第02讲 提取公因式法（2个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第02讲 提取公因式法 （2个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①公因式的概念； ②提取公因式分解因式； 1.掌握公因式的概念； 2.掌握提取公因式分解因式； 知识点1：公因式 像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【即学即练1】 1．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点2：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【即学即练3】 3．多项式分解因式时，应提取的公因式是（  ） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型01 公因式 1．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　) A． B． C． D． 6．多项式的公因式是 ． 7．多项式的公因式是 ． 8．整式和的公因式为 . 9．多项式：与的公因式是 ． 10．（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 题型02 提公因式分解因式 11．将多项式进行因式分解，得到的结果为（   ） A． B． C． D． 12．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 13．能被下列数整除的是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 14．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．因式分解： ． 16．分解因式的结果是 ． 17．已知，，则 ． 18．已知，且，则的值为 ． 19．因式分解： 20．因式分解：． 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 4．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 5．若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 6．分解因式： ． 7．若分解因式：，则k的值为 ． 8．已知，则 ． 9．若，，则的值为 ． 10．已知，则的值是 ． 11．因式分解： (1) (2) 12．因式分解：． 13．因式分解：． 14．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 15．阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 提取公因式法 （2个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①公因式的概念； ②提取公因式分解因式； 1.掌握公因式的概念； 2.掌握提取公因式分解因式； 知识点1：公因式 像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【即学即练1】 1．多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公因式定义，对各选项整理后即可确定公因式． 【详解】解：， 是公因式， 故选：D． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【即学即练2】 2．下列各组中，没有公因式的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】将每一组因式分解，找公因式即可 【详解】A.，，有公因式，故不符合题意； B.，，没有公因式，符合题意； C.，，有公因式，故不符合题意； D. 与有公因式，故不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键 知识点2：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【即学即练3】 3．多项式分解因式时，应提取的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式． 【详解】 即多项式分解因式时，应提取的公因式是 故选：C． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【即学即练4】 4．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得提取即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型01 公因式 1．多项式的公因式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式，解题的关键是找出多项式各项系数的最大公因数以及各项都含有的相同字母的最低次幂． 分别分析多项式各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂，从而确定公因式． 【详解】在多项式中，8和12的最大公因数是4； 对于字母，在中的次数是3，在中的次数是1，相同字母的最低次幂是； 对于字母，在和中的次数分别是3和2，即相同字母的最低次幂是； 对于字母，中不含，所以公因式中不含． 综合起来，多项式的公因式是， 故答案选：B． 2．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得公因式是，解答即可． 本题考查了公因式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选：C． 3．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 【详解】解：与没有公因式，选项A符合题意； 与的公因式为，选项B不符合题意； 与的公因式为，选项C不符合题意； 与的公因式为，选项D不符合题意． 故选A． 4．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式因式分解中的提公因式法，先考虑系数5和10的最大公因数是5，再考虑相同字母a、b的最低次幂分别是a，b，则其积是多项式的公因式．公因式是各项系数的最大公因数、相同字母的最低次幂的积，当首项是负时，一般连负号也一并提出来． 【详解】，应提取的公因式是． 故选：C． 5．运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公因式的定义以及多项式各项得出答案． 【详解】解：多项式的公因式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式． 6．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 7．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式， 各项系数的最大公约数为， 各项都含有，的最低指数为， 该多项式的公因式为． 故答案为：． 8．整式和的公因式为 . 【答案】 【分析】本题考查确定公因式，先对进行因式分解，再根据确定公因式的方法：“①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式；③定指数，即各项相同字母因式的指数的最低次幂”，求解即可． 【详解】解：∵， ∴和的公因式为， 故答案为：． 9．多项式：与的公因式是 ． 【答案】 【分析】先找到多项式的公因式，再结合单项式写出公因式解题即可． 【详解】解：， ， 与的公因式是； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，能熟练写出公因式是解题的关键． 10．（1）多项式的公因式是 ； （2）多项式的公因式是 ； （3）多项式的公因式是 ； （4）多项式的公因式是 ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 题型02 提公因式分解因式 11．将多项式进行因式分解，得到的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 利用提取公因式法分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 12．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再代入到进行计算即可得． 【详解】解： ∴ ∴ 则， 故选：B． 13．能被下列数整除的是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解，将2025拆成是解本题的关键． 先将算式因式分解，找到含有选项的因数即可． 【详解】解： 能被7整除． 故选：C． 14．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，先由得到，再利用“降次法”将转化为，进一步得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， ， ， ， ， 故选：C。 15．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 直接提公因式，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 16．分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，先确定公因式，再利用提公因式法分解因式即可．熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 17．已知，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．因式分解可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6 18．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识． 首先由得到，然后两边同时平方整理得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用了提公因式法因式分解，首先进行分组，再利用提公因式法分解因式，可得答案 【详解】 20．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．直接利用提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确的将原式因式分解，变形成用已知式子表示的式子是解题的关键． 先把原式提出公因式，然后把，代入求值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式， 故选：． 2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：． 3．已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理，把，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：D． 4．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 5．若，则的值与的公因式为（  ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减和公因式的概念，掌握公因式的概念是解题的关键． 根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每项都含有的因式，可得答案． 【详解】， ， 的值与的公因式， 故选：D． 6．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先将式子变形，再根据提公因式法提取公因式，计算即可得解． 【详解】解： 故答案为：． 7．若分解因式：，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查因式分解与整式的乘法，由可得结论． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：3． 8．已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解，解题的关键是对多项式因式分解，通过整体代入求代数式的值．先提公因式，将式子转化为的形式，再将直接代入求解即可． 【详解】解：， 将代入上式，， 故答案为：6． 9．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用．提公因式对所求式子因式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为．把原式变形后整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 11．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式．分解因式时，首先观察各项有没有公因式，如果有公因式的先提取公因式，然后再按照平方差公式或者完全平方公式分解．分解因式一定要分解到不能再分解为止．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）提取公因式再化简即可得出答案． 【详解】（1） ； （2） 12．因式分解：． 【答案】 【分析】提取公因式即可求解； 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 【详解】解： 13．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．变形后用提取公因式法分解即可． 【详解】解： ． 14．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 【答案】(1)提公因式法；两 (2) (3)， 【分析】本题考查了提公因式分解因式，要连续多次用到提公因式的方法，找到规律是解题的关键． （1）由解答过程即可完成解答； （2）通过例子找到规律即可作出解答； （3）连续多次提公因式即可． 【详解】（1）解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； （2）解： ； （3）解： ． 观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式； 故答案为：，． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$