专题10.9 二元一次方程组创新题型探究（精选精练38题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题10.9 二元一次方程组创新题型探究（精选精练38题） 一、单选题 1．（20-21七年级下·山东菏泽·期中）已知方程组是二元一次方程组，则（    ） A．1或 B．2或 C． D．2 2．（19-20七年级上·广西贺州·期末）已知（n为自然数），且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若单项式与是同类项，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．（24-25七年级下·全国·阶段练习）根据所给信息，则买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．34元 6．（2025·安徽滁州·一模）若，，则的值满足（   ） A． B． C． D． 7．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“买田”问题，其大致意思是：用一万钱可买好田和 坏田共一百亩，若……问好田和坏田分别买了多少亩？设买好田x 亩，坏田y 亩，可列出符合题意的方程组 根据已有信息，则题中用“……”表示的缺失条件应为 （    ） A．好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱 B．好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱 C．好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱 D．好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱 10．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 11．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．针对x，y，m，n的取值．三人的说法如下． 甲：若，则； 乙：的值一定是2； 丙：若，则． 下列判断正确的是（   ）    A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 13．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）为改善农村居民生活环境，某村庄要修整一条长360米的街道，修整的任务由甲、乙两个工程队接力完成． 已知甲工程队每天修整16米，乙工程队每天修整24米，完成该任务两工程队共用时20天．求甲、乙两工 程队分别修整街道多少米．小明、小芳、小华三人的解题思路如下： 小明：设甲工程队修整街道x 米，则可列方程为， 小芳：设甲工程队修整街道x 米，乙工程队修整街道y 米，则可列方程组为 ，小华：设甲工程队工作m 天，乙工程队工作 n 天，则可列方程组为，其中，思路正确的是（    ） A．小明 B．小明、小芳 C．小明、小华 D．三人都对 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 二、填空题 15．（22-23七年级下·广西贵港·期中）定义有序数对为“§运算”，§，其中a，b为常数，§运算的结果是一个有序数对如当，时，§，若§，则 ． 16．（23-24七年级上·广西桂林·期末）三个面积均是的多边形如图叠放，其中，正方形阴影部分外的面积是，六边形阴影部分外的面积是，若两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半，则a、b、m三者之间的数量关系是 ．    17．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，内容十分丰富．其中表示数的算筹有纵、横两种方式，如要表示一个多位数，即把各个位的数字从左到右横向排列，各位数的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示，在《九章算术》中，用算筹图来表示二元一次方程的方法，如“”表示方程，则方程组的解为 ．    18．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）某种动物的身高与其腿长满足二元一次方程，当动物的腿长时，身高；当动物的腿长时，身高，则 ． 19．（23-24七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“互助点”，例如：点的一对“互助点”是点与，若点Q的一对“互助点”之一为，则点Q的坐标为 ． 20．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）若关于x、y的方程的解满足， （1）y的值为 ； （2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．    21．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程． （1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ． （2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 ． 22．（22-23八年级下·四川成都·期末）定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为 ． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 24．（24-25七年级上·全国·假期作业）王恒出生于世纪，他把他出生的月份乘后加上，把所得的结果乘后加上出生年份再减去，最后得到，则王恒出生在 年 月． 25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某科研小队在一处遗迹中发现了古人的残破书籍，书籍上记录了一个方程组，翻译后为，方程组的解为，其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮科研人员确定的值为 ． 26．（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 27．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）一个三位正整数，如果满足各数位上的数字互不相等且均不为0，各个数位上数字的和为11的整数倍，我们称这样的正整数为“石一数”．最大的“石一数”与最小的“石一数”的和为 ；若一个“石一数”的个位数字比十位数字大2，且能被7整除，那么满足条件的“石一数”为 ． 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      三、解答题 29．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）先化简，再求值． ，其中，． （2）在下列方程中选择两个你喜欢的方程，组成二元一次方程组，并进行解答． ； ； ． 30．（23-24七年级下·浙江台州·期中）已知二元一次方程． （1）写出此方程的所有正整数解． （2）若二元一次方程组存在x，y互为相反数的解，请在横线处补上一个方程，并求出此方程组的解． 31．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； （2）请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 32．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 33．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下： 小明：，得． 小颖：由②，得， 把①代入③，得． （1）①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）： 小明的过程______        小颖的过程______ ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是______． （2）请你用喜欢的方法解二元一次方程组 34．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得， ∵且， ∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题： （1）【学以致用】解二元一次方程组：． （2）【能力提升】解二元一次方程组：． （3）【拓展训练】，求x和y的值． 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”． （1）方程组的解x与y是否具有“惟精惟一关系”？说明你的理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，求m的值． 36．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）【观察思考】 第1个方程组为解为第2个方程组为解为 第3个方程组为解为第4个方程组为解为 …… 【规律发现】 （1）按照以上规律，写出第5个方程组为________，解为________． （2）写出你猜想的第个方程组和它的解并说明理由． 37．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： （1）计算：； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 38．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品.小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品.如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元.求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元， 根据题意，得（Ⅰ） ，得③ ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便.请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本/本 钢笔/支 总价/元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据上表的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.9 二元一次方程组创新题型探究（精选精练38题） 一、单选题 1．（20-21七年级下·山东菏泽·期中）已知方程组是二元一次方程组，则（    ） A．1或 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫二元一次方程组，即可解答． 解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，理解并掌握二元一次方程组满足的条件：1、组成方程组的每个方程都是整式方程，2、方程组共含有两个未知数，3、每个方程都是一次方程是解题的关键． 2．（19-20七年级上·广西贺州·期末）已知（n为自然数），且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，列出关于，的方程组，求出，，再根据定义代入计算即可． 解：，，， ， 得：， 把代入得：， ， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，求出，的值． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）若单项式与是同类项，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项和解 二元一次方程组，根据同类项定义得出，把m、n的值代入方程组，进而求解即可． 解：∵单项式与是同类项， ∴， 代入方程组，得 解得： 故选：A． 4．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程的运用，根据图示，设圆形为，三角形为，正方形为，由此列式求解即可． 解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为， ∴， ∴由①得， 把③代入②，，整理得，， ∴， ∴应方△的数量为6个， 故选：B ． 5．（24-25七年级下·全国·阶段练习）根据所给信息，则买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．34元 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设购买一只玩具小猫需要x元，一只玩具小狗需要y元，则根据题意可得，然后问题可求解． 解：设购买一只玩具小猫需要x元，一只玩具小狗需要y元，由题意得： ， 得：， ∴， ∴购买一只玩具小猫和一只玩具小狗需要40元； 故选C． 6．（2025·安徽滁州·一模）若，，则的值满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式等，根据题意，将，联立，解得与的关系，然后代入，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 故选：D． 7．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题； 解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知， 或， ∴， 故选：C． 【点拨】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键在于能根据实际情况对题目全面分析． 8．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，先设，利用外角可得，，再进一步可得结论． 解：∵是的角平分线， ∴设， ∴，， ∴， ∴， 故选C 9．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“买田”问题，其大致意思是：用一万钱可买好田和 坏田共一百亩，若……问好田和坏田分别买了多少亩？设买好田x 亩，坏田y 亩，可列出符合题意的方程组 根据已有信息，则题中用“……”表示的缺失条件应为 （    ） A．好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱 B．好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱 C．好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱 D．好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据选项一一列式判断即可． 解：．好田三百亩用一钱，坏田五百亩用七钱，可列出方程，故该选项不符合题意； ．好田七百亩用五百钱，坏田一亩用三百钱，可列出方程，故该选项不符合题意； ．好田五百亩用七钱，坏田三百亩用一钱，可列出方程，故该选项不符合题意； ．好田一亩用三百钱，坏田七亩用五百钱，可列出方程，故该选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（   ） A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想 【答案】C 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 11．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 12．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．针对x，y，m，n的取值．三人的说法如下． 甲：若，则； 乙：的值一定是2； 丙：若，则． 下列判断正确的是（   ）    A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式的加法，先用m，n表示x，y的式子，结合，逐一判断即可． 解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：，正确； 丙：则，即，正确； 故选D. 13．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）为改善农村居民生活环境，某村庄要修整一条长360米的街道，修整的任务由甲、乙两个工程队接力完成． 已知甲工程队每天修整16米，乙工程队每天修整24米，完成该任务两工程队共用时20天．求甲、乙两工 程队分别修整街道多少米．小明、小芳、小华三人的解题思路如下： 小明：设甲工程队修整街道x 米，则可列方程为， 小芳：设甲工程队修整街道x 米，乙工程队修整街道y 米，则可列方程组为 ，小华：设甲工程队工作m 天，乙工程队工作 n 天，则可列方程组为，其中，思路正确的是（    ） A．小明 B．小明、小芳 C．小明、小华 D．三人都对 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，根据一元一次方程和二元一次方程组的的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解： 设甲工程队修整街道x米，则乙工程队修整街道米， 根据题意，得， ∴小明的思路正确， 设甲工程队修整街道x米，乙工程队修整街道y米， 根据题意，得， ∴小芳的思路不正确， 设甲工程队工作m天，乙工程队工作n天， 根据题意，得， ∴小华的思路正确， 综上所述，思路正确的是小明、小华， 故选：C． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查的是方程组的解法，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，分两种情况讨论：当时，方程有1组解；当时，方程化为，再把三个方程相加，结合完全平方公式进一步解答即可． 解：当时，方程有1组解； 当时， ∵，则， ∴， ∴三个方程相加：， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； 综上：方程有2组解； 故选：B． 二、填空题 15．（22-23七年级下·广西贵港·期中）定义有序数对为“§运算”，§，其中a，b为常数，§运算的结果是一个有序数对如当，时，§，若§，则 ． 【答案】 【分析】根据定义“§运算”列方程组即可求出a、b，从而可得答案． 解：∵§， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是根据新定义“§运算”正确列方程组． 16．（23-24七年级上·广西桂林·期末）三个面积均是的多边形如图叠放，其中，正方形阴影部分外的面积是，六边形阴影部分外的面积是，若两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半，则a、b、m三者之间的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，设正方形与五边形阴影部分的面积是，六边形与五边形阴影部分的面积是，根据题意列出相应的方程组，再消元即可． 解：设正方形与五边形阴影部分的面积是，六边形与五边形阴影部分的面积是，根据题意得： ， 整理得到：， 故答案为：． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，内容十分丰富．其中表示数的算筹有纵、横两种方式，如要表示一个多位数，即把各个位的数字从左到右横向排列，各位数的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示，在《九章算术》中，用算筹图来表示二元一次方程的方法，如“”表示方程，则方程组的解为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新定义可知方程组即为，利用加减消元法解方程组即可． 解：根据题意可得方程组即为方程组， 解得， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）某种动物的身高与其腿长满足二元一次方程，当动物的腿长时，身高；当动物的腿长时，身高，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意得到二元一次方程组，求出，即可求解． 解：由题意得：，解得： ∴ 故答案为：． 19．（23-24七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“互助点”，例如：点的一对“互助点”是点与，若点Q的一对“互助点”之一为，则点Q的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，设点，根据新定义列方程组求解即可． 解：设点， ∵点Q的一个“互助点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 20．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）若关于x、y的方程的解满足， （1）y的值为 ； （2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的化简求值： （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意可知该图案的面积等于一个长方形面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形面积，据此先列出代数式，再把x、y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 解：（1）由题意得，， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴该图案的面积 ， 故答案为：． 21．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程． （1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ． （2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 ． 