长为10， ∴； （2）解：把代入，得： ， 解得． 15．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知二元一次方程． 0 1 2 3 4 6 （1）填表，使每对、的值都是方程的解； （2）根据表格，请直接写出方程的非负整数解． 【答案】（1），1，；（2）， 【分析】本题主要考查二元一次方程的解的概念及求解，熟练掌握将已知值代入方程求值的方法，以及准确筛选非负整数解是解题关键． （1）已知二元一次方程，对于给定的值（、），将其代入方程，通过移项、计算求出对应的值；对于，同样代入方程求，从而完成表格填写； （2）依据（1）中求出的表格数据，筛选出、均为非负整数（即大于等于的整数）的解． 解：（1）解：当时，把代入，则， 即， 移项可得， 解得 ． 当时，把代入，则， 即， 移项得， 解得 ． 当时，把代入，则， 即， 移项得， 解得 ． 所以表格从左到右应填、、 ． （2）解：非负整数解要求，且、为整数． 由（1）中计算及表格数据： 当时，（满足非负整数）； 当时，（满足非负整数）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（为负，舍去）． ∴方程的非负整数解为， ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）解答下列问题： （1）二元一次方程的解有多少组？请写出五组． （2）二元一次方程的解有多少组？请写出五组． （3）找出一组x，y的值，使这组值同时满足方程和． （4）根据上面的探究，你能直接写出二元一次方程组的解吗？ 【答案】（1）二元一次方程的解有无数组．；（2）二元一次方程的解有无数组．；（3）同时满足方程和；（4）二元一次方程组的解为 【分析】（1）（2）根据二元一次方程解的性质，可知二元一次方程有无数组解，通过给赋值求得到解； （3）通过尝试或联立方程找同时满足两个方程的解； （4）根据前面的探究得出方程组的解． 解：（1）解：二元一次方程的解有无数组． （2）解：二元一次方程的解有无数组． （3）解：联立方程，将两式相加得，代入得，则： 同时满足方程和． （4）解：二元一次方程组的解为 【点拨】本题考查二元一次方程（组）的解，掌握二元一次方程有无数组解，二元一次方程组的解是同时满足两个方程的解是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $