专题 4.3 用乘法公式分解因式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.3 用乘法公式分解因式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平方差公式 1 【知识点二】完全平方公式 2 【知识点三】公式法与完全平方式 2 【题型 1】判断能否用公式法进行因式分解 2 【题型 2】平方差公式进行因式分解 3 【题型 3】完全平方公式进行因式分解 3 【题型 4】平方差公式与完全平方公式综合进行因式分解 4 【题型 5】提取公因式与乘法公式综合进行因式分解 4 二.培优题型精析（教材挖掘） 4 【题型 6】利用乘法公式进行因式分解并求值 5 【题型 7】乘法公式进行因式分解判断三角形形状 5 【题型 8】因式分解的应用——配方法 6 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】平方差公式 。 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 【要点提示】运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式，其适用平方差公式进行因式分解的特点（1）适用条件：必须是两项、平方形式、差的形式；（2）结构要点：分解后是两项和两项差，一项是两数和，一项是两数差；（3）结果要求：结果必须是整式乘积形式，这是因式分解的标准形式。（4）即可以是单项式，也可以是多项式。 【知识点二】完全平方公式 。 即：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 【要点提示】适用完全平方公式进行因式分解的基本条件：（1）项数要求：必须是三项式，只有三项才能用完全平方公式；（2）首尾两项：都是平方形式，且符号相同（同为正）；（3）中间一项：是首尾两个数乘积的 2 倍，符号可正可负；（4）分解结果：等于首尾两个数的和（或差）的平方。 【知识点三】公式法与完全平方式 （1） 完全平方式：我们把多项式叫作完全平方式。在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完仝平方式。 （2） 一般地，利用公式或把一个多项式分解因式的方法，叫作公式法。 【题型 1】判断能否用公式法进行因式分解 【例题1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26八年级上·山西忻州·月考）下列多项式不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型 2】平方差公式进行因式分解 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式分解因式： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）把多项式分解因式，其结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解：_______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）． （2）． 【题型 3】完全平方公式进行因式分解 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·月考）将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【题型 4】平方差公式与完全平方公式综合进行因式分解 【例题4】（24-25八年级上·四川广安·期末）分解因式：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁营口·月考）分解因式：______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）分解因式： 【题型 5】提取公因式与乘法公式综合进行因式分解 【例题5】（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解 （1） （2） 【变式1】（24-25八年级下·河南周口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东东营·模拟预测）分解因式：______． 【变式3】（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 6】利用乘法公式进行因式分解并求值 【例题6】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 【变式1】（25-26八年级上·四川凉山·月考）已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）先分解因式，再求值：，其中． 【题型 7】乘法公式进行因式分解判断三角形形状 【例题7】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式 （2）三边a，b，c满足，判断的形状． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，是的三边长，且满足，则的形状为____________． 【变式3】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② （2）深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； （3）拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 【题型 8】因式分解的应用——配方法 【例题8】（24-25七年级下·浙江·期末）我们把选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如；根据上述材料，解决下面问题： （1）写出的配方过程； （2）求出的最小值． 【变式1】（24-25九年级上·广西贵港·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或者一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）．请根据阅读材料解决问题：已知，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）配方：____________________）2 【变式3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式： ① ②； （2）求多项式的最小值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东茂名·月考）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广西崇左·期末）分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东泰安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）因式分解：________． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值为__________ 11．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）因式分解：__________． 12．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）关于x的二次三项式的最小值是_________． 13．（2026·广东江门·一模）因式分解：____________． 14．（25-26九年级下·北京海淀·月考）分解因式：______． 15．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 16．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： （1）； （2）． 18．（2026·河北唐山·一模）已知整式（a，c为常数）． （1）若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； （2）若，则；若，则，求a和c的值． 19．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． （2）若，求，的值 20．（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： （1）如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． （2）类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将因式分解的结果是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 用乘法公式分解因式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】平方差公式 1 【知识点二】完全平方公式 1 【知识点三】公式法与完全平方式 2 【题型 1】判断能否用公式法进行因式分解 2 【题型 2】平方差公式进行因式分解 4 【题型 3】完全平方公式进行因式分解 6 【题型 4】平方差公式与完全平方公式综合进行因式分解 8 【题型 5】提取公因式与乘法公式综合进行因式分解 10 二.培优题型精析（教材挖掘） 12 【题型 6】利用乘法公式进行因式分解并求值 12 【题型 7】乘法公式进行因式分解判断三角形形状 14 【题型 8】因式分解的应用——配方法 17 三.同步检测 20 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 24 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 26 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】平方差公式 。 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 【要点提示】运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分解因式，其适用平方差公式进行因式分解的特点（1）适用条件：必须是两项、平方形式、差的形式；（2）结构要点：分解后是两项和两项差，一项是两数和，一项是两数差；（3）结果要求：结果必须是整式乘积形式，这是因式分解的标准形式。（4）即可以是单项式，也可以是多项式。 【知识点二】完全平方公式 。 即：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 【要点提示】适用完全平方公式进行因式分解的基本条件：（1）项数要求：必须是三项式，只有三项才能用完全平方公式；（2）首尾两项：都是平方形式，且符号相同（同为正）；（3）中间一项：是首尾两个数乘积的 2 倍，符号可正可负；（4）分解结果：等于首尾两个数的和（或差）的平方。 【知识点三】公式法与完全平方式 （1） 完全平方式：我们把多项式叫作完全平方式。在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完仝平方式。 （2） 一般地，利用公式或把一个多项式分解因式的方法，叫作公式法。 【题型 1】判断能否用公式法进行因式分解 【例题1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，掌握知识点是解题的关键． 完全平方式的形式为，通过比较各选项的系数判断是否符合即可． 解：A．在中，常数项是，是负数，该项不可能是完全平方式，不符合题意；； B．，一次项系数的一半的平方为，该项不是完全平方式，不符合题意； C．，中间项应为，该项不是完全平方式，不符合题意； D． ，该项是完全平方式，符合题意． 故选D． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·月考）下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·山西忻州·月考）下列多项式不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，主要涉及平方差公式和完全平方公式，据此判断每个多项式是否能表示为公式形式，即可作答． 解：A、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B、，无法用公式法进行因式分解，故该选项符合题意； C、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； D、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型 2】平方差公式进行因式分解 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 解：（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）把多项式分解因式，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用平方差公式进行分解因式，根据公式为进行分解因式，即可求解． 解：． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行因式分解，化简后再提公因式即可． 解：原式 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解的平方差公式，以及多项式的展开与合并同类项，掌握识别平方差形式和先化简再分解的技巧是解题的关键． （1）将式子看作平方差形式，把和分别视为和，再用平方差公式分解； （2）先展开多项式，合并同类项后得到平方差形式，再用平方差公式分解． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型 3】完全平方公式进行因式分解 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，以及整体思想的应用，掌握识别完全平方形式是解题的关键． （1）观察式子结构，符合完全平方和公式的形式，直接套用公式分解； （2）将看作整体，用完全平方公式分解； （3）先展开多项式，合并同类项后得到完全平方形式，再分解． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·月考）将因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开原式并合并常数项，化为完全平方形式，再分解因式． 解：原式 ， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）解： ； （2） ． 【题型 4】平方差公式与完全平方公式综合进行因式分解 【例题4】（24-25八年级上·四川广安·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】先运用完全平方公式进行因式分解，最后再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 解： 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 解：原式 ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁营口·月考）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）分解因式： 【答案】 【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解． 解： ． 【题型 5】提取公因式与乘法公式综合进行因式分解 【例题5】（25-26八年级下·陕西西安·月考）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25八年级下·河南周口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 【变式2】（2024·山东东营·模拟预测）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再多次运用平方差公式分解即可． 解： ． 【变式3】（24-25八年级下·山东青岛·月考）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 二.培优题型精析（教材挖掘） 【题型 6】利用乘法公式进行因式分解并求值 【例题6】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 【答案】（1）15；（2）4049 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，正确因式分解是解答的关键． （1）先将原式化为，再整体代入求解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·四川凉山·月考）已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）先分解因式，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，求代数式的值，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解，最后把m、n的值代入计算即可． 解： ． 当时， 原式 ． 【题型 7】乘法公式进行因式分解判断三角形形状 【例题7】（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读理解】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式．后两项可提取公因式．前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式 （2）三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）是等腰三角形 【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 解：（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）已知，，是的三边长，且满足，则的形状为____________． 【答案】等边三角形 【分析】将给定等式进行因式分解，转化为两个完全平方的和，根据非负数的性质得出边的关系． 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 解：由 ， 可化为 ， ∵ ，， ∴ 且 ， 即 且 ， ∴ ， ∴ 为等边三角形； 故答案为：等边三角形． 【变式3】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）阅读理解与应用观察下列分解因式的过程： 解： 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方式的方法称为配方法． （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解： ① ② （2）深入研究：说明多项式 的值总是一个正数； （3）拓展运用：已知，，分别是 的三边，且 试判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）见分析；（3）等边三角形，理由见分析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用运用配方法运算即可； （2）运用配方法化简式子，再根据式子的取值范围求证即可； （3）利用因式分解化简式子得到三角形的三边关系即可解答． 