【答案】 B和C 【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得； （2）把解代入卡片逐项验证即可． 解：（1）解： 得 ， 把代入①得 ， 解得； （2）把代入，，，，五张卡片中， 可得，，不成立， 代入B得：，成立， 代入C得：，成立， 故答案为：B和C． 【点拨】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组． 22．（22-23八年级下·四川成都·期末）定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解求出k的值即可． 解：根据题意得， ， 解得， ， ， ， 整理得：， 整理得：， 关于x的方程无解， 当时，原方程无解， 即， 当，时是增根，原方程无解， 即或， 即， 综上实数k的值为2或4． 故答案为：2或4． 【点拨】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 24．（24-25七年级上·全国·假期作业）王恒出生于世纪，他把他出生的月份乘后加上，把所得的结果乘后加上出生年份再减去，最后得到，则王恒出生在 年 月． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，王恒出生于世纪，出生的年份在年到年所有的整数，月份在到之间，根据题目的要求可以设王恒出生在年月，则可得方程，将方程化简，得出当时，符合条件，即可求解，根据题意列出二元一次方程并正确求解是解题的关键． 解：设王恒出生在年月， 由题意可得，， ∴ 当时，， 解得， ∴王恒出生在年月， 故答案为：，． 25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某科研小队在一处遗迹中发现了古人的残破书籍，书籍上记录了一个方程组，翻译后为，方程组的解为，其中与处已经看不清了，请你用所学的知识帮科研人员确定的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程解的定义．把把代入求出，把代入即可求解． 解：把代入得， 解得， 把代入得． 故答案为： 26．（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了 个标有数字的球． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解，设标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个，根据题意列出，然后出正整数解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：设摸出标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴， ∴标有数字的球有个， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）一个三位正整数，如果满足各数位上的数字互不相等且均不为0，各个数位上数字的和为11的整数倍，我们称这样的正整数为“石一数”．最大的“石一数”与最小的“石一数”的和为 ；若一个“石一数”的个位数字比十位数字大2，且能被7整除，那么满足条件的“石一数”为 ． 【答案】 1113 868或679/679或868 【分析】本题考查了新定义“石一数”，涉及到整式的加减运算，求二元一次方程的整数解，熟练掌握新定义并正确应用是解题的关键． 根据题意，以及“石一数”的定义，得到最大和最小的“石一数”，再求出M，即可得到结果． 解：∵一个三位正整数，如果满足各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴最大的“石一数”的百位数字为9，则十位数字为8， ∵各个数位上数字的和为11的整数倍， ∴最大的“石一数”的个位数字为5，则， ∴最大的“石一数”是， 同理，最小的“石一数”的百位数字为1，十位数字为2，则个位数字为8， ∴最小的“石一数”是， ∴最大的“石一数”与最小的“石一数”的和为； ∵一个“石一数”M的个位数字比十位数字大2， ∴设M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为b+2， ∴或22，即或20， ∵M能被7整除， ∴当时，，b可取1，2，3，4， 所得数字均不满足被7整除， 当时，时，b可取6，7，8， 当时，，则个位数字为，则三位数为868， 当时，，则个位数字为，则三位数为679， 当时，，则个位数字为，不符合题意， ∴M为868或679． 故答案为：1113；868或679． 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据题意得，满足以及周长大于，高大于的一组正整数，即可作答． 解：如图可得， 解得：， ∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm， ∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意， 故答案为：，． 三、解答题 29．（2023·贵州贵阳·模拟预测）（1）先化简，再求值． ，其中，． （2）在下列方程中选择两个你喜欢的方程，组成二元一次方程组，并进行解答． ； ； ． 【答案】（1），；（2）选择和，；和，；和， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解二元一次方程组，二次一次方程组的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）利用加减消元法或代入消元法，进行计算即可解答． 解：（1） ， 当，时，原式 ； （2）若选择和， ， 得：， 解得：， 把代入中得：， 解得：， 原方程组的解为：； 若选择和， ， 由得：， 把代入中得：， 解得：， 原方程组的解为：； 若选择和， ， 由得：， 把代入中得：， 解得：， 原方程组的解为：． 30．（23-24七年级下·浙江台州·期中）已知二元一次方程． （1）写出此方程的所有正整数解． （2）若二元一次方程组存在x，y互为相反数的解，请在横线处补上一个方程，并求出此方程组的解． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程和方程组． （1）令，，分别把的值代入，求出，然后求出方程的正整数解即可； （2）根据，互为相反数，把用表示出来，再代入，求出，，然后用求出的，列出算式，再把8和换成和，最后把所得方程与联立成方程组，解方程组即可． 解：（1））当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 方程的正整数为：； （2）方程组的解是互为相反数， ， 把代入得： ， 解得：， ， ， 括号处补的方程为：， 方程组为：， ①②得：， 把代入②得：， 方程组的解为：． 31．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； （2）请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 【答案】（1）甲，解题过程见详解；（2） 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解； （2）运用代入法计算即可求解． 解：（1）解：②①得，， ∴出错的是甲同学， 正确解题过程：②①得，， 解得，， 把代入①得，， 整理得，， 解得，， ∴原方程组的解为， 故答案为：甲； （2）解：， 由①得，③， 把③代入②得，， 整理得，， 解得，， 把代入③得，， ∴原方程组的解为． 32．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 解：（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （3）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （4）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 33．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下： 小明：，得． 小颖：由②，得， 把①代入③，得． （1）①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）： 小明的过程______        小颖的过程______ ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是______． （2）请你用喜欢的方法解二元一次方程组 【答案】（1）①不正确，正确；②消元；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方组的解法． （1）先分别按照小明、小颖的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可； （2）利用加减消元法或代入消元法即可求解． 解：（1）解：①， 解法一：得：，， 把代入①得：， 方程组的解为：； 解法二：由②，得， 把①代入③，得， 解得：， 把代入①得：， 方程组的解为：； 小明的过程不正确，小颖的过程正确， 故答案为：不正确，正确； ②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是消元， 故答案为：消元； （2）方法一：， 得：，， 把代入①得：， 方程组的解为：； 方法二：由②，得， 把①代入③，得， 解得：， 把代入①得：， 方程组的解为：． 34．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得， ∵且， ∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题： （1）【学以致用】解二元一次方程组：． （2）【能力提升】解二元一次方程组：． （3）【拓展训练】，求x和y的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，读懂题意是解题的关键． （1）设，那么，则，，代入于②中，得到，解得，即可得到答案； （2）设，那么，代入于②中，得，解得，即可得到答案； （3）由题意可得，，得到则得到由得到，即可得到答案． 解：（1）解： 设，那么，则，， 代入于②中，得， 解得， ∵，， ∴原方程组的解为 （2） 设，那么， 代入于②中，得， 解得， ∵，， ∴原方程组的解为 （3）∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得， ∴， 则 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”． （1）方程组的解x与y是否具有“惟精惟一关系”？说明你的理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，求m的值． 【答案】（1）方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，理由见分析；（2）或 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和新定义． （1）由方程组中，可知满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“惟精惟一关系”； （2）先将m看作已知，求得方程组的解，再根据“惟精惟一关系”的定义，解出m的值即可． 解：（1）解： ， 得：， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴ 因为， 所以方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”； （2）解：方程组， 得：，即． 将代入①中，可得， ∴方程组的解为：， 因为关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，得或， 即或， 解得或． 36．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）【观察思考】 第1个方程组为解为第2个方程组为解为 第3个方程组为解为第4个方程组为解为 …… 【规律发现】 （1）按照以上规律，写出第5个方程组为________，解为________． （2）写出你猜想的第个方程组和它的解并说明理由． 【答案】（1），；（2）第个方程组为，它的解为，理由见分析 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组，平方差公式． （1）根据前4个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第5个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解． 解：（1）解：按照以上规律，写出第5个方程组为，解为 （2）解：每个方程组的第1个方程都为， 第2个方程的中的系数为1，的系数为，等号右边的数为， 方程组的解，， ∴第个方程组为，它的解为 检验： 得，，即， 解得：， 代入①可得，， ∴方程组的解为：． 37．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： （1）计算：； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是先求、的解，再求、的值． （1）仿照例题的思路，设，分别表示原式，然后进行整式乘法运算即可； （2）根据加减法，可得、的解，再根据解方程，可得答案． 解：（1）解：依题意， 设， （2）解：方程组的解是， 同理方程组中 38．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品.小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品.如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元.求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元， 根据题意，得（Ⅰ） ，得③ ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便.请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本/本 钢笔/支 总价/元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据上表的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由，得③，再直接运用加减消元法求解即可； （2）由，得，再由，得，求出x，再代入求y即可． 解：（1） ，得③ ，得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2） 由，得， ，得， 解得 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$