解：（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式 的值总是一个正数； （3）为等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 【题型 8】因式分解的应用——配方法 【例题8】（24-25七年级下·浙江·期末）我们把选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如；根据上述材料，解决下面问题： （1）写出的配方过程； （2）求出的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）5． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式把式子分解因式即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式把式子分解因式，根据非负数的性质可推出，据此可得答案． 解：（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴ ∴的最小值为5． 【变式1】（24-25九年级上·广西贵港·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或者一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）．请根据阅读材料解决问题：已知，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据完全平方公式配方，根据实数非负性的性质，计算即可． 解：∵ ∴， 解得 ∴， 故选A． 【点拨】本题考查了配方，实数的非负性，熟练掌握配方的基本要领，活用非负性是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）配方：____________________）2 【答案】； ． 【分析】本题主要考查了配方法解分解因式的问题，关键是要把等号的左边进行配方，凑成完全平方式，利用完全平方公式分解因式． 解：多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项应是一次项系数一半的平方， 常数项是， ． 故答案为：， ． 【变式3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式： ① ②； （2）求多项式的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）． 【分析】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其特点是本题解题关键． （1）①仿照题干作答即可； ②仿照题干作答即可； （2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案． 解：（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ， 所以多项式的最小值为． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式． 解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级下·广东茂名·月考）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题运用平方差公式分解因式，再结合已知条件化简，即可求出结果. 解：， ∴ . 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 4．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 解：分解：原式， 故选：D． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，注意因式分解要彻底． 解： = ， 故选：C． 6．（25-26八年级上·广西崇左·期末）分解因式后结果是的多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，并能正确提取负号．将各选项逐一因式分解，与进行比对，判断是否符合题意． 解：A、，此选项符合题意； B、，无法分解为，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意． 故选：A． 7．（25-26八年级上·山东泰安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的基本方法，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解题关键．根据因式分解的提公因式法与公式法，逐一分析各选项． 解：选项：的公因式为，正确分解应为，未提尽公因式，故错误； 选项：右边，与左边不相等，等式不成立，故错误； 选项：，不符合完全平方公式，故错误； 选项： ，与选项结果一致，故正确． 故选：． 8．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级下·江苏苏州·月考）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，原式符合平方差公式的结构特征，直接套用公式分解即可． 解： = = ． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值为__________ 【答案】25 【分析】将式子变形为，对所求代数式运用完全平方公式因式分解，再代入求值即可． 解：∵， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）因式分解：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 解：原式； 故答案为：． 12．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）关于x的二次三项式的最小值是_________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式分解因式结合平方的非负性求最小值即可. 解：， ， ， ∴的最小值是. 13．（2026·广东江门·一模）因式分解：____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再通过平方差公式因式分解即可． 解：原式 ． 14．（25-26九年级下·北京海淀·月考）分解因式：______． 【答案】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 解： ． 15．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若整式加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是______． 【答案】或或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 解：完全平方公式的结构为，分两种情况讨论： 当和分别为完全平方中的两个平方项时， 此时，，中间项为， 因此可以加上的单项式为或； 当为其中一个平方项，为中间项时，设所加的单项式为， 根据完全平方公式，有，解得， 因此加上的单项式为， 综上，符合条件的单项式为：或或． 16．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 18．（2026·河北唐山·一模）已知整式（a，c为常数）． （1）若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； （2）若，则；若，则，求a和c的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后根据完全平方式可得，进而问题可求解； （2）由题意可代值进行求解即可． 解：（1）解：由可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； （2）解：当，时，则有，① 当，时，则有，② 由①②可得：． 19．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． （2）若，求，的值 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 解：（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 20．（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： （1）如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． （2）类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． （3）结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 解：（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $